积分

CIE A-Level 数学· Pure Mathematics 2 & 3 (§2.5 / §3.5): Integration· 15 分钟阅读

1. 标准积分公式（Pure 2 & 3）★★☆☆☆⏱ 4 min

在纯数学2和3中，你要在纯数学1的基础上，把标准积分扩展到线性自变量 $a x + b$ 的指数、倒数和三角函数形式。这些都是第二卷和第三卷共用的；纯数学3再增加一个标准结果——反正切积分 $\int \frac{1}{a ^{2} + x ^{2}} d x$ 。

📘 定义

不定积分（原函数）

\int f(x) dx = F(x) + C

导数等于原被积函数 $f (x)$ 的函数，其中 $C$ 为任意积分常数。

例:

$2 x$ 的原函数是 $x^{2} + C$

\begin{aligned} \int e^{ax+b} dx &= \frac{1}{a}e^{ax+b} + C \\ \int \frac{1}{ax+b} dx &= \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C \\ \int \sin(ax+b) dx &= -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C \\ \int \cos(ax+b) dx &= \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C \\ \int \sec^2 x dx &= \tan x + C \\ \int \frac{1}{a^2+x^2} dx &= \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C \end{aligned}

📐 例题

求不定积分 $\int \frac{3}{4 + x ^{2}} d x$

1
将被积函数与 $\int \frac{1}{a ^{2} + x ^{2}} d x$ 的标准形式匹配，这里 $a^{2} = 4$ ，因此 $a = 2$ 。
2
$3 \int \frac{1}{2^2 + x^2} dx$
3
应用标准积分公式，加上积分常数：
4
$3 \times \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C = \frac{3}{2}\arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C$

Exam tip:

不定积分一定要写积分常数 $C$ ，遗漏会被扣一分。

2. 利用三角恒等式积分★★☆☆☆⏱ 4 min

正弦、余弦、正切的平方没有直接的标准积分。积分前先用二倍角或毕达哥拉斯恒等式改写，使式子只剩下 $sin (k x)$ 、 $cos (k x)$ 或 $sec^{2} x$ 项。

\begin{aligned} \int \sin^2 x\,dx &= \int \frac{1-\cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4}\sin 2x + C \\ \int \cos^2 2x\,dx &= \int \frac{1+\cos 4x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{8}\sin 4x + C \\ \int \tan^2 x\,dx &= \int (\sec^2 x - 1)\,dx = \tan x - x + C \end{aligned}

📐 例题

求 $\int cos^{2} 2 x d x$ 。

1
$cos^{2} 2 x$ 没有直接的积分，用二倍角恒等式 $cos^{2} θ = \frac{1 + c o s 2 θ}{2}$ ，取 $θ = 2 x$ ：
2
$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$
3
逐项积分，注意除以余弦内 $x$ 的系数：
4
$\int \frac{1+\cos 4x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\left(x + \frac{1}{4}\sin 4x\right) + C = \frac{x}{2} + \frac{1}{8}\sin 4x + C$

Exam tip:

$sin^{2} x$ 、 $cos^{2} 2 x$ 、 $tan^{2} x$ 都不能直接积分——必须先用三角恒等式转换。这些积分在第二卷和第三卷都会考。

3. 识别 kf'(x)/f(x) → ln|f(x)|★★★☆☆P3 专属⏱ 4 min

当分式的分子是分母导数的（常数倍）时，积分结果是自然对数。这其实就是取 $u = f (x)$ 的换元积分，用观察法直接完成，在考试中能节省时间。

\begin{aligned} \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx &= \ln|f(x)| + C \\ \int \frac{kf'(x)}{f(x)}\,dx &= k\ln|f(x)| + C \\ \int \frac{2x}{x^2+3}\,dx &= \ln(x^2+3) + C \\ \int \tan x\,dx &= \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\ln|\cos x| + C \end{aligned}

📐 例题

求 $\int tan x d x$ 。

1
把 $tan x$ 写成商，使模式显现：
2
$\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx$
3
分母 $cos x$ 的导数是 $- sin x$ ，所以分子是 $f (x) = cos x$ 时 $f^{'} (x)$ 的 $- 1$ 倍：
4
$= -\int \frac{-\sin x}{\cos x}\,dx = -\ln|\cos x| + C$

Exam tip:

这是纯数学3的技巧。在设换元之前，先检查分子是否为分母导数的常数倍——如果是，积分结果就是对数。

4. 换元积分法★★★☆☆P3 专属⏱ 5 min

换元积分法通过更换积分变量化简复合函数的积分，它是链式求导法则的逆运算。

\int f(x) dx = \int f(u(x)) \times \frac{dx}{du} du

📐 例题

使用换元 $u = x^{2} + 1$ 求 $\int \frac{x}{x ^{2} + 1} d x$

1
对 $u$ 关于 $x$ 求导，得到 $d x$ 关于 $d u$ 的表达式：
2
$u = x^2 + 1 \implies \frac{du}{dx} = 2x \implies dx = \frac{du}{2x}$
3
代入原积分，约去公共项：
4
$\int \frac{x}{\sqrt{u}} \times \frac{du}{2x} = \int \frac{1}{2\sqrt{u}} du$
5
对化简后的表达式关于 $u$ 积分：
6
$\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = \frac{1}{2} \times 2 u^{1/2} + C = \sqrt{u} + C$
7
代回原变量 $x$ ：
8
$= \sqrt{x^2 + 1} + C$

Exam tip:

对于定积分，立即将积分限更换为新变量的积分限，避免后续换元错误。

5. 分部积分法★★★☆☆P3 专属⏱ 5 min

分部积分法是乘积求导法则的逆运算，用于积分两种不同类型函数的乘积（例如 $x sin x$ 、 $x e^{x}$ ）。

\int u \frac{dv}{dx} dx = uv - \int v \frac{du}{dx} dx

📐 例题

求 $\int x e^{2 x} d x$

1
应用LIATE法则： $x$ 是代数函数， $e^{2 x}$ 是指数函数，因此设 $u = x$ ， $\frac{d v}{d x} = e^{2 x}$ 。
2
计算 $\frac{d u}{d x}$ 和 $v$ ：
3
$\frac{du}{dx} = 1, \quad v = \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}$
4
代入分部积分公式：
5
$uv - \int v \frac{du}{dx} dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} dx$
6
积分剩余项并加上常数：
7
$= \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C = \frac{1}{4}e^{2x}(2x - 1) + C$

Exam tip:

多次分部积分时，注意符号，避免计算错误。

6. 部分分式积分法★★★★☆P3 专属⏱ 6 min

要积分有理函数（两个多项式的分式），你需要先将其分解为部分分式，然后使用 $\frac{1}{a x + b}$ 的标准积分结果逐项积分。

📐 例题

求 $\int \frac{3 x + 1}{( x - 1 ) ( x + 2 )} d x$

1
分子次数（1）小于分母次数（2），因此这是真分式，分解为部分分式：
2
$\frac{3x + 1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$
3
代入分母的根求解常数 $A$ 和 $B$ ：
4
$3x+1 = A(x+2) + B(x-1) \implies A = \frac{4}{3}, B = \frac{5}{3}$
5
重写积分并逐项积分：
6
$\int \left(\frac{4}{3(x-1)} + \frac{5}{3(x+2)}\right) dx$
7
$= \frac{4}{3} \ln|x-1| + \frac{5}{3} \ln|x+2| + C$

Exam tip:

分解为部分分式之前，一定要检查有理函数是否为假分式。

7. 常见陷阱

错误做法:

不定积分遗漏积分常数 $C$

原因:

阅卷官总是会给遗漏常数扣分，即使其余答案都正确

正确做法:

每次计算不定积分都要在末尾写上 $+ C$

错误做法:

定积分换元后忘记更换积分限

原因:

这会导致代回原变量时出现常见计算错误

正确做法:

选择换元后立即计算新变量的积分限

错误做法:

分部积分中选错 $u$ ，导致积分更复杂

原因:

将指数/三角函数而不是代数函数选为 $u$ 会带来不必要的复杂度

正确做法:

始终使用LIATE口诀选择正确的 $u$

错误做法:

复合函数忘记除以 $x$ 的系数，例如 $\int e^{2 x} d x = e^{2 x} + C$

原因:

你忘记对线性内层函数应用逆链式法则

正确做法:

始终除以线性项的导数，因此 $\int e^{2 x} d x = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

错误做法:

假有理分式跳过多项式除法步骤

原因:

你无法正确将假分式分解为部分分式，导致结果错误

正确做法:

始终检查分子和分母的次数，如果是假分式先做除法

8. 速查表

积分类型	公式 / 法则	要点提示
复合函数 $f (a x + b)$	$\frac{1}{a} F (a x + b) + C$	除以 $a$ ，加 $C$
换元积分法	$\int f (x) d x = \int f (u (x)) \frac{d x}{d u} d u$	定积分更换积分限
分部积分法	$\int u \frac{d v}{d x} d x = uv - \int v \frac{d u}{d x} d x$	按LIATE法则选 $u$
$\int \frac{1}{a x + b} d x$	$\frac{1}{a} ln ∣ a x + b ∣ + C$	保留绝对值
$\int \frac{1}{a ^{2} + x ^{2}} d x$	$\frac{1}{a} arctan (\frac{x}{a}) + C$	P3要求记忆
假有理分式	先做除法，再分解为部分分式	不要跳过除法步骤
$\int sin^{2} x d x$	$\frac{x}{2} - \frac{1}{4} sin 2 x + C$	利用 $sin^{2} x = \frac{1 - c o s 2 x}{2}$
$\int cos^{2} 2 x d x$	$\frac{x}{2} + \frac{1}{8} sin 4 x + C$	利用 $cos^{2} 2 x = \frac{1 + c o s 4 x}{2}$
$\int tan^{2} x d x$	$tan x - x + C$	利用 $tan^{2} x = sec^{2} x - 1$
$\int \frac{k f ^{'} ( x )}{f ( x )} d x$	$k ln ∣ f (x) ∣ + C$	分子=分母的导数（P3）

9. 常见问题

我需要记住纯数学2和3所有的标准积分结果吗？

是的，纯数学2和3的大多数标准积分不会出现在公式手册中，你需要牢记它们。

我需要写出换元步骤的完整过程吗？

是的，即使你得到了正确的最终答案，满分也要求你展示所有换元步骤。

下一步

熟练掌握这些积分技巧是CIE纯数学2和3几乎所有后续微积分的基础，包括求解微分方程和更多应用。你还会把它们与纯数学1（§1.8）已学的旋转体体积方法结合——例如对部分分式或三角恒等式表达式积分来求体积。积分在第二、三卷中分值占比很高，题目常把多种技巧结合在一道题中（例如部分分式后换元，或多次分部积分）。现在打好熟练度，能帮助你高效应对更难、分值更高的题目。