向量（纯数学3）

CIE A-Level 数学· 9 分钟阅读

1. 向量与向量运算★☆☆☆☆⏱ 12 min

📘 定义

向量的分量（列）形式

$v = a i + b j + c k = a b c$

向量既有大小又有方向。二维向量有两个分量，三维向量有三个分量，用基本单位向量 $i, j, k$ 或列向量表示。向量只在 Paper 3 中考查。

向量的加法与减法是对应分量相加减；数乘 $λ$ 则是每个分量都乘以 $λ$ 。例如 $12 - 1 + 304 = 423$ ， $2 12 - 1 = 24 - 2$ 。

点 $A$ 的位置向量是 $O A = a$ ，从原点 $O$ 量起。
两点之间的位移向量： $A B = O B - O A = b - a$ 。
平行四边形法则： 若 $O A B C$ 是平行四边形， $O A$ 与 $O C$ 为相邻两边，则对角线 $O B = O A + O C$ 。
$A B$ 的中点 $M$ 的位置向量为 $O M = \frac{1}{2} (a + b)$ 。
平行向量： $u$ 平行于 $v$ ，当且仅当存在标量 $λ$ 使 $u = λ v$ 。

📐 例题

点 $A$ 和 $B$ 的位置向量分别为 $a = 21 - 3$ 和 $b = 5 - 1 1$ 。求位移向量 $A B$ 以及 $A B$ 中点 $M$ 的位置向量。

1
从 $A$ 到 $B$ 的位移是 $O B - O A$ ：
2
$\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a} = \begin{pmatrix}5-2\\-1-1\\1-(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}$
3
中点是两个位置向量的平均：
4
$\overrightarrow{OM} = \tfrac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}7\\0\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{7}{2}\\0\\-1\end{pmatrix}$

2. 模长与单位向量★★☆☆☆⏱ 12 min

📘 定义

向量的模长

$∣ v ∣ = a^{2} + b^{2} + c^{2}$

向量 $v = a i + b j + c k$ 的模长（长度）。在二维中 $∣ v ∣ = a^{2} + b^{2}$ 。这是勾股定理在三维中的推广。两点 $A$ 、 $B$ 之间的距离即 $∣ A B ∣$ 。

单位向量的模长为 $1$ 。要求与 $v$ 同方向的单位向量，用 $v$ 除以它自身的模长： $\hat{v} = \frac{v}{∣ v ∣}$ 。除以模长——而绝不是除以各个分量——才能把长度缩放为 $1$ 同时保持方向不变。

📐 例题

求 $v = 2 i - j + 2 k$ 的模长，并由此求与 $v$ 同方向的单位向量。

1
应用模长公式：
2
$|\mathbf{v}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$
3
用向量除以其模长得到单位向量：
4
$\hat{\mathbf{v}} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{2}{3}\\-\tfrac{1}{3}\\\tfrac{2}{3}\end{pmatrix}$

3. 数量积与向量夹角★★★☆☆⏱ 18 min

✓ 计算器

📘 定义

数量积（点积）

$a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$

数量积把对应分量相乘再相加，得到一个数（标量）。它也等于 $∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ ，其中 $θ$ 是两向量之间的夹角。

整理后得到两向量的夹角： $cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣}$ 。两个非零向量垂直当且仅当 $a \cdot b = 0$ ，因为此时 $cos θ = 0$ 。例如 $21 - 2 \cdot 122 = 2 + 2 - 4 = 0$ ，所以这两个向量互相垂直。

📐 例题

求 $a = 236$ 与 $b = 122$ 之间的夹角，结果保留一位小数。

1
计算数量积：
2
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2)(1) + (3)(2) + (6)(2) = 2 + 6 + 12 = 20$
3
计算两个模长：
4
$|\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = 7, \qquad |\mathbf{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$
5
应用夹角公式：
6
$\cos\theta = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|} = \frac{20}{(7)(3)} = \frac{20}{21} \implies \theta = \cos^{-1}\left(\frac{20}{21}\right) \approx 17.8^\circ$

4. 直线的向量方程★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

直线的向量方程

$r = a + t d$

$r$ 是直线上任意一点的位置向量， $a$ 是直线上一个已知点的位置向量， $d$ 是方向向量， $t$ 是标量参数。当 $t$ 取遍所有实数时， $r$ 描出整条直线。在 9709 中，直线总是以这种形式给出。

过 $A$ 、 $B$ 的直线的一个方向向量是 $A B = b - a$ 。 $d$ 的任意非零标量倍数都是同样有效的方向，直线上任意一点都可作为 $a$ 。某点在直线上，当且仅当存在同一个 $t$ 值能同时给出它的所有坐标。

📐 例题

求过 $A (1, 0, 2)$ 和 $B (3, 1, 5)$ 的直线的一个向量方程，并判断点 $C (7, 3, 11)$ 是否在该直线上。

1
用位移 $A B$ 作为方向向量：
2
$\mathbf{d} = \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3-1\\1-0\\5-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$
3
取 $A$ 为已知点，得到向量方程：
4
$\mathbf{r} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$
5
检验 $C (7, 3, 11)$ ：由 $x$ 坐标得 $1 + 2 t = 7 ⟹ t = 3$ 。用 $t = 3$ 检验其余分量：
6
$y:\; 0 + 1(3) = 3 \qquad z:\; 2 + 3(3) = 11$
7
三个分量都吻合，所以 $C$ 在直线上（对应 $t = 3$ ）。

5. 两条直线：平行、相交或异面★★★★☆⏱ 22 min

✓ 计算器

给定两条直线 $r = a + t d_{1}$ 与 $r = b + s d_{2}$ （注意参数 $t$ 和 $s$ 不同），有三种可能。

平行： 两方向向量成标量倍数， $d_{1} = λ d_{2}$ 。
相交： 不平行且有公共点。令位置向量相等，用两个分量方程解出 $t$ 和 $s$ ，再检验第三个分量。若一致，则直线相交；代回即得交点。
异面： 不平行且第三个分量不一致，因此没有公共点。（异面直线只存在于三维。）

📐 例题

证明直线 $l_{1} : r = 101 + t 121$ 与 $l_{2} : r = 152 + s 2 - 1 1$ 相交，求交点，并求它们之间的锐角。

1
两方向不平行，令各分量相等：
2
$x:\; 1 + t = 1 + 2s \qquad y:\; 2t = 5 - s \qquad z:\; 1 + t = 2 + s$
3
解 $x$ 和 $z$ 两式。由 $x$ 得 $t = 2 s$ ；代入 $z$ （即 $t - s = 1$ ）： $2 s - s = 1 ⟹ s = 1, t = 2$ 。
4
检验 $y$ 式： $2 t = 4$ ， $5 - s = 4$ ——一致，故两直线相交。
5
$\text{交点：} \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\4\\3\end{pmatrix}$
6
求夹角时使用方向向量：
7
$\cos\theta = \frac{\left|\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2}\right|}{|\mathbf{d_1}||\mathbf{d_2}|} = \frac{|(1)(2) + (2)(-1) + (1)(1)|}{\sqrt{6}\,\sqrt{6}} = \frac{1}{6} \implies \theta \approx 80.4^\circ$

6. 点到直线的垂线★★★★☆⏱ 20 min

✓ 计算器

直线 $r = a + t d$ 上离定点 $P$ 最近的点，就是垂足 $F$ 。由于 $P F$ 垂直于直线的方向，故满足 $P F \cdot d = 0$ 。长度 $∣ P F ∣$ 就是 $P$ 到直线的最短距离。

把直线上一般点写作 $F = a + t d$ 。
用 $t$ 表示 $P F = F - P$ 。
解 $P F \cdot d = 0$ 求出 $t$ 。
把 $t$ 代回求出 $F$ ；则 $∣ P F ∣$ 即最短距离。

📐 例题

求点 $P (5, 0, 2)$ 到直线 $r = 101 + t 221$ 的垂足，以及 $P$ 到该直线的最短距离。

1
直线上的一般点，以及从 $P$ 指向它的向量：
2
$F = \begin{pmatrix}1+2t\\2t\\1+t\end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{PF} = F - P = \begin{pmatrix}2t-4\\2t\\t-1\end{pmatrix}$
3
令 $P F \cdot d = 0$ ，其中 $d = 221$ ：
4
$2(2t-4) + 2(2t) + 1(t-1) = 9t - 9 = 0 \implies t = 1$
5
代入 $t = 1$ 得垂足与距离：
6
$F = \begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}, \qquad |\overrightarrow{PF}| = \left|\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}\right| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

7. 常见陷阱

错误做法:

求两直线夹角时忘记对数量积取绝对值

原因:

两个方向向量的点积可能为负，会得到钝角而非题目要求的锐角

正确做法:

分子取 $∣ d_{1} \cdot d_{2} ∣$ ，使答案为锐角

错误做法:

两条直线一旦不相交就断定它们是异面

原因:

不相交的直线也可能平行；异面要求既不平行也不相交

正确做法:

先检查方向向量是否成标量倍数；只有既不平行也不相交的直线才是异面

错误做法:

解出两个分量方程得到 $t$ 和 $s$ 后就停下

原因:

两个方程总能解出，但第三个分量可能不一致——这正是相交与异面的区别所在

正确做法:

务必把解代回第三个分量，确认是否一致

错误做法:

两条不同直线用同一个参数，或把参数当成向量

原因:

共用参数会强迫参数值相等，而参数 $t$ 始终是标量，不是向量

正确做法:

比较两条直线时，给每条直线各自的标量参数（ $t$ 和 $s$ ）

8. 速查表

概念	公式/规则	说明
模长	$∣ v ∣ = a^{2} + b^{2} + c^{2}$	向量的长度；距离 $= ∣ A B ∣$
单位向量	$\hat{v} = \frac{v}{∣ v ∣}$	除以模长
位移 / 中点	$A B = b - a$ ， $M = \frac{1}{2} (a + b)$	由位置向量得到
数量积	$a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$	$= ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$
向量夹角	$cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣}$	垂直 $\Leftrightarrow a \cdot b = 0$
直线方程	$r = a + t d$	$a$ 为点， $d$ 为方向
两直线夹角	$cos θ = \frac{∣ d _{1} \cdot d _{2} ∣}{∣ d _{1} ∣∣ d _{2} ∣}$	使用方向向量
两条直线	用两个分量解 $t, s$ ；检验第三个	一致→相交；否则异面（若不平行）
垂足	$P F \cdot d = 0$	$∣ P F ∣$ = 最短距离

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syllabusCIE 9709 纯数学3 大纲

下一步

熟练掌握向量是后续多个专题的基础。在纯数学3中，同样的分量与数量积方法会在复数（阿甘图的几何）以及代数与几何结合的问题中再次出现。在力学（本套课程的 Unit 3）中，位置、速度和力都作为向量处理，因此你在这里练习的运算会被反复使用。现在把向量运算练得准确又熟练，能让那些高分值题目变得容易上手。