复数

CIE A-Level 数学· 20 分钟阅读

1. 定义与基本表示★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

复数

z = x + iy

形式为 $x + i y$ 的数，其中 $x, y \in R$ ，且 $i^{2} = - 1$ 。 $x$ 是实部， $y$ 是虚部。

例:

对于 $z = 3 - 2 i$ ，$ \text{Re}(z) = 3 $，$ \text{Im}(z) = -2$。

复数可以在阿根图上表示为点 $(x, y)$ ：阿根图是一个坐标平面，横轴为实轴，纵轴为虚轴。

📐 例题

在阿根图上画出 $z_{1} = 2 + 3 i$ 和 $z_{2} = - 1 - 4 i$ ，并写出$ \text{Re}(z_1) $和$ \text{Im}(z_2)$。

1
从直角坐标形式提取坐标： $z_{1}$ 的实部为2，虚部为3，因此对应点 $(2, 3)$ 。
2
对于 $z_{2} = - 1 - 4 i$ ，实部为 $- 1$ ，虚部为 $- 4$ ，因此对应点 $(- 1, - 4)$ 。
3
在网格上画出两个点，x轴标注为'实轴'，y轴标注为'虚轴'。
4
最终答案：$ \text{Re}(z_1) = 2 $，$ \text{Im}(z_2) = -4$。

Exam tip:

绘制阿根图时，务必清晰标注坐标轴和点，以获得全部方法分。

2. 复数的运算★★★☆☆⏱ 7 min

复数的加减法遵循简单规则：实部和虚部分别相加/相减。乘法与二项式展开方法相同，再用 $i^{2} = - 1$ 化简。

📘 定义

复共轭

$z^{*}$ or $\overline{z}$

对于 $z = x + i y$ ，共轭复数为 $z^{*} = x - i y$ ，通过改变虚部的符号得到。核心性质为 $z z^{*} = ∣ z ∣^{2}$ ，是一个实数。

例:

$5 + 2 i$ 的共轭复数是 $5 - 2 i$ 。

计算两个复数的除法时，将分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母变为实数。

📐 例题

将 $\frac{3 + 2 i}{1 - 4 i}$ 化简为直角坐标形式 $x + i y$ 。

1
分母 $1 - 4 i$ 的共轭复数是 $1 + 4 i$ 。将分子分母同乘以该共轭复数：
2
$\frac{(3 + 2i)(1 + 4i)}{(1 - 4i)(1 + 4i)}$
3
用平方差公式展开分母： $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ ：
4
$(1)^2 - (4i)^2 = 1 - 16i^2 = 1 - 16(-1) = 17$
5
展开分子：
6
$3(1) + 3(4i) + 2i(1) + 2i(4i) = 3 + 12i + 2i + 8i^2 = 3 + 14i - 8 = -5 + 14i$
7
化简得到直角坐标形式：
8
$\frac{-5 + 14i}{17} = -\frac{5}{17} + \frac{14}{17}i$

3. 复数的平方根★★★☆☆⏱ 6 min

每个非零复数都恰好有两个平方根。要用直角坐标形式求 $a + ib$ ，令 $(x + i y)^{2} = a + ib$ ，展开后比较实部和虚部，得到两个联立方程。

📘 定义

通过比较实部虚部求平方根

(x+iy)^2 = a + ib

展开得 $(x^{2} - y^{2}) + 2 x y i = a + ib$ 。比较实部与虚部： $x^{2} - y^{2} = a$ ， $2 x y = b$ 。对实数 $x, y$ 求解这组方程；两个解互为相反数。

例:

对于 $5 + 12 i$ ： $x^{2} - y^{2} = 5$ ， $2 x y = 12$ 。

📐 例题

求 $5 + 12 i$ 的两个平方根，每个都以 $x + i y$ 形式给出。

1
设 $5 + 12 i = x + i y$ ，其中 $x, y$ 为实数。两边平方：
2
$(x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = 5 + 12i$
3
比较实部与虚部，列出两个方程：
4
$x^2 - y^2 = 5, \qquad 2xy = 12$
5
由第二个方程得 $y = \frac{6}{x}$ 。代入第一个方程：
6
$x^2 - \frac{36}{x^2} = 5 \implies x^4 - 5x^2 - 36 = 0$
7
这是关于 $x^{2}$ 的二次方程： $(x^{2} - 9) (x^{2} + 4) = 0$ 。因为 $x$ 是实数，所以 $x^{2} = 9$ ，即 $x = \pm 3$ 。
8
当 $x = 3$ 时： $y = \frac{6}{3} = 2$ 。当 $x = - 3$ 时： $y = \frac{6}{- 3} = - 2$ 。
9
两个平方根为 $3 + 2 i$ 和 $- 3 - 2 i$ ，即 $\pm (3 + 2 i)$ 。

Exam tip:

保持 $x$ 和 $y$ 为实数：舍去任何使 $x^{2}$ 为负的解。利用 $2 x y = b$ 来确定 $y$ 相对于 $x$ 的符号，可以避免多余的答案。

4. 模与主辐角★★★★☆⏱ 6 min

任意非零复数都可以用模（到原点的距离）和辐角（与正实轴的夹角）描述。在CIE考试中，主辐角定义在范围 $- π < ar g (z) \leq π$ 内。

📘 定义

模与辐角

$∣ z ∣$ （模）， $ar g (z)$ （辐角）

对于 $z = x + i y$ ： $∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$ ，且 $tan (ar g (z)) = \frac{y}{x}$ 。必须根据复数所在象限调整角度。

📐 例题

求 $z = - 1 + i 3$ 的模和主辐角，结果以弧度表示。

1
确定 $x = - 1$ （实部）， $y = 3$ （虚部）。
2
计算模：
3
$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$
4
求参考角： $tan θ = \frac{y}{x} = \frac{3}{- 1} = - 3$ ，因此参考角为 $\frac{π}{3}$ 。
5
检查象限： $x < 0$ ， $y > 0$ ，因此 $z$ 位于第二象限。
6
$\arg(z) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
7
最终答案： $∣ z ∣ = 2$ ， $ar g (z) = \frac{2 π}{3}$ ，符合主辐角的范围要求。

Exam tip:

绝对不要直接把计算器输出的 $arctan (\frac{y}{x})$ 作为辐角。务必根据正确象限调整。

5. 模-辐角（极坐标）形式★★★★☆⏱ 7 min

除了 $x + i y$ ，复数还可以用它的模 $r = ∣ z ∣$ 和辐角 $θ = ar g (z)$ 来表示。这种模-辐角（极坐标）形式使乘法和除法变得特别简单。

📘 定义

模-辐角（极坐标）与指数形式

z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}

其中 $r = ∣ z ∣ = x^{2} + y^{2} \geq 0$ ， $θ = ar g (z)$ 取主值范围 $- π < θ \leq π$ 。指数形式 $r e^{i θ}$ 是同一个数的等价记法，其中 $x = r cos θ$ ， $y = r sin θ$ 。

例:

$- 1 + i 3 = 2 (cos \frac{2 π}{3} + i sin \frac{2 π}{3}) = 2 e^{i 2 π /3}$ 。

在极坐标形式下，相乘时模相乘、辐角相加，而相除时模相除、辐角相减。这比展开括号快得多。

📘 定义

极坐标形式下的乘法与除法

$∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣∣ z_{2} ∣$ ， $ar g (z_{1} z_{2}) = ar g z_{1} + ar g z_{2}$ ； $\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{∣ z _{1} ∣}{∣ z _{2} ∣}$ ， $ar g (\frac{z _{1}}{z _{2}}) = ar g z_{1} - ar g z_{2}$ 。相加或相减后，用 $\pm 2 π$ 调整结果，使其落在 $- π < θ \leq π$ 内。

例:

若 $ar g z_{1} = \frac{3 π}{4}$ 且 $ar g z_{2} = \frac{3 π}{4}$ ，则 $ar g (z_{1} z_{2}) = \frac{3 π}{2}$ ，调整为 $\frac{3 π}{2} - 2 π = - \frac{π}{2}$ 。

📐 例题

设 $z_{1} = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ ， $z_{2} = 3 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$ 。求 $z_{1} z_{2}$ 和 $\frac{z _{1}}{z _{2}}$ 的模-辐角形式。

1
求乘积时，模相乘、辐角相加：
2
$|z_1 z_2| = 2 \times 3 = 6, \qquad \arg(z_1 z_2) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{12}$
3
$z_1 z_2 = 6\left(\cos\frac{7\pi}{12} + i\sin\frac{7\pi}{12}\right)$
4
求商时，模相除、辐角相减：
5
$\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{2}{3}, \qquad \arg\!\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$
6
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{3}\left(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}\right)$
7
两个辐角 $\frac{7 π}{12}$ 和 $\frac{π}{12}$ 都已落在 $- π < θ \leq π$ 内，因此无需调整。

Exam tip:

辐角相加或相减后，务必先把结果调整回主值范围 $- π < θ \leq π$ ，再写出最终辐角。

6. 阿根图上的几何意义★★★☆☆⏱ 5 min

复数的每种代数运算在阿根图上都有清晰的几何意义，这有助于你形象化并检验答案。

📘 定义

几何解释

共轭 $z \mapsto z^{*}$ 把点关于实轴作反射。加法 $z_{1} + z_{2}$ 是向量加法（平行四边形法则）。乘以 $z_{2}$ 会把模放大 $∣ z_{2} ∣$ 倍，并绕原点旋转 $ar g z_{2}$ 。

例:

乘以 $i$ （模为1，辐角为 $\frac{π}{2}$ ）会把一个点绕原点逆时针旋转 $9 0^{\circ}$ ，而不改变它到原点的距离。

📐 例题

点 $A$ 表示 $z = 3 + i$ 。从几何角度描述表示(i) $z^{*}$ 和(ii) $i z$ 的点，并给出各自的直角坐标形式。

1
(i) $z^{*} = 3 - i$ 。从几何上看，这是 $A$ 关于实轴的反射：实部不变，虚部变号。
2
(ii) 乘以 $i$ 会把 $A$ 绕原点逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ （90°），且因为 $∣ i ∣ = 1$ ， $∣ z ∣$ 保持不变。
3
$iz = i(3 + i) = 3i + i^2 = -1 + 3i$
4
验证旋转： $z = 3 + i$ 对应 $(3, 1) \to (- 1, 3)$ ，这的确是绕原点逆时针转 $9 0^{\circ}$ 。

7. 阿根图上的轨迹★★★★☆⏱ 7 min

轨迹是满足给定条件的所有点 $z$ 的集合。三种标准条件在3号卷中反复出现，每种都对应一个简单的几何图形。记 $z = x + i y$ ，并把 $∣ z - a ∣$ 理解为 $z$ 到定点 $a$ 的距离。

📘 定义

三种标准轨迹

圆： $∣ z - a ∣ = r$ 是以 $a$ 为圆心、 $r$ 为半径的圆。垂直平分线： $∣ z - a ∣ = ∣ z - b ∣$ 是连接 $a$ 和 $b$ 的线段的垂直平分线（到 $a$ 和 $b$ 距离相等的所有点）。半直线： $ar g (z - a) = α$ 是从 $a$ 出发的射线（半直线）——端点 $a$ 不包含在内——与正实轴方向成 $α$ 角。

例:

$∣ z - (1 + 2 i) ∣ = 3$ 是以点 $(1, 2)$ 为圆心、半径为3的圆。

把 $=$ 换成不等号就得到一个区域。例如， $∣ z - a ∣ < r$ 是圆内部的开圆盘（不含边界），而 $∣ z - a ∣ \leq r$ 则包含边界圆。

📐 例题

描述并画出由下列条件给出的 $z$ 的轨迹：(a) $∣ z - (2 + i) ∣ = 4$ ，(b) $∣ z - 3∣ = ∣ z + i ∣$ ，(c) $ar g (z - 1) = \frac{π}{4}$ 。

1
(a) 这是到 $2 + i$ 距离为4的所有点，是以 $(2, 1)$ 为圆心、半径为4的圆。
2
(b) 把它写成 $∣ z - 3∣ = ∣ z - (- i) ∣$ ：到 $a = 3$ （点 $(3, 0)$ ）和 $b = - i$ （点 $(0, - 1)$ ）距离相等的点。这是连接 $(3, 0)$ 和 $(0, - 1)$ 的线段的垂直平分线。
3
(c) 使 $z - 1$ 的辐角为 $\frac{π}{4}$ 的点。这是从点 $(1, 0)$ （端点开）出发、与正实轴成 $4 5^{\circ}$ 、向右上方延伸的半直线。
4
在阿根图上：为(a)画圆，为(b)画笔直的垂直平分线，为(c)从 $(1, 0)$ 画射线，并用空心圆标出不包含的起点。

Exam tip:

始终把 $∣ z - a ∣$ 理解为'到点 $a$ 的距离'。对于 $∣ z + i ∣$ ，先改写成 $∣ z - (- i) ∣$ ，才能读出正确的圆心或定点。

8. 复共轭根定理★★★☆☆⏱ 5 min

当多项式的所有系数都是实数时，任何复根的共轭复数也一定是该多项式的根。这个性质让我们在仅知道一个复根的情况下，就能求出未知根并构造多项式。

📘 定义

复共轭根定理

如果 $p (x)$ 是实系数多项式，且 $z = a + ib$ 是 $p (x) = 0$ 的根，那么它的共轭 $z^{*} = a - ib$ 也是根。

📐 例题

一个实系数二次方程有一个根为 $2 - 3 i$ ，求该二次方程。

1
根据共轭根定理，第二个根是 $2 - 3 i$ 的共轭，即 $2 + 3 i$ 。
2
计算根的和： $(2 - 3 i) + (2 + 3 i) = 4$ 。
3
用平方差公式计算根的积：
4
$(2 - 3i)(2 + 3i) = 2^2 - (3i)^2 = 4 - (-9) = 13$
5
对于二次方程 $x^{2} - (根的和) x + (根的积) = 0$ ，代入数值：
6
$x^2 - 4x + 13 = 0$

9. 常见陷阱

错误做法:

错误认为 $i^{2} = 1$ ，推导为 $i = - 1$ ，因此 $i^{2} = (- 1) (- 1) = 1 = 1$

原因:

法则 $a b = ab$ 仅适用于非负实数 $a$ 和 $b$ ，因此这种扩展是不成立的。

正确做法:

始终直接使用定义 $i^{2} = - 1$ ，不要将实数的根式法则扩展到负数。

错误做法:

直接写出 $ar g (z) = arctan (\frac{y}{x})$ ，没有根据象限调整

原因:

$arctan$ 的输出范围仅在 $- \frac{π}{2}$ 到 $\frac{π}{2}$ 之间，因此对于第二和第三象限的复数会得到错误角度。

正确做法:

务必检查复数所在象限，根据需要加减 $π$ 得到主辐角。

错误做法:

做复数除法时，只将分子乘以分母的共轭复数

原因:

这会改变分数的值，导致错误结果。

正确做法:

始终将分子分母同乘以共轭复数，保持分数值不变。

错误做法:

对复系数多项式使用共轭根定理

原因:

该定理仅在多项式所有系数都是实数时成立。

正确做法:

仅当题目明确说明多项式是实系数时，才使用共轭根定理。

错误做法:

只给出复数的一个平方根，或保留使 $x^{2}$ 为负的解。

原因:

每个非零复数都恰好有两个平方根，且 $x, y$ 必须为实数，因此 $x^{2}$ 为负时没有实数解。

正确做法:

对实数 $x, y$ 求解 $x^{2} - y^{2} = a$ 和 $2 x y = b$ ，舍去非实数解，并给出两个根 $\pm (x + i y)$ 。

错误做法:

辐角相加或相减后，让 $ar g (z_{1} z_{2})$ 或 $ar g (z_{1} / z_{2})$ 落在 $- π < θ \leq π$ 之外。

原因:

两个主辐角的和或差可能落在主值范围之外，从而不再是主辐角。

正确做法:

相加或相减后，按需加减 $2 π$ ，把辐角调整回 $- π < θ \leq π$ 。

错误做法:

把 $ar g (z - a) = α$ 画成过 $a$ 的整条直线，或把点 $a$ 本身包含在内。

原因:

辐角只固定了从 $a$ 出发的一个方向，因此只有一条射线符合；且 $ar g 0$ 无定义，所以 $a$ 不包含。

正确做法:

从 $a$ 出发画一条夹角为 $α$ 的半直线，用空心圆标出端点 $a$ ，且不要画相反方向 $α + π$ 。

10. 速查表

性质	对于 $z = x + i y, z_{1} = x_{1} + i y_{1}, z_{2} = x_{2} + i y_{2}$ 的运算法则
加法	$z_{1} + z_{2} = (x_{1} + x_{2}) + i (y_{1} + y_{2})$
减法	$z_{1} - z_{2} = (x_{1} - x_{2}) + i (y_{1} - y_{2})$
乘法	$z_{1} z_{2} = (x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}) + i (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1})$
除法	$\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{z _{1} z _{2}^{*}}{∣ z _{2} ∣ ^{2}}$
共轭	$z^{} = x - i y, z z^{} = ∣ z ∣^{2}$ （始终为实数）
模	$∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$
辐角	$tan ar g (z) = \frac{y}{x}$ ，按象限调整， $- π < ar g (z) \leq π$
极坐标形式	$z = r (cos θ + i sin θ) = r e^{i θ}$ ， $r = ∣ z ∣$ ， $θ = ar g (z)$
极坐标乘法	$∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣∣ z_{2} ∣$ ， $ar g (z_{1} z_{2}) = ar g z_{1} + ar g z_{2}$
极坐标除法	$\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{∣ z _{1} ∣}{∣ z _{2} ∣}$ ， $ar g (\frac{z _{1}}{z _{2}}) = ar g z_{1} - ar g z_{2}$
平方根	$a + ib = x + i y$ ：解 $x^{2} - y^{2} = a$ ， $2 x y = b$ ；两根 $\pm (x + i y)$
轨迹：圆	$∣ z - a ∣ = r$ ：以 $a$ 为圆心、 $r$ 为半径的圆
轨迹：垂直平分线	$∣ z - a ∣ = ∣ z - b ∣$ ： $a$ 、 $b$ 的垂直平分线
轨迹：半直线	$ar g (z - a) = α$ ：从 $a$ （不含）出发、夹角 $α$ 的半直线
共轭根定理	实系数多项式的复根以共轭对形式出现

下一步

本小节现已涵盖CIE 9709 3号卷所考查的全部复数技能：直角坐标运算，模、辐角与共轭，平方根，模-辐角（极坐标）与指数形式及其乘除法，这些运算的几何意义，以及阿根图上的轨迹。（棣莫弗定理和复数的 $n$ 次方根不属于9709考纲——它们属于进阶数学9231。）复数经常出现在与多项式和三角学结合的考题中，因此扎实掌握本小节每一部分对在3号卷中取得高分至关重要。