微分方程

CIE A-Level 数学· 9709 纯数学3：主题8 微分方程· 20 分钟阅读

1. 建立微分方程★★☆☆☆⏱ 7 min

微分方程将函数与其导数关联起来。在CIE 9709考试中，你经常需要根据描述性问题建立微分方程，这类问题通常涉及变化率。

📘 定义

微分方程

包含至少一个因变量对自变量的导数的方程

例:

$\frac{d y}{d x} = 2 x y$ 是一阶微分方程

📐 例题

放射性物质的质量 $m$ 的减少率与 $t$ 时刻的质量成正比。为这个关系建立微分方程。

1
首先确定变化率：减少率意味着导数为负：
2
$-\frac{dm}{dt}$
3
该变化率与当前质量 $m$ 成正比，因此：
4
$-\frac{dm}{dt} \propto m$
5
引入正的比例常数 $k$ ，得到最终方程：
6
$\frac{dm}{dt} = -km$

2. 求解一阶可分离变量微分方程★★★☆☆⏱ 8 min

如果可以将一阶微分方程整理，使所有 $y$ 项都在左侧，所有 $x$ 项都在右侧，那么该方程就是可分离变量的。之后我们对两侧积分即可得到通解。

📘 定义

可分离变量微分方程

可以改写为 $\frac{d y}{d x} = f (x) g (y)$ 形式的一阶微分方程

例:

$\frac{d y}{d x} = x y^{2}$ 是可分离变量方程， $\frac{d y}{d x} = x + y$ 不是

📐 例题

求 $\frac{d y}{d x} = \frac{e ^{x} y}{y + 1}$ 的通解。

1
整理方程分离变量：
2
$\frac{y + 1}{y} dy = e^x dx$
3
化简左侧：
4
$\left(1 + \frac{1}{y}\right) dy = e^x dx$
5
对两侧积分，仅添加一个任意常数：
6
$\int \left(1 + \frac{1}{y}\right) dy = \int e^x dx$
7
计算积分得到通解：
8
$y + \ln|y| = e^x + C$

3. 求特解★★★☆☆⏱ 5 min

通解包含一个任意积分常数。当给出初始条件（因变量和自变量的一组对应值）后，我们代入这些值求出常数，得到唯一的特解。

📐 例题

已知 $\frac{d y}{d x} = 2 y$ ，且当 $x = 0$ 时 $y = 4$ ，求特解。

1
分离变量并积分得到通解：
2
$\int \frac{1}{y} dy = \int 2 dx \implies \ln|y| = 2x + C$
3
代入初始条件 $y = 4, x = 0$ 求 $C$ ：
4
$\ln 4 = 2(0) + C \implies C = \ln 4$
5
代回 $C$ 并整理得到 $y$ ：
6
$\ln y = 2x + \ln 4 \implies y = 4e^{2x}$

4. 解释解与长期行为★★★★☆⏱ 8 min

求出解之后，考试常常要求你在实际背景下解释它——尤其是当 $t \to \infty$ 时的行为。对于趋向某个固定水平的增长或衰减，指数项会逐渐衰减，解会趋近一个常数极限值。求这个极限通常就是令 $t \to \infty$ ，看哪些项趋于零。受限（逻辑斯谛）增长模型，例如 $\frac{d x}{d t} = k x (a - x)$ ，需用部分分式——纯数学3的技巧——积分，并趋近极限值 $x = a$ 。

📐 例题

某种群 $P$ （单位：千）按逻辑斯谛模型 $\frac{d P}{d t} = \frac{1}{2} P (4 - P)$ 增长，其中 $t$ 以年为单位。已知当 $t = 0$ 时 $P = 1$ ，求 $P$ 关于 $t$ 的表达式，并说明 $P$ 在长期趋近的值。

1
分离变量——左侧需要用部分分式：
2
$\frac{1}{P(4 - P)}\, dP = \frac{1}{2}\, dt$
3
将左侧分解为部分分式：
4
$\frac{1}{P(4 - P)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{P} + \frac{1}{4 - P}\right)$
5
对两侧积分，仅添加一个任意常数：
6
$\frac{1}{4}\left(\ln P - \ln(4 - P)\right) = \frac{1}{2}t + C$
7
合并对数并乘以4：
8
$\ln\!\left(\frac{P}{4 - P}\right) = 2t + C_1$
9
代入初始条件 $P = 1, t = 0$ 求常数：
10
$\ln\tfrac{1}{3} = C_1 \implies C_1 = -\ln 3$
11
整理，解出 $P$ ：
12
$\frac{P}{4 - P} = \tfrac{1}{3}e^{2t} \implies P = \frac{4e^{2t}}{3 + e^{2t}}$
13
解释长期行为。将 $P = \frac{4}{3 e ^{- 2 t} + 1}$ ，当 $t \to \infty$ 时 $e^{- 2 t} \to 0$ ，因此 $P \to 4$ 。种群趋近极限值4千——即该模型的环境承载容量。

5. 常见陷阱

错误做法:

递减变化率忘记加负号

原因:

大多数学生记得比例关系，但忽略了'减少率'意味着导数为负

正确做法:

递减量一定要加负号：质量递减时，对于正的 $k$ ，有 $\frac{d m}{d t} = - k m$

错误做法:

分离变量后给两侧都加积分常数

原因:

两个任意常数可以合并为一个，这种做法会导致不必要的错误化简

正确做法:

只需要添加一个任意常数，放在自变量项那一侧即可

错误做法:

积分 $\frac{1}{y}$ 时去掉绝对值符号

原因:

这会在你指数化化简时导致 $y$ 的符号错误

正确做法:

在代入初始条件确认 $y$ 的符号之前，保留绝对值符号

错误做法:

不将特解代入原微分方程验证

原因:

积分错误或整理错误很常见，这个检查可以快速发现错误

正确做法:

对解求导，代回原微分方程，确认两侧相等

6. 速查表

步骤	可分离变量微分方程的操作
1	整理为 $\frac{1}{g ( y )} d y = f (x) d x$
2	对两侧积分，添加一个任意常数 $C$
3	代入初始条件求 $C$ 的值
4	整理出 $y$ 并按要求化简
5	在原微分方程中验证解

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下一步

微分方程是微积分的核心主题，在物理、化学、经济学和工程学中都有广泛应用。分离变量是9709中唯一的微分方程解法；积分因子法和二阶方程属于进阶数学9231。若要在9709范围内深入，重点应放在熟练掌握纯数学3中这些方程所依赖的标准积分技巧，尤其是部分分式，因为更高的分数来自积分和解释本身，而非某种新的解法。微分方程也经常出现在涉及运动学的力学问题中，因此你在这里学到的基础知识将为你学习大纲其他单元提供支持。