求导（微分）

Q: 在 9709 P1 中需要用第一原理求导吗？

不需要。9709 试卷一（Paper 1）不要求用第一原理进行形式化求导。你需要理解导数是一系列割线斜率的极限（即切线的斜率），但实际求导时使用幂次法则和链式法则。

CIE A-Level 数学· 9709 P1 主题7: 求导· 15 分钟阅读

1. 定义与第一原理求导★☆☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

第一原理导数

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

导数是曲线上两点割线斜率，当两点间距离趋近于零时的极限，结果即为该点处切线的斜率。

例:

对于 $f (x) = x^{2}$ ，第一原理求导得到的导数为2x

当割线的第二个点沿曲线滑向第一个点时，割线斜率构成的数列趋近于一个极限值——即该点处切线的斜率。这个极限就是导数 $f^{'} (x)$ 。在 9709 试卷一中，你需要理解这一思想，但无需用第一原理求导；实际计算时使用随后介绍的幂次法则和链式法则。

Exam tip:

在 9709 P1 中你无需用第一原理求导。把导数理解为一系列割线斜率的极限，然后用幂次法则和链式法则来求导。

2. 求导幂次法则★★★☆☆⏱ 6 min

📘 定义

幂次法则

\text{If } y = ax^n, \quad \frac{dy}{dx} = anx^{n-1}

任意幂函数求导的通用法则，对任意实常数 $a$ 和任意有理数幂 $n$ 都成立。该法则可以逐项应用于函数的和。

例:

$5 x^{3}$ 求导得到 $15 x^{2}$

📐 例题

对 $y = 4 x^{3} - \frac{2}{x ^{2}} + 5 x$ 关于 $x$ 求导。

1
将所有项改写为 $a x^{n}$ 的形式：
2
$y = 4x^3 - 2x^{-2} + 5x^{\frac{1}{2}}$
3
逐项应用幂次法则：
4
$\frac{d}{dx}(4x^3) = 4 \times 3 x^{2} = 12x^2$
5
$\frac{d}{dx}(-2x^{-2}) = (-2) \times (-2) x^{-3} = 4x^{-3}$
6
$\frac{d}{dx}(5x^{\frac{1}{2}}) = 5 \times \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{5}{2}x^{-\frac{1}{2}}$
7
最终答案改写为正幂/分母带根号的形式：
8
$\frac{dy}{dx} = 12x^2 + \frac{4}{x^3} + \frac{5}{2\sqrt{x}}$

3. 链式法则★★★☆☆⏱ 6 min

📘 定义

链式法则

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}

对复合函数 $y = f (g (x))$ 求导时，令 $u = g (x)$ ，使 $y$ 成为 $u$ 的函数。先对外层函数关于 $u$ 求导，再乘以内层函数的导数——先对外层求导，再乘以内层的导数。

例:

对于 $y = (2 x + 1)^{5}$ ，令 $u = 2 x + 1$ ： $\frac{d y}{d x} = 5 u^{4} \times 2 = 10 (2 x + 1)^{4}$ 。

📐 例题

对 $y = 3 x^{2} - 1$ 关于 $x$ 求导。

1
将函数写成幂的形式，并识别内层函数：
2
$y = (3x^2 - 1)^{\frac{1}{2}}, \quad u = 3x^2 - 1$
3
对外层关于 $u$ 求导：
4
$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)^{-\frac{1}{2}}$
5
对内层关于 $x$ 求导：
6
$\frac{du}{dx} = 6x$
7
将两个导数相乘（链式法则）：
8
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)^{-\frac{1}{2}} \times 6x = \frac{3x}{\sqrt{3x^2 - 1}}$

Exam tip:

对于括号的幂， $\frac{d}{d x} (a x + b)^{n} = n (a x + b)^{n - 1} \times a$ 。务必乘上内层的导数。

4. 切线与法线方程★★★☆☆⏱ 6 min

曲线在点 $(a, f (a))$ 处的导数给出该点处曲线切线的斜率。法线在切点处垂直于切线，因此法线的斜率是切线斜率的负倒数： $m_{n} = - \frac{1}{m _{t}}$ 。

📐 例题

求曲线 $y = x^{3} - 2 x + 1$ 在点 $(1, 0)$ 处法线的方程。

1
首先对曲线求导得到斜率函数：
2
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2$
3
计算 $x = 1$ 处切线的斜率：
4
$m_t = 3(1)^2 - 2 = 1$
5
将法线斜率计算为负倒数：
6
$m_n = -\frac{1}{1} = -1$
7
使用直线的点斜式求方程：
8
$y - y_1 = m(x - x_1) \implies y - 0 = -1(x - 1)$
9
化简得到最终答案：
10
$y = -x + 1$

Exam tip:

反复确认题目要求的是切线还是法线，这是考试中最常见的可避免错误之一。

5. 增函数与减函数★★★☆☆⏱ 5 min

📘 定义

增函数与减函数

f'(x) > 0 \implies \nearrow, \quad f'(x) < 0 \implies \searrow

在导数为正的区间上函数递增，在导数为负的区间上函数递减。 $f^{'} (x)$ 的符号告诉你当 $x$ 增大时曲线是上升还是下降。

例:

对于 $f (x) = x^{2}$ ， $f^{'} (x) = 2 x$ ：函数在 $x < 0$ 时递减，在 $x > 0$ 时递增。

📐 例题

求使 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ 递减的 $x$ 的取值范围。

1
求导得到斜率函数：
2
$f'(x) = 3x^2 - 6x$
3
函数在 $f^{'} (x) < 0$ 的区间递减：
4
$3x^2 - 6x < 0 \implies 3x(x - 2) < 0$
5
解不等式（临界值为 $x = 0$ 和 $x = 2$ ）：
6
$0 < x < 2$
7
因此 $f (x)$ 在 $0 < x < 2$ 时递减。

Exam tip:

答案用不等式或区间表示。函数在 $f^{'} (x) > 0$ 处递增，在 $f^{'} (x) < 0$ 处递减——不要弄反。

6. 驻点★★★★☆⏱ 7 min

📘 定义

驻点

曲线上斜率（导数）为零的点，此时切线为水平线。驻点分为两类：极大值点（斜率从正变负）和极小值点（斜率从负变正）。

例:

曲线 $y = x^{2}$ 在 $(0, 0)$ 处有一个极小值驻点。

📐 例题

求并分类 $y = x^{3} - 3 x + 2$ 的驻点。

1
求导得到一阶导数：
2
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 3$
3
令导数等于零，求得驻点的x坐标：
4
$3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ or } x = -1$
5
求对应的y坐标：
6
$x=1: y=1 - 3 + 2 = 0 \quad (1, 0)$
7
$x=-1: y=-1 + 3 + 2 = 4 \quad (-1, 4)$
8
使用二阶导数测试进行分类：
9
$\frac{d^2y}{dx^2} = 6x$
10
对于 $(1, 0)$ : $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = 6 (1) = 6 > 0$ ，因此是极小值点。对于 $(- 1, 4)$ : $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = 6 (- 1) = - 6 < 0$ ，因此是极大值点。

7. 变化率与关联变化率★★★★☆⏱ 6 min

导数就是一种变化率： $\frac{d y}{d x}$ 衡量 $y$ 随 $x$ 变化的快慢。当两个量都随时间变化时，它们的变化率通过链式法则联系起来： $\frac{d y}{d t} = \frac{d y}{d x} \times \frac{d x}{d t}$ 。这样你就能由已知的变化率求出未知的变化率。

📐 例题

一个圆的半径 $r$ cm 以 $0.2$ cm s $^{- 1}$ 的恒定速率增大。求当 $r = 5$ cm 时，面积 $A$ 增大的速率。

1
写出已知的变化率以及 $A$ 与 $r$ 的关系：
2
$\frac{dr}{dt} = 0.2, \quad A = \pi r^2$
3
对 $A$ 关于 $r$ 求导：
4
$\frac{dA}{dr} = 2\pi r$
5
用链式法则关联变化率：
6
$\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \times \frac{dr}{dt} = 2\pi r \times 0.2$
7
代入 $r = 5$ ：
8
$\frac{dA}{dt} = 2\pi (5)(0.2) = 2\pi \approx 6.28 \text{ cm}^2\,\text{s}^{-1}$

Exam tip:

先确定题目给出的变化率和所求的变化率，再建立把它们连接起来的导数链。最终答案要带单位。

8. 常见陷阱

错误做法:

对常数项求导后在导数中保留该常数

原因:

忘记常数 $c = c x^{0}$ ，因此幂次法则给出导数 $0 \times c x^{- 1} = 0$

正确做法:

所有常数项求导结果都一定是零，最终导数中要去掉常数项

错误做法:

省略改写负幂/分数幂的步骤，例如写出 $\frac{d}{d x} (1/ x) = 1$

原因:

幂次法则仅对 $a x^{n}$ 形式的项生效，因此倒数和根号必须先改写

正确做法:

先改写 $1/ x = x^{- 1}$ ，再应用法则得到导数 $- x^{- 2} = - 1/ x^{2}$

错误做法:

求法线方程时使用切线斜率

原因:

混淆了切线和法线的定义，或者忘记垂直斜率的关系

正确做法:

始终将法线斜率计算为切线斜率的负倒数： $m_{n} = - 1/ m_{t}$

错误做法:

颠倒二阶导数测试结果：将二阶导数为正判定为极大值

原因:

记错了驻点的分类法则

正确做法:

二阶导数为正 = 极小值，二阶导数为负 = 极大值

9. 速查表

概念	法则/公式
第一原理导数	f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
幂次法则	y = ax^n \implies \frac{dy}{dx} = anx^{n-1}
链式法则	\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}
x=a处的切线斜率	m_t = \frac{dy}{dx} \bigg\|_{x=a}
x=a处的法线斜率	m_n = -\frac{1}{m_t}
增减性	$f^{'} (x) > 0$ ：递增； $f^{'} (x) < 0$ ：递减
驻点条件	\frac{dy}{dx} = 0
二阶导数测试	$d^{2} y / d x^{2} > 0$ : 极小值； $< 0$ : 极大值
关联变化率	\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \times \frac{dr}{dt}

10. 常见问题

在 9709 P1 中需要用第一原理求导吗？

不需要。9709 试卷一（Paper 1）不要求用第一原理进行形式化求导。你需要理解导数是一系列割线斜率的极限（即切线的斜率），但实际求导时使用幂次法则和链式法则。

下一步

求导是 A-Level 数学所有后续微积分内容的基础。在本 P1 主题中，你已经学习了链式法则、增函数与减函数、关联变化率，以及利用驻点求最优值（优化）。在纯数学 2 和纯数学 3 中，你将把求导拓展到三角函数、指数函数和对数函数，并学习乘积与商的求导新法则。掌握这里的 P1 法则与技能，是学习后续这些方法的前提。