数值方法

Q: 在CIE考试中我需要证明收敛性吗？

不需要。在 9709 中，你只会被要求通过变号确定根的位置，或使用题目给定的迭代公式求出满足指定精度的近似值。你无需事先判断某个迭代是否会收敛——你只需理解有些整理形式会收敛到根，而有些则不收敛即可。

CIE A-Level 数学· 15 分钟阅读

1. 利用变号法确定根的位置★★☆☆☆⏱ 15 min

若函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f (a)$ 与 $f (b)$ 符号相反，则开区间 $(a, b)$ 内至少存在 $f (x) = 0$ 的一个根。这是所有数值求根的基础。

📘 定义

方程的根

满足 $f (α) = 0$ 的值 $x = α$ ，也称为函数 $f$ 的零点。

📐 例题

证明 $e^{x} - 3 x^{2} = 0$ 在 $x = 3$ 和 $x = 4$ 之间存在一个根。

1
定义方程对应的函数:
2
$f(x) = e^x - 3x^2$
3
计算区间端点处的 $f (x)$ :
4
$f(3) = e^3 - 3(3)^2 \approx 20.0855 - 27 = -6.9145 < 0$
5
$f(4) = e^4 - 3(4)^2 \approx 54.598 - 48 = 6.598 > 0$
6
$f (x)$ 由指数函数和多项式函数组合而成，对所有实数 $x$ 都连续。由于 $f (3)$ 和 $f (4)$ 符号相反，因此区间 $(3, 4)$ 内至少存在一个根。

Exam tip:

证明区间内存在根时，一定要明确说明函数是连续的，CIE会给这个步骤分配1分。

2. 不动点迭代法★★★☆☆⏱ 20 min

为求根的近似值，我们将 $f (x) = 0$ 整理为 $x = g (x)$ 的形式。从初始猜测值 $x_{0}$ 开始，我们利用递推关系 $x_{n + 1} = g (x_{n})$ 生成近似值序列。

📐 例题

从 $x_{0} = 0.5$ 出发，求 $x^{3} - 3 x + 1 = 0$ 在0和1之间的根，精确到2位小数。

1
将方程整理为 $x = g (x)$ 的形式:
2
$x^3 + 1 = 3x \implies x = \frac{x^3 + 1}{3}, \quad g(x) = \frac{x^3 + 1}{3}$
3
从 $x_{0} = 0.5$ 出发，进行迭代并观察数值逐渐趋近于根：
4
$x_1 = \frac{(0.5)^3 + 1}{3} = 0.375$
5
$x_2 = \frac{(0.375)^3 + 1}{3} \approx 0.35095$
6
$x_3 \approx 0.34774, \quad x_4 \approx 0.34730$
7
$x_{3}$ 和 $x_{4}$ 保留两位小数均为0.35，因此根的近似值为0.35。

Exam tip:

一定要展示两个连续迭代结果四舍五入后相同，以证明你的精度是正确的。

3. 迭代何时会不收敛★★★☆☆⏱ 10 min

方程 $f (x) = 0$ 可以整理成 $x = g (x)$ 的形式，而且整理方式不止一种，选择哪一种很重要。有些整理形式产生的近似值序列会趋近于根，而另一些产生的序列则会远离根，从而迭代不收敛。（某个整理形式也可能趋近于同一方程的另一个根。）考试只会要求你使用题目给定的公式，但你应当理解并非每一种整理形式都有效。

📐 例题

方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 有一个正根 $α = \frac{1 + 5}{2} \approx 1.618$ 。比较两种整理形式，均从 $x_{0} = 2$ 出发。

1
整理形式 A： $x^{2} = x + 1 ⟹ x = 1 + x$ ，即 $x_{n + 1} = 1 + x_{n}$ 。从 $x_{0} = 2$ 出发：
2
$x_1 = 1.7321, \quad x_2 = 1.6529, \quad x_3 = 1.6288, \quad x_4 = 1.6213, \quad x_5 = 1.6191$
3
数值逐渐趋近于 $1.618$ ：该迭代收敛到根。
4
整理形式 B： $x^{2} - 1 = x ⟹ x = x^{2} - 1$ ，即 $x_{n + 1} = x_{n}^{2} - 1$ 。从相同的 $x_{0} = 2$ 出发：
5
$x_1 = 3, \quad x_2 = 8, \quad x_3 = 63, \quad x_4 = 3968, \quad \ldots$
6
数值无限增大、远离根：该迭代发散。同一个方程，换一种整理形式，就不收敛了。

Exam tip:

如果给定的迭代发散，不要以为是自己算错了。有些整理形式本身就不收敛，而 9709 从不要求你事先预判这一点——你只需使用题目给定的公式即可。

4. 常见陷阱

错误做法:

证明区间内存在根时忘记说明函数连续

原因:

CIE明确给这个陈述分配1分，考生经常丢分

正确做法:

计算完f(a)和f(b)后，一定要加上'f(x)在[a, b]上连续'这句话

错误做法:

题目要求指定精度时，只迭代一次就停止

原因:

考官要求你确认你的近似值符合要求的精度

正确做法:

至少计算两个连续近似值，且它们四舍五入后结果相同

错误做法:

区间内没有变号就声称不存在根

原因:

切线根（重根）和成对对根不会产生变号，但仍然存在

正确做法:

变号只能用来证明根存在，永远不能用来证明根不存在

5. 速查表

方法	核心规则	精度验证
变号法	f(a)f(b) < 0 + 连续 = (a,b)内存在根	验证区间端点四舍五入后结果相同
不动点迭代	$x_{n + 1} = g (x_{n})$ ，来自给定的整理形式	两次迭代四舍五入后结果相同

6. 常见问题

在CIE考试中我需要证明收敛性吗？

不需要。在 9709 中，你只会被要求通过变号确定根的位置，或使用题目给定的迭代公式求出满足指定精度的近似值。你无需事先判断某个迭代是否会收敛——你只需理解有些整理形式会收敛到根，而有些则不收敛即可。

深入阅读

syllabus官方 CIE 9709 P3 大纲

下一步

数值方法是解决工程、数据科学和物理领域实际问题的基础，这些领域中的大多数方程都无法用代数方法求解。你在这里学到的求根迭代原理可以直接推广到数值积分、微分方程和其他高级数值技术。认真、系统地作答并清晰记录逐次近似值，能帮助你掌握 CIE P2/P3 考试中的数值问题。