单元总览

微积分

CIE IGCSE 附加数学· 5 分钟阅读 📊 占试卷1和试卷2总评估分值的20-25%

1. 单元概览

本单元遵循逻辑学习顺序：你将首先掌握求导法则及其实际应用，之后学习作为求导逆运算的积分，最后综合运用这两种微积分工具解决运动学问题。

你将把抽象的微积分概念与具体场景关联起来，包括计算曲线的切线方程、最大化容器容积、求解两条曲线围成的面积，以及计算运动物体经过的总路程。

请按照以下列出的顺序学习所有子主题：

学习多项式、三角函数、指数函数与对数函数的标准导数公式，以及适用于复合函数的链式法则。

★★⏱ 15 min

通过乘积法则和商法则拓展求导技能，使用导数求解曲线的切线和法线方程。

★★★⏱ 18 min

识别极大值与极小值，求解相关变化率问题，并将求导应用于现实世界的优化场景。

★★★★⏱ 20 min

理解积分是求导的逆运算，学习标准积分公式，并计算带有积分常数的不定积分。

★★⏱ 15 min

按照 $F (b) - F (a)$ （即原函数在上下限处的取值之差）计算定积分，求解曲线下方以及两条相交曲线之间的面积。

★★★⏱ 18 min

运用求导和积分解决直线运动物体的位移、速度和加速度相关问题。

★★★★⏱ 20 min

错误做法:

计算不定积分时忘记添加积分常数 $+ c$

原因:

不定积分代表相差一个常数的一族原函数，因此省略 $c$ 会导致答案不完整

正确做法:

除非给出边界条件用于求解 $c$ ，否则在计算完任意不定积分后都要立刻添加 $+ c$

错误做法:

混淆商法则分子中的项顺序，导致符号错误

原因:

商法则的分子使用减法，颠倒项的顺序会翻转导数的符号

正确做法:

牢记商法则的形式为 $\frac{d}{d x} (\frac{u}{v}) = \frac{v \frac{d u}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{v ^{2}}$ ，其中 $v \frac{d u}{d x}$ 项放在最前面

错误做法:

计算穿过x轴的曲线下方面积时，不拆分区间直接积分

原因:

对于x轴下方的面积，积分结果为负值，因此直接积分会抵消正负面积

正确做法:

在x截距处拆分积分，取每一段积分结果的绝对值，再将数值相加得到总面积

公式/法则	适用场景	子主题参考
$\frac{d}{d x} [x^{n}] = n x^{n - 1}$	对多项式项求导	标准导数
链式法则: $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \times \frac{d u}{d x}$	对复合函数求导	链式法则
乘积法则: $\frac{d}{d x} (uv) = u \frac{d v}{d x} + v \frac{d u}{d x}$	对两个函数的乘积求导	乘积与商法则
$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + c, n \neq = - 1$	对多项式项积分	标准积分
$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ where $F^{'} (x) = f (x)$	计算定积分	定积分与平面面积
$v = \frac{d s}{d t}$ , $a = \frac{d v}{d t}$ , $s = \int v d t$	求解直线运动学问题	运动学

从标准导数和链式法则的第一个子主题开始你的微积分学习之旅，你将在此掌握本单元所有后续内容所需的基础求导技能。完成本微积分单元的所有子主题后，你就可以进入教学大纲的最后一个单元，进行全面备考和历年真题练习。