乘积法则与商法则、切线和法线

Q: 同一点处的切线梯度和法线梯度有什么关系？

二者互为负倒数，因此。仅当切线为水平线（法线为竖直线，梯度无定义）或相反情况时该关系不成立。

Q: 我可以把商改写为乘积来避免使用商法则吗？

可以，例如，此时你可以结合乘积法则和链式法则完成求导。很多学生发现这种方法可以减少符号错误。

CIE IGCSE 附加数学· 14.4, 14.5· 25 分钟阅读

1. 乘积法则★★☆☆☆⏱ 6 min

📘 定义

乘积法则

如果 $y = u \times v$ ，其中 $u$ 和 $v$ 都是关于 $x$ 的函数

导数由公式 $\frac{d y}{d x} = u \frac{d v}{d x} + v \frac{d u}{d x}$ 给出，也可写为 $f^{'} (x) = u (x) v^{'} (x) + v (x) u^{'} (x)$

例:

对于 $y = x^{2} sin x$ ，取 $u = x^{2}$ ， $v = sin x$ ，可得 $\frac{d y}{d x} = x^{2} cos x + 2 x sin x$

当你遇到两个独立函数相乘的形式时就可以使用乘积法则。将两个函数清晰标记为 $u$ 和 $v$ ，避免代入公式时混淆项，如果 $u$ 和 $v$ 是复合函数，要使用链式法则对它们分别求导。

📐 例题

对 $y = (3 x + 2) (e^{x} - 4)$ 关于x求导。

1
将两个函数标记为 $u$ 和 $v$ ：
$u = 3x + 2, v = e^x - 4$
2
分别计算 $u$ 和 $v$ 的导数：
$\frac{du}{dx} = 3, \frac{dv}{dx} = e^x$
3
代入乘积法则公式：
$\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} = (3x + 2)e^x + (e^x - 4)(3)$
4
化简表达式：
$\frac{dy}{dx} = 3x e^x + 2e^x + 3e^x - 12 = e^x(3x + 5) - 12$

Exam tip:

尽可能化简最终的导数结果，0606考试中经常为完全化简的答案设置得分点。

2. 商法则★★★☆☆⏱ 7 min

📘 定义

商法则

如果 $y = \frac{u}{v}$ ，其中 $u$ 和 $v$ 都是关于 $x$ 的函数，且 $v \neq = 0$

导数由公式 $\frac{d y}{d x} = \frac{v \frac{d u}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{v ^{2}}$ 给出

例:

对于 $y = \frac{2 x + 1}{x ^{2}}$ ，取 $u = 2 x + 1$ ， $v = x^{2}$ ，化简后可得 $\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 ( x + 1 )}{x ^{3}}$ 。

📐 例题

求函数 $f (x) = \frac{l n x}{5 x - 3}$ 在 $x = 1$ 处导数的精确值。

1
将分子标记为 $u$ ，分母标记为 $v$ ：
$u = \ln x, v = 5x - 3$
2
计算 $u$ 和 $v$ 的导数：
$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}, \frac{dv}{dx} = 5$
3
代入商法则公式：
$f'(x) = \frac{(5x - 3)\left(\frac{1}{x}\right) - (\ln x)(5)}{(5x - 3)^2}$
4
代入 $x = 1$ 并化简：
$f'(1) = \frac{(2)(1) - 0}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Exam tip:

当题目要求计算某点处的导数值时，你可以直接将x值代入未化简的导数公式来节省时间，前提是你清晰展示了代入步骤。

3. 曲线的切线方程★★★☆☆⏱ 6 min

曲线在点 $P (x_{1}, y_{1})$ 处的切线与曲线在 $P$ 点处的梯度相等。要求解切线方程，首先通过求导计算曲线在 $P$ 点的梯度，然后使用直线的点斜式： $y - y_{1} = m_{t} (x - x_{1})$ ，其中 $m_{t}$ 是切线梯度。

📐 例题

求曲线 $y = x^{2} e^{2 x}$ 在 $x = 0$ 处的切线方程，结果以 $y = m x + c$ 的形式给出。

1
求 $x = 0$ 处点的y坐标：
$y = 0^2 \times e^0 = 0 \implies P(0, 0)$
2
使用乘积法则对 $y$ 求导：
$\frac{dy}{dx} = x^2(2e^{2x}) + e^{2x}(2x) = 2x e^{2x}(x + 1)$
3
计算 $x = 0$ 处的切线梯度：
$m_t = 2(0)e^0(0 + 1) = 0$
4
代入点斜式并化简：
$y - 0 = 0(x - 0) \implies y = 0$

Exam tip:

在写切线方程时，务必反复确认你使用的是曲线在正确x值处的梯度，而不是通用的导函数。

4. 曲线的法线方程★★★☆☆⏱ 6 min

曲线在点 $P$ 处的法线与该点的切线垂直，因此它的梯度是切线梯度的负倒数： $m_{n} = - \frac{1}{m _{t}}$ ，前提是 $m_{t} \neq = 0$ 。如果切线是水平线（ $m_{t} = 0$ ），法线就是形如 $x = x_{1}$ 的竖直线；如果切线是竖直线，法线就是形如 $y = y_{1}$ 的水平线。

📐 例题

求曲线 $y = \frac{x ^{2} - 1}{x}$ 在 $x = 1$ 处的法线方程，结果以 $a x + b y + c = 0$ 的形式给出，其中 $a, b, c$ 均为整数。

1
求 $x = 1$ 处的y坐标：
$y = \frac{1 - 1}{1} = 0 \implies P(1, 0)$
2
使用商法则求导并化简：
$\frac{dy}{dx} = \frac{x(2x) - (x^2 - 1)(1)}{x^2} = \frac{x^2 + 1}{x^2}$
3
计算 $x = 1$ 处的切线梯度，再得到法线梯度：
$m_t = \frac{1 + 1}{1} = 2, m_n = -\frac{1}{2}$
4
代入点斜式并整理：
$y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 1) \implies x + 2y - 1 = 0$

5. 常见陷阱

错误做法:

颠倒商法则分子中项的顺序（先写 $u \frac{d v}{d x}$ 而不是 $v \frac{d u}{d x}$ ）

原因:

这会完全翻转导数的符号，导致切线和法线的梯度值全部错误。

正确做法:

永远先写分母乘以分子的导数，再减去分子乘以分母的导数。

错误做法:

对乘积或商中的复合函数（例如 $e^{3 x}$ 、 $sin (2 x)$ ）求导时忘记应用链式法则

原因:

这会得到错误的导数，丢失方法分和结果分。

正确做法:

在代入乘积或商法则公式之前，先使用链式法则将 $u$ 和 $v$ 完全求导。

错误做法:

切线和法线使用相同的梯度

原因:

法线与切线垂直，因此它的梯度是负倒数，和切线梯度不相等。

正确做法:

算出 $m_{t}$ 之后，立刻计算 $m_{n} = - \frac{1}{m _{t}}$ ，再写法线方程。

错误做法:

将通用导函数直接用作切线的梯度，而没有代入点的x坐标

原因:

非线性曲线的梯度随x变化，因此通用导数不是常数。

正确做法:

永远将点的x值代入导数，得到该点处的特定梯度。

错误做法:

当你只需要某特定点处的导数值时，将导数完全化简

原因:

这会浪费时间，还会引入不必要的计算错误。

正确做法:

先将x值直接代入未化简的导数，再化简得到的数值表达式。

6. 速查表

法则/概念	公式	关键说明
乘积法则	$\frac{d y}{d x} = u \frac{d v}{d x} + v \frac{d u}{d x}$	对于 $y = u \times v$ ，清晰标记 $u$ 和 $v$
商法则	$\frac{d y}{d x} = \frac{v \frac{d u}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{v ^{2}}$	分子项的顺序很重要，注意负号
切线梯度	$m_{t} = \frac{d y}{d x}$ 在 $(x_{1}, y_{1})$ 处求值	等于曲线在该点处的梯度
法线梯度	$m_{n} = - \frac{1}{m _{t}}$	与切线垂直；当 $m_{t} = 0$ 时无定义
直线方程	$y - y_{1} = m (x - x_{1})$	切线用 $m_{t}$ ，法线用 $m_{n}$

7. 常见问题

备考0606我必须熟记乘积法则和商法则吗？

是的，这两个法则不会出现在0606的公式手册中，你必须在考前完全熟记二者。

同一点处的切线梯度和法线梯度有什么关系？

二者互为负倒数，因此 $m_{n} = - \frac{1}{m _{t}}$ 。仅当切线为水平线（法线为竖直线，梯度无定义）或相反情况时该关系不成立。

我可以把商改写为乘积来避免使用商法则吗？

可以，例如 $\frac{u}{v} = u v^{- 1}$ ，此时你可以结合乘积法则和链式法则完成求导。很多学生发现这种方法可以减少符号错误。

深入阅读

syllabusCIE 0606 2025-2027 教学大纲
study_guide基础求导与链式法则

下一步

在掌握了乘积法则、商法则，并且能够求解切线和法线方程之后，你就可以继续学习CIE IGCSE附加数学0606中更进阶的微积分内容了。接下来你将学习如何使用导数求解曲线的驻点，将它们分类为极大值或极小值，这部分内容在Paper 1和Paper 2中都高频考查。你还会应用这些求导法则解决涉及变化率的实际问题，这类题目通常结合微积分、坐标几何和代数运算。本知识点是你后续学习A-Level数学中所有高阶求导内容的基础，因此请务必多做历年真题，建立解题信心。