运动学 — 直线运动

CIE IGCSE 附加数学· 14.14, 14.15· 25 分钟阅读

1. 核心运动学关系与符号约定★★☆☆☆⏱ 7 min

📘 定义

运动学微积分关系

$v = \frac{d s}{d t}$ , $a = \frac{d v}{d t} = \frac{d ^{2} s}{d t ^{2}}$ , $s = \int v d t$ , $v = \int a d t$

对于直线运动，三个核心物理量通过微积分关联：速度是位移的一阶导数，加速度是速度的一阶导数（或位移的二阶导数）。反向关系使用积分，积分常数代表初始条件。

📐 例题

某质点沿直线运动， $t$ 秒时相对于原点的位移为 $s = 2 t^{3} - 5 t^{2} + 3 t$ 米。求 $t = 2$ 秒时质点的速度。

1
对位移函数求导得到速度：
$v = \frac{ds}{dt} = 6t^2 - 10t + 3$
2
将 $t = 2$ 代入速度函数：
$v = 6(2)^2 - 10(2) + 3 = 24 - 20 + 3 = 7$
3
最终速度为沿正方向的 $7$ m/s。

Exam tip:

在书面作答时务必说明你选定的正方向，避免因符号错误被扣分数。

2. 匀加速与变加速问题★★★☆☆⏱ 8 min

0606大纲同时考查匀加速和变加速运动，在0606中两类问题都使用微积分处理。通过求导可以从位移得到速度，再得到加速度（ $v = \frac{d s}{d t}$ , $a = \frac{d v}{d t}$ ），通过积分可以反向推导（ $v = \int a d t$ , $s = \int v d t$ ），使用初始条件确定每个积分常数。当加速度为常数时，对常数积分得到的速度是关于 $t$ 的一次函数；考试提供的公式列表中没有单独的匀加速运动公式，因此所有情况都需要通过积分推导。

📐 例题

某质点的恒定加速度 $a = 4$ m/s²，初速度 $u = 2$ m/s， $t = 0$ 时初始位移 $s = 0$ 。求 $t = 3$ 秒时的位移。

1
对加速度积分得到速度，添加积分常数 $C$ ：
$v = \int 4 \, dt = 4t + C$
2
使用初始条件 $t = 0$ 时 $v = 2$ ，求得 $C = 2$ ，因此 $v = 4 t + 2$
3
对速度积分得到位移，添加常数 $D$ ：
$s = \int (4t + 2) \, dt = 2t^2 + 2t + D$
4
使用初始条件 $t = 0$ 时 $s = 0$ ，求得 $D = 0$ ，代入 $t = 3$ ：
$s = 2(3)^2 + 2(3) = 18 + 6 = 24$
5
最终位移为 $24$ m。

📐 例题

某质点的变加速度 $a = 2 t + 1$ m/s²，初速度为0 m/s。求 $t = 2$ 秒时的速度。

1
对加速度积分得到速度：
$v = \int (2t + 1) \, dt = t^2 + t + C$
2
使用初始条件 $t = 0$ 时 $v = 0$ ，求得 $C = 0$ ，代入 $t = 2$ ：
$v = (2)^2 + 2 = 6$
3
最终速度为 $6$ m/s。

Exam tip:

无论加速度是恒定还是变化的，全程都使用求导和积分运算——0606考试不提供现成的运动学公式，因此所有速度或位移都需要通过积分并应用初始条件推导得到。

3. 运动图像的解读与绘制★★★☆☆⏱ 6 min

图像类型	斜率代表的物理量	图像下方面积代表的物理量
位移-时间（ $s$ - $t$ ）图像	速度（ $v$ ）	无物理意义
速度-时间（ $v$ - $t$ ）图像	加速度（ $a$ ）	位移的变化量（带符号面积）
速率-时间（速率- $t$ ）图像	加速度的大小	总路程（所有正面积之和）
加速度-时间（ $a$ - $t$ ）图像	0606大纲不作要求	速度的变化量

📐 例题

某 $v$ - $t$ 图像包含从 $(0, 0)$ 到 $(2, 4)$ 的直线段、延伸到 $(5, 4)$ 的水平线段，最后向下直线延伸到 $(7, 0)$ 。求7秒内质点运动的总路程。

1
总路程是 $v$ - $t$ 图像下方的总面积（所有值均为正，因此无需取绝对值）。
2
第一个三角形的面积： $0.5 \times 2 \times 4 = 4$ m
3
矩形的面积： $3 \times 4 = 12$ m
4
第二个三角形的面积： $0.5 \times 2 \times 4 = 4$ m
5
总路程： $4 + 12 + 4 = 20$ m

Exam tip:

若要从 $v$ - $t$ 图像计算位移，需保留 $t$ 轴下方区域的面积符号。若要计算路程，所有区域的面积都取绝对值。

4. 标量与矢量的区分★★★★☆⏱ 5 min

考试中常见的陷阱是混淆标量和矢量。位移和速度是矢量（可以为负），而路程和速率是标量（始终非负）。计算某一区间内的总路程时，必须考虑运动方向反转的情况。

📐 例题

某质点的位移由 $s = t^{2} - 4 t$ 米给出， $t$ 单位为秒。求 $t = 0$ 到 $t = 3$ 秒之间质点运动的总路程。

1
找到速度为零的时刻（方向反转点）：
$v = \frac{ds}{dt} = 2t - 4 = 0 \implies t = 2$
2
计算关键点的位移： $s (0) = 0$ , $s (2) = 4 - 8 = - 4$ m, $s (3) = 9 - 12 = - 3$ m
3
计算每一段的路程： $∣ s (2) - s (0) ∣ = 4$ m, $∣ s (3) - s (2) ∣ = 1$ m
4
总路程： $4 + 1 = 5$ m

Exam tip:

绝对不要将总路程计算为末位移与初位移的差值，这会忽略运动方向反转的情况。

5. 常见陷阱

错误做法:

直接套用现成的匀加速运动公式而不进行积分运算

原因:

0606 大纲没有给出任何运动学公式，一旦加速度随时间变化，这种捷径就会失效。

正确做法:

始终使用求导和积分关系（ $a = \frac{d v}{d t}$ , $v = \int a d t$ , $s = \int v d t$ ），通过初始条件确定积分常数，该方法对匀加速和变加速运动均适用。

错误做法:

从速率-时间图像计算位移

原因:

速率是标量，因此速率-时间图像下的面积代表总路程，而非带符号的位移。

正确做法:

使用带符号值的速度-时间图像来计算位移。

错误做法:

求解运动学积分时省略积分常数

原因:

积分常数代表初速度或初始位移，省略它会导致最终计算结果错误。

正确做法:

每次积分后都使用给定的初始条件（例如 $t = 0$ 时 $s = 0$ ）求解积分常数。

错误做法:

用 $s_{最终} - s_{初始}$ 计算总路程

原因:

如果质点反向运动，净位移会小于实际运动的总路径长度。

正确做法:

找到所有 $v = 0$ 的点，计算每个分段的位移，再对每个分段的位移取绝对值后求和。

6. 速查表

物理量	类型	微积分关系	图像性质
位移 ( $s$ )	矢量	$s = \int v d t$	$s$ - $t$ 图像的斜率 = $v$
速度 ( $v$ )	矢量	$v = \frac{d s}{d t} = \int a d t$	$v$ - $t$ 图像的斜率 = $a$ , $v$ - $t$ 图像下的面积 = $Δ s$
加速度 ( $a$ )	矢量	$a = \frac{d v}{d t} = \frac{d ^{2} s}{d t ^{2}}$	$a$ - $t$ 图像下的面积 = $Δ v$
路程	标量	各分段位移的绝对值之和	速率-时间图像下的面积
速率	标量	速度的大小	$v$ - $t$ 图像上 $v$ 的绝对值

7. 常见问题

在运动学中何时使用求导、何时使用积分？

如果你已知位移函数需要求速度/加速度，或者已知速度函数需要求加速度，则使用求导。如果你已知加速度函数需要求速度/位移，或者已知速度函数需要求位移，则使用积分。

路程和位移的区别是什么？

位移是矢量，衡量从原点出发的位置净变化，因此可以为负。路程是标量，衡量运动的总路径长度，因此始终为正，即使质点反向运动也不会为负。

深入阅读

study_guide0606 求导法则
study_guide0606 积分基础

下一步

在掌握 CIE IGCSE 附加数学 0606 的直线运动学内容后，你可以进一步学习将微积分应用于包含指数和三角函数运动函数的更复杂问题，这类内容在 Paper 2 中高频出现。该主题经常与其他微积分技能结合出现在长结构化问题中，因此请确保你熟练掌握大纲要求的所有函数类型的求导和积分法则。多练习历年真题中的运动学题目，熟悉常见的考试表述和陷阱设置。