积分——微分的逆运算与标准积分

CIE IGCSE 附加数学· 14.10, 14.11, 14.12· 25 分钟阅读

1. 积分作为微分的逆运算★★☆☆☆⏱ 5 min

🚫 计算器禁用

积分是微分的逆运算：如果 $F (x)$ 的导数是 $f (x)$ ，那么 $f (x)$ 的积分就是 $F (x) + c$ ，其中 $c$ 是积分常数。这一关系是0606考纲下所有积分微积分内容的基础。

📘 定义

不定积分

给定被积函数的全体原函数构成的集合，所有结果仅相差一个常数 $c$

例:

如果 $\frac{d}{d x} (x^{2}) = 2 x$ ，那么 $\int 2 x d x = x^{2} + c$

📐 例题

已知 $\frac{d}{d x} (3 x^{4} - 2 x + 5) = 12 x^{3} - 2$ ，求 $\int (12 x^{3} - 2) d x$ 。

1
认识到积分是微分的逆运算，因此积分结果就是原函数加上积分常数。
2
写出最终结果，将所有任意常数合并为单个 $c$ ：
3
$\int (12x^3 - 2) dx = 3x^4 - 2x + c$

Exam tip:

所有不定积分的答案都必须加上积分常数 $c$ ：在几乎所有0606积分题中，这一步都占1分。

2. x的幂函数与1/(ax+b)的积分★★★☆☆⏱ 7 min

🚫 计算器禁用

积分的核心幂法则为 $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + c$ ，其中 $n \neq = - 1$ 。当 $n = - 1$ 时使用对数法则： $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + c$ 。对于内层为线性项 $a x + b$ 的函数，将法则扩展，除以 $x$ 的系数 $a$ 即可：

\int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + c \quad (n \neq -1)

\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b| + c

📐 例题

求 $\int (3 x^{2} + \frac{1}{2 x - 5} + (4 x + 1)^{3}) d x$ 。

1
分别对每一项积分，之后将所有常数合并为单个 $c$ 。
2
使用幂法则积分 $3 x^{2}$ ：
3
$\int 3x^2 dx = 3 \times \frac{x^3}{3} = x^3$
4
使用线性对数法则积分 $\frac{1}{2 x - 5}$ ：
5
$\int \frac{1}{2x-5} dx = \frac{1}{2} \ln|2x - 5|$
6
使用线性幂法则积分 $(4 x + 1)^{3}$ ：
7
$\int (4x+1)^3 dx = \frac{(4x+1)^4}{4 \times 4} = \frac{(4x+1)^4}{16}$
8
合并各项并添加 $c$ 得到最终结果：
9
$x^3 + \frac{1}{2}\ln|2x - 5| + \frac{(4x+1)^4}{16} + c$

Exam tip:

在1/(ax+b)的积分结果中，绝对不要省略 $ln$ 函数内的绝对值符号：这是0606考试中失分的常见原因。

3. 指数函数$e^{ax+b}$的积分★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

由于 $\frac{d}{d x} (e^{a x + b}) = a e^{a x + b}$ ，对微分过程逆推即可得到内层为线性项的指数函数的积分法则：

\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + c

📐 例题

计算 $\int (2 e^{3 x + 2} - e^{1 - 4 x}) d x$ 。

1
分别对每一个指数项积分，每次都除以指数中x的系数。
2
积分 $2 e^{3 x + 2}$ ：
3
$\int 2e^{3x+2} dx = 2 \times \frac{1}{3}e^{3x+2} = \frac{2}{3}e^{3x+2}$
4
积分 $- e^{1 - 4 x}$ ，注意x的系数为负数：
5
$\int -e^{1-4x} dx = - \times \frac{1}{-4}e^{1-4x} = \frac{1}{4}e^{1-4x}$
6
合并各项并添加 $c$ ：
7
$\frac{2}{3}e^{3x+2} + \frac{1}{4}e^{1-4x} + c$

4. 内层为线性项的三角函数积分★★★★☆⏱ 6 min

✓ 计算器

内层为线性项 $a x + b$ 的标准三角积分法则直接由微分法则逆推得到，注意符号的正确性，并且要除以 $a$ ：

\int \sin(ax+b) dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + c

\int \cos(ax+b) dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + c

\int \sec^2(ax+b) dx = \frac{1}{a}\tan(ax+b) + c

📐 例题

求 $\int (3 cos (2 x - \frac{π}{3}) + 2 sec^{2} (1 - 4 x)) d x$ 。

1
分别对每一个三角项积分，应用上述法则。
2
积分 $3 cos (2 x - \frac{π}{3})$ ：
3
$\int 3\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) dx = 3 \times \frac{1}{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{3}{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$
4
积分 $2 sec^{2} (1 - 4 x)$ ，注意x的系数为负数：
5
$\int 2\sec^2(1-4x) dx = 2 \times \frac{1}{-4}\tan(1-4x) = -\frac{1}{2}\tan(1-4x)$
6
合并各项并添加 $c$ 得到最终结果：
7
$\frac{3}{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) - \frac{1}{2}\tan(1-4x) + c$

Exam tip:

积分 $sin (a x + b)$ 或者a为负数的函数时，务必反复检查结果的符号：符号错误是本知识点最常见的失分原因。

5. 常见陷阱

错误做法:

不定积分答案忘记添加积分常数 $c$

原因:

阅卷老师在几乎所有积分题中都会为 $c$ 单独设置1分，省略它会白白丢失分数

正确做法:

所有不定积分题的最终答案都要加上 $c$

错误做法:

对 $n = - 1$ 的情况误用幂法则，写出 $\int 1/ x d x = x^{0} /0 + c$

原因:

幂法则仅适用于 $n \neq = - 1$ ，除以零是无定义的

正确做法:

n=-1时使用对数法则： $\int 1/ x d x = ln ∣ x ∣ + c$ ，且 $\int 1/ (a x + b) d x = \frac{1}{a} ln ∣ a x + b ∣ + c$

错误做法:

1/(ax+b)的积分结果中省略对数后的绝对值符号

原因:

实数范围内负数没有对数，因此绝对值是必须的

正确做法:

这类积分的 $ln$ 函数内始终要写 $∣ a x + b ∣$

错误做法:

积分内层为线性项 $a x + b$ 的函数时，忘记除以x的系数 $a$

原因:

微分的链式法则会乘以 $a$ ，因此积分时必须除以 $a$ 才能逆推还原

正确做法:

所有标准积分中，内层线性项的x的系数都要作为除数，例如 $\int sin (3 x) d x = - \frac{c o s ( 3 x )}{3} + c$

错误做法:

$sin (a x + b)$ 的积分符号错误，写出 $\int sin (a x + b) d x = \frac{1}{a} cos (a x + b) + c$

原因:

$cos (a x + b)$ 的导数是 $- a sin (a x + b)$ ，因此逆运算会引入负号

正确做法:

使用法则 $\int sin (a x + b) d x = - \frac{1}{a} cos (a x + b) + c$

6. 速查表

被积函数	积分结果	要点说明
$x^{n}$ ( $n \neq = - 1$ )	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + c$	基础幂法则
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣ + c$	n=-1时的对数法则
$(a x + b)^{n}$ ( $n \neq = - 1$ )	$\frac{( a x + b ) ^{n + 1}}{a ( n + 1 )} + c$	内层为线性项的幂法则
$\frac{1}{a x + b}$	$\frac{1}{a} ln ∣ a x + b ∣ + c$	内层为线性项的对数法则
$e^{a x + b}$	$\frac{1}{a} e^{a x + b} + c$	指数积分法则
$sin (a x + b)$	$- \frac{1}{a} cos (a x + b) + c$	正弦积分法则
$cos (a x + b)$	$\frac{1}{a} sin (a x + b) + c$	余弦积分法则
$sec^{2} (a x + b)$	$\frac{1}{a} tan (a x + b) + c$	正割平方积分法则

下一步

在掌握CIE IGCSE附加数学0606要求的全部标准积分法则后，你就可以进阶学习更深入的积分主题了。接下来你将学习如何计算定积分、使用积分求解曲线下的面积，以及求解基础一阶微分方程，这些内容在0606考试的卷1（非计算器）和卷2（计算器）中都占很高分值。练习标准积分的历年真题可以帮助你避免常见的符号错误，养成添加积分常数的习惯，确保在这个高频考点上拿到所有分数。