微分 — 标准导数与链式法则

Q: 备考0606需要背诵所有标准导数吗？

是的，本指南涵盖的所有标准导数都不会在考试公式手册中提供，因此你必须为卷1和卷2的考试熟记这些内容。

Q: 链式法则可以用于两层以上的复合函数吗？

可以，链式法则可以扩展到任意多层嵌套的复合函数：从最外层函数开始向内计算，依次乘上每一层内层函数的导数即可。

Q: 0606考试会考从第一原理出发的微分吗？

不会，从第一原理出发的微分明确不在CIE IGCSE附加数学0606的考察范围内，你不需要掌握该技巧。

附加数学· 14.1, 14.2, 14.3· 25 分钟阅读

1. 标准导数与记号★★☆☆☆⏱ 6 min

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📘 定义

一阶导数

$f^{'} (x)$ , $\frac{d y}{d x}$

给出原函数 $f (x)$ 在任意合法点 $x$ 处的斜率的函数。

以下所有标准导数都必须熟记，它们不会出现在0606考试的公式手册中。所有三角函数的导数仅在角度以弧度为单位时成立。

函数 $f (x)$	导数 $f^{'} (x)$
$x^{n}$ , $n$ 为有理数	$n x^{n - 1}$
$sin x$	$cos x$
$cos x$	$- sin x$
$tan x$	$sec^{2} x$
$e^{x}$	$e^{x}$
$ln x$	$\frac{1}{x}$

📐 例题

求 $y = 4 x^{3} + 2 ln x - 3 cos x$ 的一阶导数

1
使用标准导数表分别对每一项求导。
2
$\frac{d}{dx}(4x^3) = 4 \times 3x^{2} = 12x^2$
3
$\frac{d}{dx}(2\text{ln }x) = 2 \times \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$
4
$\frac{d}{dx}(-3\text{cos }x) = -3 \times (-\text{sin }x) = 3\text{sin }x$
5
合并所有项得到最终导数。
6
$\frac{dy}{dx} = 12x^2 + \frac{2}{x} + 3\text{sin }x$

Exam tip:

务必确认你在计算 $\frac{d}{dx} (cos x) = - sin x$ 的导数时没有遗漏负号——这是卷1中最常见的失分点之一。

2. 链式法则入门★★★☆☆⏱ 7 min

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📘 定义

链式法则

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \times \frac{d u}{d x}$ ，其中 $u = g (x)$ 是 $y = f (g (x))$ 的内层函数

用于对复合函数求导的法则，将外层函数的导数（保持内层函数不变）乘以内层函数的导数即可得到结果。

📐 例题

使用链式法则求 $y = (2 x + 5)^{7}$ 的 $\frac{d y}{d x}$ 。

1
区分内层与外层函数：令 $u = 2 x + 5$ ，因此 $y = u^{7}$ 。
2
$\frac{dy}{du} = 7u^6$
3
$\frac{du}{dx} = 2$
4
应用链式法则公式，再代回 $u = 2 x + 5$ 。
5
$\frac{dy}{dx} = 7u^6 \times 2 = 14(2x +5)^6$

✓ 快速检测

$(3 x - 1)^{4}$ 的导数是什么？
- $4 (3 x - 1)^{3}$
- $12 (3 x - 1)^{3}$
- $12 (3 x - 1)^{4}$
- $3 (3 x - 1)^{3}$
显示答案
1 —
正确：外层函数的导数是 $4 (3 x - 1)^{3}$ ，内层函数的导数是3，相乘得到 $12 (3 x - 1)^{3}$ 。

3. 复合标准函数的链式法则应用★★★★☆⏱ 8 min

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将链式法则与所有标准导数（三角函数、指数函数、对数函数）结合，就可以对0606大纲允许的任意复合函数求导。

📐 例题

对 $y = e^{sin x}$ 关于 $x$ 求导。

1
令内层函数 $u = sin x$ ，因此 $y = e^{u}$ 。
2
$\frac{dy}{du} = e^u = e^{\text{sin }x}, \frac{du}{dx} = \text{cos }x$
3
$\frac{dy}{dx} = e^{\text{sin }x} \times \text{cos }x = \text{cos }x e^{\text{sin }x}$

📐 例题

若 $f (x) = ln (tan x)$ 且 $0 < x < \frac{π}{2}$ ，求 $f^{'} (x)$ 。

1
令内层函数 $u = tan x$ ，因此 $f (u) = ln u$ 。
2
$f'(u) = \frac{1}{u} = \frac{1}{\text{tan }x}, u' = \text{sec}^2 x$
3
$f'(x) = \frac{1}{\text{tan }x} \times \text{sec}^2 x = \frac{1}{\text{sin }x \text{ cos }x}$

Exam tip:

除非题目明确要求，否则你不需要进一步化简三角函数的导数，不过化简可能有助于后续子问题的求解。

4. 复合函数的二阶导数★★★★☆⏱ 4 min

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📘 定义

二阶导数

$f^{''} (x)$ , $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$

函数一阶导数的导数，用于判断驻点的性质以及计算斜率的变化率。

📐 例题

求 $y = cos (3 x)$ 的 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 。

1
首先使用链式法则计算一阶导数。
2
$\frac{dy}{dx} = -\text{sin}(3x) \times 3 = -3\text{sin}(3x)$
3
再次对一阶导数求导得到二阶导数，第二次应用链式法则。
4
$\frac{d^2y}{dx^2} = -3 \times \text{cos}(3x) \times 3 = -9\text{cos}(3x)$

5. 常见陷阱

错误做法:

对 $cos x$ 求导时遗漏负号

原因:

$cos x$ 的导数是 $- sin x$ 而非 $sin x$ ，遗漏负号每出现一次就会扣1分。

正确做法:

明确熟记三角函数导数的对应关系： $sin x \to + cos x$ , $cos x \to - sin x$ , $tan x \to + sec^{2} x$ 。

错误做法:

应用链式法则时忘记乘以内层函数的导数

原因:

链式法则要求两个因子（外层导数 × 内层导数），遗漏内层导数会得到错误结果。

正确做法:

使用「先外后内」的记忆口诀，确保你对每一个复合函数求导时都包含两个因子。

错误做法:

三角函数求导时使用角度制而非弧度制

原因:

标准三角函数导数仅在角度以弧度为单位时成立，弧度制是所有0606微积分题目的默认要求。

正确做法:

对三角函数求导前，务必将所有以角度为单位的角度值转换为弧度。

错误做法:

将 $ln x$ 的导数错写为 $ln (\frac{1}{x})$ 或 $x$ ，而非 $\frac{1}{x}$

原因:

$ln x$ 的导数是倒数函数，不是对数函数或线性函数。

正确做法:

将 $ln x \to \frac{1}{x}$ 这组关系加入你要熟记的标准导数列表，定期自测。

错误做法:

在求导前先展开高次复合函数（例如 $(2 x + 7)^{9}$ ）

原因:

展开这类函数非常耗时，且容易出现计算错误，浪费宝贵的考试时间。

正确做法:

无论指数多高，对幂型复合函数求导时都要使用链式法则。

6. 速查表

规则/函数	导数结果
$x^{n}$ (n 为有理数)	$n x^{n - 1}$
$sin x$	$cos x$
$cos x$	$- sin x$
$tan x$	$sec^{2} x$
$e^{x}$	$e^{x}$
$ln x$	$\frac{1}{x}$
链式法则 ( $y = f (g (x))$ )	$f^{'} (g (x)) \times g^{'} (x)$
二阶导数	一阶导数的导数

7. 常见问题

备考0606需要背诵所有标准导数吗？

是的，本指南涵盖的所有标准导数都不会在考试公式手册中提供，因此你必须为卷1和卷2的考试熟记这些内容。

链式法则可以用于两层以上的复合函数吗？

可以，链式法则可以扩展到任意多层嵌套的复合函数：从最外层函数开始向内计算，依次乘上每一层内层函数的导数即可。

0606考试会考从第一原理出发的微分吗？

不会，从第一原理出发的微分明确不在CIE IGCSE附加数学0606的考察范围内，你不需要掌握该技巧。

深入阅读

Syllabus DocumentCIE IGCSE 附加数学 0606 2025-2027 教学大纲微积分部分的官方大纲参考文件

下一步

在掌握标准导数与链式法则后，你就可以学习用于对函数乘积和分式求导的乘积法则与商法则，之后还将学习微分的应用，包括求驻点、变化率以及CIE IGCSE附加数学0606要求的优化问题。这些考点在卷1和卷2中都占很大比重，因此在考试前请多练习各类复合函数题目，提升解题速度和准确率。