AP 微积分 AB 商法则

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 微分：定义与基本性质· 14 分钟阅读

1. 商法则的定义与推导★★☆☆☆⏱ 3 min

商法则是一套标准的求导法则，它让我们无需每次都回到极限定义，就能求出两个可导函数比值的导数。在AP微积分AB中，该知识点属于第2单元，占考试总分的10–12%，会在选择题和自由回答题中都出现。

📘 定义

商法则

For $f (x) = \frac{g ( x )}{h ( x )}$ , where $h (x) \neq = 0$

若 $g (x)$ 和 $h (x)$ 均可导，则 $f (x)$ 的导数为： $f^{'} (x) = \frac{g ^{'} ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ^{'} ( x )}{[ h ( x ) ] ^{2}}$

例:

例如，对于 $f (x) = \frac{x ^{2}}{x + 1}$ ， $g (x) = x^{2}$ ， $h (x) = x + 1$ ，因此 $f^{'} (x) = \frac{2 x ( x + 1 ) - x ^{2} ( 1 )}{( x + 1 ) ^{2}}$

🔬 推导

目标:

从乘积法则和链式法则推导商法则

起点:

我们从 $f (x) = \frac{g ( x )}{h ( x )} = g (x) \cdot [h (x)]^{- 1}$ 开始推导，其中 $g$ 和 $h$ 均可导，且 $h (x) \neq = 0$ 。

1
对第二项先应用乘积法则，再应用链式法则：
$f'(x) = g'(x) \cdot [h(x)]^{-1} + g(x) \cdot (-1)[h(x)]^{-2} h'(x)$
2
乘以 $\frac{[ h ( x ) ] ^{2}}{[ h ( x ) ] ^{2}}$ 通分后，得到标准公式：
$f'(x) = \frac{g'(x) h(x) - g(x) h'(x)}{[h(x)]^2}$

结果:

该推导验证了可用于所有函数比值求导的标准商法则公式。

2. 商法则在有理函数中的应用★★☆☆☆⏱ 3 min

商法则最基础的应用是对有理函数（多项式的比值）求导。做题时请先明确分子和分母，分别计算它们的导数，再代入商法则公式，最后化简。

📐 例题

使用商法则求 $f (x) = \frac{3 x ^{2} + 2 x}{x - 4}$ 的导数

1
确定分子（上）和分母（下）：
$g(x) = 3x^2 + 2x, \quad h(x) = x - 4$
2
计算两个函数的导数：
$g'(x) = 6x + 2, \quad h'(x) = 1$
3
代入商法则公式：
$f'(x) = \frac{(6x + 2)(x - 4) - (3x^2 + 2x)(1)}{(x - 4)^2}$
4
展开分子并合并同类项：
$(6x^2 - 24x + 2x - 8) - 3x^2 - 2x = 3x^2 - 24x - 8$
5
最终化简后的导数：
$f'(x) = \frac{3x^2 - 24x - 8}{(x - 4)^2}$

✓ 快速检测

检验你对商法则公式的理解

下列哪个选项是 $f (x) = \frac{s i n ( x )}{2 x ^{2} + 1}$ 的正确导数？
- $\frac{c o s ( x ) ( 2 x ^{2} + 1 ) - s i n ( x ) ( 4 x )}{( 2 x ^{2} + 1 )}$
- $\frac{c o s ( x ) ( 2 x ^{2} + 1 ) + s i n ( x ) ( 4 x )}{( 2 x ^{2} + 1 ) ^{2}}$
- $\frac{c o s ( x ) ( 2 x ^{2} + 1 ) - 4 x s i n ( x )}{( 2 x ^{2} + 1 ) ^{2}}$
- $\frac{s i n ( x ) ( 2 x ^{2} + 1 ) - c o s ( x ) ( 4 x )}{( 2 x ^{2} + 1 ) ^{2}}$
显示答案
2 —
正确！所有项都符合商法则公式。选项A遗漏了分母的平方，选项B符号错误，选项D交换了分子中项的顺序。

3. 三角函数的商法则求导★★★☆☆⏱ 3 min

商法则在AP考试中的一个核心应用是推导正切、余切、正割、余割的导数，这些函数都是正弦和余弦的比值。AP考试偶尔会在自由回答题中要求完整推导，因此你必须写出所有步骤，不能只写出最终结果。

📐 例题

使用商法则求 $y = sec (x)$ 的导数，然后化简为标准三角形式

1
将正割改写为显式比值，确定分子和分母：
$y = \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \\ g(x) = 1, \quad h(x) = \cos(x)$
2
计算导数：
$g'(x) = 0, \quad h'(x) = -\sin(x)$
3
应用商法则公式：
$y' = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} = \frac{(0)(\cos(x)) - (1)(-\sin(x))}{\cos^2(x)}$
4
化简分子：
$y' = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}$
5
利用三角定义改写为标准形式：
$\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot \frac{1}{\cos(x)} = \tan(x) \sec(x)$

4. 应用问题：切线与法线★★★☆☆⏱ 5 min

AP考试中最常见的商法则应用问题之一，就是求商函数的切线或法线方程。这类问题结合了第2单元的多个知识点，遵循以下标准步骤：

使用商法则对 $f (x)$ 求导得到 $f^{'} (x)$
计算 $f^{'} (a)$ ，得到 $x = a$ 处切线的斜率
计算 $f (a)$ ，得到点 $(a, f (a))$
用点斜式写出切线方程 $y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$ ；法线的斜率则为 $- \frac{1}{f ^{'} ( a )}$

📐 例题

写出 $f (x) = \frac{e ^{x}}{x ^{2} + 1}$ 在 $x = 1$ 处的切线方程

1
确定 $g (x)$ 、 $h (x)$ 以及它们的导数：
$g(x) = e^x, \quad h(x) = x^2 + 1 \\ g'(x) = e^x, \quad h'(x) = 2x$
2
应用商法则并化简：
$f'(x) = \frac{e^x(x^2 + 1) - e^x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{e^x(x^2 - 2x + 1)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{e^x(x-1)^2}{(x^2 + 1)^2}$
3
在 $x = 1$ 处计算导数得到斜率：
$f'(1) = \frac{e^1(0)^2}{(1 + 1)^2} = 0$
4
求 $x = 1$ 处的y坐标：
$f(1) = \frac{e}{1 + 1} = \frac{e}{2}$
5
用点斜式写出切线方程：
$y - \frac{e}{2} = 0(x - 1) \implies y = \frac{e}{2}$

5. 常见陷阱

错误做法:

交换项的顺序，将分子写为 $g (x) h^{'} (x) - g^{'} (x) h (x)$

原因:

混淆了商法则和乘积法则，或者记错了口诀的顺序

正确做法:

始终遵循口诀“下导上减上导下”，严格按照这个顺序写项。

错误做法:

忘记对导数中的整个分母平方

原因:

急于套用公式，跳过了“分母平方”这一步

正确做法:

写完分子后，立刻在化简前写出分母为（原分母） $^{2}$ 。

错误做法:

没有将负号分配给 $g (x) h^{'} (x)$ 的所有项

原因:

忘记负号适用于整个第二项，而不只是第一项

正确做法:

在负号后，始终将整个 $g (x) h^{'} (x)$ 项放在括号中。

错误做法:

求导前约去公因式，但没有注明定义域限制

原因:

忘记原函数在原分母为零处无定义，因此导数在该点也不存在

正确做法:

如果求导前约去了公因式，请明确说明导数在被排除的定义域点处不存在。

错误做法:

当分子或分母是复合函数时忘记链式法则

原因:

注意力都放在记住商法则上，忽略了需要的链式法则步骤

正确做法:

代入商法则公式前，计算 $g (x)$ 和 $h (x)$ 的导数时都要检查是否需要链式法则。

6. 速查表

类别	公式/法则	注释
一般商法则	$\frac{d}{d x} (\frac{g ( x )}{h ( x )}) = \frac{g ^{'} ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ^{'} ( x )}{[ h ( x ) ] ^{2}}$	仅适用于 $h (x) \neq = 0$ ，且 $g$ 、 $h$ 均可导的情况
记忆口诀	"下导上减上导下，结果除以下方平方"	避免常见的项顺序和符号错误
$tan (x)$ 的导数	$\frac{d}{d x} tan (x) = sec^{2} (x)$	由对 $\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}$ 应用商法则推导得到
$cot (x)$ 的导数	$\frac{d}{d x} cot (x) = - csc^{2} (x)$	由对 $\frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}$ 应用商法则推导得到
$sec (x)$ 的导数	$\frac{d}{d x} sec (x) = sec (x) tan (x)$	由对 $\frac{1}{c o s ( x )}$ 应用商法则推导得到
$csc (x)$ 的导数	$\frac{d}{d x} csc (x) = - csc (x) cot (x)$	由对 $\frac{1}{s i n ( x )}$ 应用商法则推导得到
切线斜率	$m_{tangent} = f^{'} (a)$	在 $(a, f (a))$ 处求斜率需计算 $x = a$ 处的导数值
法线斜率	$m_{normal} = - \frac{1}{f ^{'} ( a )}$	仅适用于非水平、非垂直的切线

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
常规商法则求导
2022 · FRQ
商函数的切线问题

深入阅读

Official SyllabusAP 微积分 AB 课程与考试说明第2单元知识点参考

下一步

掌握商法则是AP微积分AB中所有后续求导知识点的重要基础。你之后会将商法则与复合函数的链式法则结合使用，还会在隐函数求导中用到它，很多隐函数求导问题都需要对有理表达式求导。商法则经常用于有理函数，而有理函数会在课程后续的相关变化率、最优化和积分问题中出现。商法则的错误（比如符号错误、项顺序交换）会导致在此之后几乎每个单元都丢失送分题的分数。不断练习直到你能快速正确应用这个法则，会在整个剩余课程和最终AP考试中带来回报。