隐函数求导

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 求导：复合函数、隐函数与反函数· 14 分钟阅读

1. 什么是隐函数求导？★★☆☆☆⏱ 3 min

显函数的形式为 $y = f (x)$ ，其中 $y$ 被明确分离在等式的一侧。但许多数学关系（如圆、椭圆和更复杂的曲线）无法轻易或完全将 $y$ 整理为 $x$ 的显函数。

隐函数求导是一种无需整理分离 $y$ ，直接从原隐函数关系中求出 $r a c d y d x$ 的方法。它不是新的求导法则，只是链式法则在 $x$ 的隐函数上的系统应用。由于即使未明确写出， $y$ 也被视为 $x$ 的函数，因此每次对含 $y$ 的项求导时，我们都必须根据链式法则乘以 $r a c d y d x$ 。

📘 定义

隐函数求导

无需将 $y$ 显式分离为 $x$ 的函数，即可直接求出 $x$ 与 $y$ 之间隐函数关系的导数 $r a c d y d x$ 的方法。

例:

用于求圆、椭圆和其他非显式曲线的导数。

2. 隐函数求导的核心步骤★★☆☆☆⏱ 4 min

整个方法基于一个关键的链式法则结论，适用于任意可导函数 $f (y)$ （其中 $y$ 是 $x$ 的函数）：

\frac{d}{dx}\left[f(y)\right] = f'(y) \cdot \frac{dy}{dx}

对等式两边所有项关于 $x$ 求导
将所有含 $r a c d y d x$ 的项移到等式左侧，其余项移到右侧
从左侧提取公因子 $r a c d y d x$
两边除以剩余因子，分离出 $r a c d y d x$ ，得到关于 $x$ 和 $y$ 的函数

当你遇到 $x$ 和 $y$ 的乘积或商项（如 $x y$ 、 $x^{2} y$ ，或 $r a c y x$ ），仍然先按常规应用乘积法则或商法则，再为 $y$ 项添加 $r a c d y d x$ 因子。

📐 例题

求关系 $x^{2} + 3 x y + y^{2} = 6$ 的 $r a c d y d x$ 。

1
对等式两边所有项关于 $x$ 求导：
2
$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(3xy) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(6)$
3
对每一项求导，对 $3 x y$ 应用乘积法则，对 $y^{2}$ 应用链式法则：
4
$2x + 3\left(x \frac{dy}{dx} + y\right) + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
5
将所有 $r a c d y d x$ 项移到左侧，常数/仅含 $x$ 的项移到右侧：
6
$3x \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} = -2x - 3y$
7
提取公因子 $r a c d y d x$ 并分离：
8
$\frac{dy}{dx}(3x + 2y) = -(2x + 3y) \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{2x + 3y}{3x + 2y}$

Exam tip:

对于 $x$ 与 $y$ 的混合项，一定要先应用乘积/商法则，再添加 $r a c d y d x$ 因子。跳过乘积法则（例如对 $r a c d d x (x y)$ 漏写 $y$ 项）是AP考试中最常见的初级错误。

3. 隐曲线的切线与法线★★★☆☆⏱ 3 min

隐函数求导在AP考试中最常见的应用之一，就是求隐曲线上某点的切线或法线方程。一旦你通过隐函数求导得到斜率 $r a c d y d x$ ，后续步骤和求显函数的切线完全相同。

确认给定的点 $(x_{0}, y_{0})$ 在原曲线上（AP有时会给出不在曲线上的点来考查这点）
将 $x_{0}$ 和 $y_{0}$ 代入 $r a c d y d x$ 的表达式，得到切线斜率 $m_{tan}$
法线（垂直于切线）的斜率是负倒数： $m_{norm} = - \frac{1}{m _{tan}}$
使用点斜式 $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ 写出最终方程

📐 例题

求曲线 $x^{2} + 2 x y + y^{3} = 4$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线方程。

1
确认点在曲线上： $1^{2} + 2 (1) (1) + 1^{3} = 4$ ，与等式右侧相等。
2
隐函数求导得到 $r a c d y d x$ ：
3
$2x + 2\left(x \frac{dy}{dx} + y\right) + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0$
4
代入 $x = 1$ ， $y = 1$ ，求解切线斜率 $m$ ：
5
$2(1) + 2\left(1 \cdot m + 1\right) + 3(1)^2 m = 0 \implies 2 + 2m + 2 + 3m = 0 \implies 5m = -4 \implies m = -\frac{4}{5}$
6
用点斜式写出切线方程并化简：
7
$y - 1 = -\frac{4}{5}(x - 1) \implies y = -\frac{4}{5}x + \frac{9}{5}$

Exam tip:

务必仔细读题：如果题目要求法线而非切线，你必须使用负倒数斜率。AP出题人经常考查这一点，来抓跳读题目的学生。

4. 隐函数的二阶导数★★★☆☆⏱ 3 min

AP微积分AB经常要求用 $x$ 和 $y$ 表示隐函数的二阶导数 $r a c d^{2} y d x^{2}$ 。过程很简单，但有一个额外步骤很多学生都会忘记。

求出一阶导数 $r a c d y d x$ 后，你对 $r a c d y d x$ 关于 $x$ 求导，过程和对原方程求导完全相同：所有含 $y$ 或 $r a c d y d x$ 的项仍然需要链式法则，因此对这些项求导时会得到 $r a c d y d x$ 因子。求导后，你必须将已经求出的 $r a c d y d x$ 表达式代入二阶导数，让最终结果仅用 $x$ 和 $y$ 表示，不包含 $r a c d y d x$ 。你还可以利用原曲线方程抵消常数项，化简最终结果。

📐 例题

求圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的 $r a c d^{2} y d x^{2}$ ，用 $x$ 和 $y$ 表示结果。

1
求一阶导数 $r a c d y d x$ ：
2
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
3
用商法则对 $r a c d y d x$ 关于 $x$ 求导：
4
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-\frac{x}{y}\right) = -\frac{(1 \cdot y - x \cdot \frac{dy}{dx})}{y^2}$
5
将 $rac{dy}{dx} = - rac{x}{y}$ 代入表达式：
6
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{y - x\left(-\frac{x}{y}\right)}{y^2} = -\frac{\frac{y^2 + x^2}{y}}{y^2} = -\frac{x^2 + y^2}{y^3}$
7
利用原方程 $x^{2} + y^{2} = 4$ 化简：
8
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{4}{y^3}$

Exam tip:

绝对不要在二阶导数的最终答案中保留 $r a c d y d x$ 。AP阅卷官会在自由作答题中给未代入 $r a c d y d x$ 的答案扣分。一定要在对一阶导数求导后立即代入。

5. AP风格练习题★★★★☆⏱ 3 min

✓ 快速检测

用这道选择题测试你的理解：

已知 $ sin (x y) = x + y$ ，下列哪个是 $ \frac{d y}{d x}$ 的正确表达式？
- $\frac{1}{c o s ( x y ) - 1}$
- $\frac{1 - y c o s ( x y )}{x c o s ( x y ) - 1}$
- $\frac{y c o s ( x y ) - 1}{1 - x c o s ( x y )}$
- $1 - y cos (x y)$
显示答案
1 —
正确！完整推导过程为：两边求导、应用乘积法则与链式法则、整理 $ \frac{d y}{d x}$ 项、分离后得到该结果。

📐 例题

考虑由 $y^{3} - x y + 2 x^{2} = 4$ 定义的曲线。(a) 用 $x$ 和 $y$ 表示 $ \frac{d y}{d x}$ 。(b) 求曲线在点 $(1, 1)$ 处切线的斜率。(c) 求曲线上所有切线为水平的点。

1
(a)问：对等式两边关于 $x$ 求导：
2
$3y^2 \frac{dy}{dx} - \left(x \frac{dy}{dx} + y\right) + 4x = 0$
3
整理并提取公因子 $ \frac{d y}{d x}$ ：
4
$\frac{dy}{dx} (3y^2 - x) = y - 4x \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y - 4x}{3y^2 - x}$
5
(b)问：将 $x = 1$ ， $y = 1$ 代入 $ \frac{d y}{d x}$ ：
6
$m = \frac{1 - 4(1)}{3(1)^2 - 1} = \frac{-3}{2}$
7
点 $(1, 1)$ 处切线的斜率为 $ - \frac{3}{2}$ 。
8
(c)问：水平切线的斜率为 $0$ ，因此令分子等于 $0$ ，并确认分母不为零： $y - 4 x = 0 ⟹ y = 4 x$ 。代入原方程：
9
$(4x)^3 - x(4x) + 2x^2 = 4 \implies 64x^3 - 2x^2 - 4 = 0 \implies 32x^3 - x^2 - 2 = 0$
10
唯一实根为 $x \approx 0.42$ ，因此 $y = 4 x \approx 1.68$ 。唯一有水平切线的点约为 $(0.42, 1.68)$ 。

6. 常见陷阱

错误做法:

对 $x^{2} y$ 求导时，只写 $2 x \frac{d y}{d x}$ ，漏了乘积法则项

原因:

学生把注意力都放在记住 $y$ 项的链式法则上，忘记 $x$ - $y$ 混合乘积需要先应用乘积法则

正确做法:

对混合项一定要先应用乘积/商法则，再为 $y$ 项添加 $ \frac{d y}{d x}$ 因子： $ \frac{d}{d x} (x^{2} y) = 2 x y + x^{2} \frac{d y}{d x}$

错误做法:

对 $ cos (y)$ 求导时，只写 $ - sin (y)$ ，漏了 $ \frac{d y}{d x}$ 因子

原因:

学生习惯了对 $x$ 项求导，忘记每个 $y$ 的函数都需要链式法则因子

正确做法:

对任意 $y$ 的函数求导后，立即写下 $ \frac{d y}{d x}$ 因子，养成这个习惯再进入下一项

错误做法:

求某点斜率时，在分离 $ \frac{d y}{d x}$ 之前就代入 $x_{0}, y_{0}$

原因:

学生认为提前代入可以简化问题，但这会导致漏项和混乱的代数错误

正确做法:

先将 $ \frac{d y}{d x}$ 分离为 $x$ 和 $y$ 的函数，再代入点的坐标得到数值斜率

错误做法:

求水平切线时，令 $ \frac{d y}{d x}$ 的分母等于零，而非分子

原因:

学生混淆了水平切线和竖直切线的条件

正确做法:

斜率为零即 $ \frac{d y}{d x} = 0$ ，对于有理形式的 $ \frac{d y}{d x}$ ，这要求分子为零且分母不为零

错误做法:

当只给出切点的 $x$ 坐标时，随便选一个满足原方程的 $y$ 值

原因:

隐函数关系中一个 $x$ 对应多个 $y$ 值，错误的 $y$ 会得到错误的斜率

正确做法:

计算斜率前，一定要根据给定的上下文（象限、曲线上的位置）选择正确的 $y$ 值

7. 速查表

类别	公式/步骤	注释
$y$ 项的链式法则	$\frac{d}{d x} [f (y)] = f^{'} (y) \frac{d y}{d x}$	适用于任意 $y$ 的函数，因为 $y$ 是 $x$ 的隐函数
核心隐函数求导	两边对 $x$ 求导；2. 将 $\frac{d y}{d x}$ 项移到左侧；3. 提取 $\frac{d y}{d x}$ ；4. 分离	无需先解出 $y$
$(x_{0}, y_{0})$ 处的切线斜率	$m_{tan} = \frac{d y}{d x}_{(x_{0}, y_{0})}$	一定要先确认 $(x_{0}, y_{0})$ 在原曲线上
法线斜率	$m_{norm} = - \frac{1}{m _{tan}}$	切线水平时法线无定义，切线竖直时法线水平
隐函数二阶导数	$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x})$	代入 $\frac{d y}{d x}$ ，让最终结果仅用 $x$ 和 $y$ 表示
水平切线	$\frac{d y}{d x} = 0 ⟹ numerator = 0, denominator \neq = 0$	仅在该点分母不为零时有效
竖直切线	$\frac{d y}{d x}$ 无定义 $⟹ denominator = 0, numerator \neq = 0$	AP考试中常见的后续问题

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
求隐函数关系的 $r a c d y d x$
2022 · FRQ
隐曲线的切线

下一步

隐函数求导是AP微积分AB第三单元剩余核心主题的基础：反函数导数和相关变化率。如果不掌握隐 $y$ 项的链式法则应用，你就无法正确推导反三角函数的导数公式，也无法解决相关变化率问题，而这些问题占AP微积分AB自由作答题分数的很大比例。本主题还建立了从函数导数到关系导数的关键概念转变，这是高等微积分主题的重要基础。