隐函数求导 — AP 微积分 AB
本指南讲解隐函数求导，这是AP微积分AB中链式法则的核心应用。你将学习如何求隐函数关系的一阶和二阶导数，解决涉及切线和法线的常见考试问题。
Prerequisites
- 复合函数的链式法则
- 代数函数和三角函数的基本求导法则
- 线性方程的点斜式
Learning Objectives
- 区分显函数与隐函数
- 应用链式法则计算隐函数关系的 dy/dx
- 求隐曲线的切线和法线方程
- 计算隐函数的二阶导数
- 避免隐函数求导问题中的常见考试陷阱
什么是隐函数求导？
显函数的形式为 $y = f(x)$，其中 $y$ 被明确分离在等式的一侧。但许多数学关系（例如圆、椭圆和更复杂的曲线）无法轻松或完全整理为用 $x$ 表示 $y$ 的形式。
隐函数求导是一种无需整理分离出 $y$，直接从原隐函数关系中求出 $ rac{dy}{dx}$ 的方法。它不是新的求导法则，只是对x的隐函数y系统应用链式法则而已。由于即使y没有被显式写出，我们仍将其视为x的函数，因此每次对含y的项求导时，我们必须根据链式法则乘以 $ rac{dy}{dx}$。
隐函数求导
一种无需将y显式分离为x的函数，即可求出x和y之间隐函数关系的导数 $ rac{dy}{dx}$ 的方法。
Example: 用于求圆、椭圆和其他非显式曲线的导数。
隐函数求导的核心步骤
整个方法依赖于对任意可微函数 $f(y)$（其中y是x的函数）的一个关键链式法则结论：
\frac{d}{dx}\left[f(y)\right] = f'(y) \cdot \frac{dy}{dx}
- 对等式两侧所有项关于 $x$ 求导
- 将所有含 $ rac{dy}{dx}$ 的项移到等式左侧，其余项移到右侧
- 从左侧提取公因子 $ rac{dy}{dx}$
- 两侧除以剩余因子，分离出 $ rac{dy}{dx}$ 得到关于x和y的函数
当你有x和y项的乘积或商（例如 $xy$、$x^2y$ 或 $ rac{y}{x}$），仍然先正常应用乘积法则或商法则，再为y项添加 $ rac{dy}{dx}$ 因子。
Worked example: 求关系 $x^2 + 3xy + y^2 = 6$ 的 $ rac{dy}{dx}$。
隐曲线的切线与法线
隐函数求导在AP考试中最常见的应用之一，就是求隐曲线上某点的切线或法线方程。一旦你通过隐函数求导得到斜率 $ rac{dy}{dx}$，后续步骤和求显函数的切线完全相同。
- 确认给定点 $(x_0, y_0)$ 在原曲线上（AP有时会给一个不在曲线上的点来考察这点）
- 将 $x_0$ 和 $y_0$ 代入 $ rac{dy}{dx}$ 的表达式，得到切线斜率 $m_{\text{tan}}$
- 法线（垂直于切线）的斜率是负倒数：$m_{\text{norm}} = -\frac{1}{m_{\text{tan}}}$
- 使用点斜式 $y - y_0 = m(x - x_0)$ 写出最终方程
Worked example: 求曲线 $x^2 + 2xy + y^3 = 4$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线方程。
隐函数的二阶导数
AP 微积分 AB 经常要求隐函数的二阶导数 $ rac{d^2y}{dx^2}$，结果用x和y表示。过程很直接，但需要一个很多学生忘记的额外步骤。
求出一阶导数 $ rac{dy}{dx}$ 后，你和对原方程求导一样，对 $ rac{dy}{dx}$ 关于x求导：所有含y或 $ rac{dy}{dx}$ 的项仍然需要链式法则，因此对这些项求导时会得到一个 $ rac{dy}{dx}$ 因子。求导完成后，你必须将已经求出的 $ rac{dy}{dx}$ 表达式代入二阶导数，让最终结果仅用x和y表示，不含 $ rac{dy}{dx}$。你还可以利用原曲线方程化简最终结果，消去常数项。
Worked example: 求圆 $x^2 + y^2 = 4$ 的 $ rac{d^2y}{dx^2}$，结果用x和y表示。
AP风格练习题
Worked example: 已知曲线 $y^3 - xy + 2x^2 = 4$。(a) 求用x和y表示的 $\frac{dy}{dx}$。(b) 求曲线在点 $(1, 1)$ 处的切线斜率。(c) 求曲线上切线为水平线的所有点。