正切、余切、正割、余割的导数 — AP 微积分 AB
1. 使用商法则推导公式 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
本文讨论的四个三角函数都可以定义为正弦和余弦的比值，因此它们的导数可以用商法则结合正弦余弦的已知导数推导得到。回顾对于 $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ 的商法则：
f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}
推导$\tan x$的导数时，我们从恒等式$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$出发，代入商法则可得：
f'(x) = \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}
利用勾股恒等式$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$，可化简得到$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$，所以$\frac{d}{dx}[\tan x] = \sec^2 x$。对另外三个函数重复该过程，我们得到完整的标准公式组：
- $\frac{d}{dx}[\cot x] = -\csc^2 x$（余函数带负号）
- $\frac{d}{dx}[\sec x] = \sec x \tan x$
- $\frac{d}{dx}[\csc x] = -\csc x \cot x$（余函数带负号）
Exam tip: 如果你考试时忘记了公式，可以在一分钟内用商法则重新推导任意一个导数，这种方法始终可以获得满分。
2. 计算某点处的导数值 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
AP考试中最常见的常规题型是让你对这些三角函数的线性组合求导，然后计算特定输入点的导数，得到切线斜率或瞬时变化率。这需要正确应用常数倍法则和和差法则，还要利用常见角度的已知三角函数值化简。
Exam tip: 代入前请明确写出每个函数的三角函数值，避免混淆倒数三角函数的值。
3. 对复合函数求导（链式法则） ★★★☆☆ ⏱ 4 min
AP考试中大多数非常规题型都涉及复合函数，即本文讨论的四个三角函数之一是更复杂表达式的外层函数。回顾链式法则：对于$f(x) = u(v(x))$，有$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$。当外层是三角函数时，你需要先计算三角函数的导数，代入内层函数的结果，再乘以内层函数的导数。
Exam tip: 即使FRQ不要求你化简最终答案，也要明确写出链式法则因子以获得满分；即使导数其余部分正确，省略它也会扣分。
4. AP风格练习题 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
Common Pitfalls
Why: 学生忘记了所有余三角函数的导数在商法则推导后都带有负号，混淆了符号规律。
Why: 学生记住了$\tan x$的导数，却忘记乘以内层线性项的导数。
Why: 相似的记号导致混淆哪个公式对应哪个函数。
Why: 学生专注于三角函数求导，忽略了它和另一个函数相乘。
Why: 学生混淆了余弦和正割的倒数关系，错误地翻转了分数。