单元总览
微分：复合函数、隐函数与反函数 概述
AP 微积分 AB· 5 分钟阅读 📊 占AP考试总分的9-13%
1. 单元概览
本单元在第2单元基本微分法则的基础上，讲解如何处理微积分中遇到的更复杂的函数类型。链式法则是本单元的基础技巧，我们在这里讲解的所有其他微分法则都由它推导而来。
我们从基础的拓展导数概念开始，逐步讲解隐函数和反函数的专门求导技巧，最后练习如何为你在AP考试中遇到的任意导数问题选择正确方法。
2. 常见陷阱
错误做法:
对复合表达式求导时，忘记对内函数应用链式法则。
原因:
即使外函数的导数法则应用正确，跳过内函数导数也会导致结果错误。
正确做法:
总是先识别外函数和内函数，再乘以内函数的导数。
错误做法:
混淆反三角函数导数公式的符号。
原因:
反三角函数导数的形式非常相似，符号错误是考试中最常见的错误之一。
正确做法:
如果记不清正确符号，可以用隐函数求导推导公式。
错误做法:
求导前尝试把隐函数整理为显式形式。
原因:
大多数隐函数无法整理为显式，这样做既浪费时间，还会产生不必要的错误。
正确做法:
直接应用隐函数求导：对等式两边求导，然后分离出dy/dx。
3. 速查表
概念 | 核心结论 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
链 | 式 | 法 | 则 | | | $ | \ | f | r | a | c | { | d | } | { | d | x | } | [ | f | ( | g | ( | x | ) | ) | ] | = | f | ' | ( | g | ( | x | ) | ) | \ | c | d | o | t | g | ' | ( | x | ) | $ | |||||||||||||||||||||
隐 | 函 | 数 | 求 | 导 | | | 对 | 两 | 边 | 求 | 导 | ， | 分 | 离 | 出 | $ | \ | f | r | a | c | { | d | y | } | { | d | x | } | $ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
反 | 函 | 数 | 导 | 数 | | | $ | ( | f | ^ | { | 1 | } | ) | ' | ( | a | ) | = | \ | f | r | a | c | { | 1 | } | { | f | ' | ( | f | ^ | { | 1 | } | ( | a | ) | ) | } | $ | ||||||||||||||||||||||||||
$ | \ | a | r | c | s | i | n | x | $ | 的 | 导 | 数 | | | $ | \ | f | r | a | c | { | d | } | { | d | x | } | \ | a | r | c | s | i | n | x | = | \ | f | r | a | c | { | 1 | } | { | \ | s | q | r | t | { | 1 | x | ^ | 2 | } | } | $ | ||||||||||
$ | \ | a | r | c | c | o | s | x | $ | 的 | 导 | 数 | | | $ | \ | f | r | a | c | { | d | } | { | d | x | } | \ | a | r | c | c | o | s | x | = | \ | f | r | a | c | { | 1 | } | { | \ | s | q | r | t | { | 1 | x | ^ | 2 | } | } | $ | ||||||||||
$ | \ | a | r | c | t | a | n | x | $ | 的 | 导 | 数 | | | $ | \ | f | r | a | c | { | d | } | { | d | x | } | \ | a | r | c | t | a | n | x | = | \ | f | r | a | c | { | 1 | } | { | 1 | x | ^ | 2 | } | $ | |||||||||||||||||
高 | 阶 | 导 | 数 | | | $ | y | ' | ' | = | \ | f | r | a | c | { | d | } | { | d | x | } | ( | y | ' | ) | $ | ， | 即 | 一 | 阶 | 导 | 数 | 的 | 导 | 数 |
下一步
本单元从第一个子主题——高阶导数开始，在学习核心链式法则之前巩固你已有的导数知识。先掌握这些基础技巧，会让你更容易理解更复杂的隐函数和反函数求导。完成本单元所有子主题后，你将进入第4单元，在那里你会把这些技巧应用到实际情境问题中。