AP微积分AB 链式法则

AP 微积分 AB· AP微积分AB课程与考试说明（CED）—— 求导：复合函数、隐函数与反函数· 14 分钟阅读

1. 什么是链式法则？★☆☆☆☆⏱ 3 min

链式法则是复合函数求导的核心法则，复合函数的形式为 $y = f (g (x))$ ，即内层函数 $u = g (x)$ 代入外层函数 $f (u)$ 中。该知识点约占AP微积分AB考试总分的4-6%，同时出现在选择题和自由问答题部分，几乎总是与其他求导法则结合考查。

链式法则的核心思路是：复合函数的变化率等于外层函数的变化率（在内层函数处取值）乘以内层函数的变化率。AP考试中的大多数函数都是复合函数，因此你无法仅依靠基本求导法则解题。

📘 定义

链式法则

$\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

用于复合函数求导的法则，将外层函数的导数（在内层函数处取值）乘以内层函数的导数。

例:

$y = (x^{2} + 3 x)^{5}$ 需要使用链式法则才能正确求导。

2. 基础链式法则：分解与核心公式★★☆☆☆⏱ 4 min

要正确应用链式法则，你首先需要将复合函数正确分解为外层和内层分量。一个简单的判断方法：代入 $x$ 值计算时，先计算的就是内层函数，后计算的就是外层函数。例如，对于 $y = e^{x^{2}}$ ，内层函数是 $u = x^{2}$ ，外层函数是 $y = e^{u}$ 。

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

\frac{d}{dx}\left[f(g(x))\right] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

乘积形式的思路很简单：如果 $y$ 对 $u$ 的变化率是2倍， $u$ 对 $x$ 的变化率是3倍，那么 $y$ 对 $x$ 的变化率就是 $2 \times 3 = 6$ 倍，因此变化率相乘。不需要使用链式法则的唯一情况是内层函数就是 $y = x$ ，其导数为1，乘积化简后就是外层导数。

📐 例题

求 $y = (2 x^{3} - 5 x + 1)^{4}$ 的导数。

1
分解为外层 $y = u^{4}$ 和内层 $u = 2 x^{3} - 5 x + 1$ 。
2
对 $u$ 求外层函数的导数：
$\frac{dy}{du} = 4u^3$
3
对 $x$ 求内层函数的导数：
$\frac{du}{dx} = 6x^2 - 5$
4
相乘后回代 $u = 2 x^{3} - 5 x + 1$ ：
$\frac{dy}{dx} = 4(2x^3 - 5x + 1)^3(6x^2 - 5)$
5
化简（AP考试中可选）：
$(24x^2 - 20)(2x^3 - 5x + 1)^3$

Exam tip:

在草稿纸上一定要明确标出你的内层和外层函数——如果你无法清晰说出两者，几乎肯定会错误应用该法则。

3. 链式法则与其他求导法则的结合★★★☆☆⏱ 4 min

链式法则在AP考试中几乎从不单独考查，你几乎总是需要将它与乘积法则、商法则或基本非幂函数的导数结合使用。最常见的推广形式有：

广义幂法则: $\frac{d}{d x} [u^{n}] = n u^{n - 1} u^{'}$
广义三角函数: $\frac{d}{d x} [sin u] = cos u \cdot u^{'}$ , $\frac{d}{d x} [cos u] = - sin u \cdot u^{'}$ , 等.
广义指数函数 (底数 $e$ ): $\frac{d}{d x} [e^{u}] = e^{u} \cdot u^{'}$

结合多个法则的核心原则是：先对最外层运算应用对应法则，再向内对任何复合的内层部分应用链式法则。如果最外层运算是乘积，就先应用乘积法则，再对任何复合因子使用链式法则。

📐 例题

求 $f (x) = e^{3 x} cos (2 x)$ 的导数。

1
最外层运算是乘法，因此先应用乘积法则：
$f'(x) = \frac{d}{dx}[e^{3x}] \cdot \cos(2x) + e^{3x} \cdot \frac{d}{dx}[\cos(2x)]$
2
用链式法则对 $e^{3 x}$ 求导（外层 $e^{u}$ ，内层 $u = 3 x$ ）：
$\frac{d}{dx}[e^{3x}] = 3e^{3x}$
3
用链式法则对 $cos (2 x)$ 求导（外层 $cos u$ ，内层 $u = 2 x$ ）：
$\frac{d}{dx}[\cos(2x)] = -2\sin(2x)$
4
回代并化简：
$f'(x) = e^{3x}\left(3\cos(2x) - 2\sin(2x)\right)$

Exam tip:

结合多个法则时，不要一步写出最终导数，逐次写出每一步——自由问答题中正确的中间步骤几乎总能获得部分分。

4. 切线与法线问题中的链式法则★★★☆☆⏱ 3 min

求给定点处复合函数的切线方程（或法线斜率）是AP考试非常常见的题型。由于函数是复合函数，你需要用链式法则计算切线斜率。回顾一下， $x = a$ 处的切线符合点斜式： $y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$ 。对于法线，斜率是切线斜率的负倒数： $m_{normal} = - \frac{1}{f ^{'} ( a )}$ 。

📐 例题

求 $y = 4 x^{2} + 9$ 在 $x = 2$ 处的切线方程。

1
求 $x = 2$ 处的 $y$ 坐标： $y = 4 (2)^{2} + 9 = 5$ ，因此切点为 $(2, 5)$ 。
2
改写为 $y = (4 x^{2} + 9)^{1/2}$ ，分解为外层 $y = u^{1/2}$ ，内层 $u = 4 x^{2} + 9$ 。
3
应用广义幂法则：
$y' = \frac{4x}{\sqrt{4x^2 + 9}}$
4
计算 $x = 2$ 处的斜率：
$y'(2) = \frac{8}{5}$
5
写出切线的点斜式，再整理为斜截式：
$y - 5 = \frac{8}{5}(x - 2) \implies y = \frac{8}{5}x + \frac{9}{5}$

Exam tip:

计算 $f^{'} (a)$ 之前一定要先算出 $f (a)$ （切点坐标）——这是自由问答题中很容易拿到的1分，哪怕你导数算错也能得到。

5. AP风格概念检测★★★★☆⏱ 2 min

✓ 快速检测

用这道选择题测试你的理解：

下列哪一项等于 $\frac{d}{d x} [tan (x^{3} - 2 x)]$ ?
- A)
  $sec^{2} (3 x^{2} - 2)$
- B)
  $(3 x^{2} - 2) sec^{2} (x^{3} - 2 x)$
- C)
  $sec^{2} (x^{3} - 2 x)$
- D)
  $(3 x^{2} - 2) tan (x^{3} - 2 x)$
显示答案
B —
回答正确！你正确识别了外层 $tan u$ 和内层 $u = x^{3} - 2 x$ ，然后应用链式法则得到了结果。

6. 常见陷阱

错误做法:

忘记乘 $g^{'} (x)$ ，漏写内层导数。例如，对 $(x^{2} + 1)^{3}$ 求导得到 $3 (x^{2} + 1)^{2}$ ，而非 $3 (x^{2} + 1)^{2} (2 x)$

原因:

学生求完外层函数导数就停止了，忘记内层函数会随 $x$ 变化。

正确做法:

求完外层函数导数后，一定要问自己：'内层函数不是 $x$ 本身吗？'如果不是，继续下一步前乘上它的导数。

错误做法:

颠倒内外层求导顺序，得到 $g^{'} (x) f (x)$ 而非 $f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$ 。例如，对 $sin (5 x)$ 求导得到 $5 sin (x)$

原因:

混淆了应该先对哪个函数求导。

正确做法:

一定要在草稿纸上明确标出外层和内层，先对外层函数求导，再乘以内层导数。

错误做法:

对两个函数的乘积使用链式法则而非乘积法则。例如，对 $x^{2} sin x$ 求导得到 $2 x cos x$

原因:

混淆了复合 $f (g (x))$ 和乘积 $f (x) g (x)$ 。

正确做法:

求导前，先确认函数是一个函数代入另一个，还是两个独立函数相乘——仅对复合函数使用链式法则。

错误做法:

切线问题中，求导前就将 $x = a$ 代入内层函数。例如，对 $x = 2$ 处的 $y = (x^{2} + 1)^{3}$ ，先代入 $x = 2$ 得到 $y = 125$ ，再求导得到斜率0。

原因:

混淆了代入数值的时机。

正确做法:

先用链式法则对整个函数求导，再将 $x = a$ 代入导数得到斜率。

错误做法:

当最外层运算为乘积/商时，先应用链式法则再应用乘积/商法则。例如，对 $(x + 1) (x^{2} + 2)^{3}$ 求导时，先对整个表达式应用链式法则。

原因:

忘记最外层运算决定法则的应用顺序。

正确做法:

总是先对最外层运算应用对应法则，再向内对复合的内层部分应用链式法则。

7. 速查表

类别	公式	备注
基础链式法则（莱布尼茨记号）	$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ , $y = f (u), u = g (x)$	复合函数的直观“消去 $d u$ ”启发式记忆
基础链式法则（撇号记号）	$\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$	始终要在 $g (x)$ 处而非 $x$ 处计算 $f^{'}$ 的值
广义幂法则	$\frac{d}{d x} [u^{n}] = n u^{n - 1} u^{'}$	对所有实数 $n$ 都成立，包括根号形式
广义三角函数求导	$\frac{d}{d x} [sin u] = (cos u) u^{'}$	全部6个三角函数都符合该模式；使用正确的基本导数
广义指数函数求导	$\frac{d}{d x} [e^{u}] = e^{u} u^{'}$	指数项本身不变；仅乘以内层导数
广义对数函数求导	$\frac{d}{d x} [ln u] = \frac{1}{u} u^{'}$	仅在 $u > 0$ 时成立，AP选择题中很常见
切线方程	$y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$	复合函数 $f (x)$ 的 $f^{'} (a)$ 需要用链式法则计算
法线斜率	$m_{normal} = - \frac{1}{f ^{'} ( a )}$	切线斜率的负倒数

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
对复合三角函数求导
2022 · FRQ
复合函数的切线问题
2021 · MCQ
复合指数函数的水平切线

下一步

链式法则是第3单元所有剩余知识点的基础，它也是AP微积分AB课程后续所有积分和应用知识点的必备基础。接下来你会把链式法则应用到隐函数求导中，即通过对以 $x$ 为自变量的 $y$ 项应用链式法则，对隐函数求导。如果不能正确识别何时需要对隐式项乘 $\frac{d y}{d x}$ ，就无法进行隐函数求导。链式法则也是相关速率问题的核心，这是AP考试中占分很高的自由问答题考点。之后当你学习积分的u换元法时，本质就是逆用链式法则，因此现在掌握好链式法则会让积分变得更直观，也为考试成功打下坚实基础。