离散随机变量

CIE A-Level 数学· 9709 S1 Section 4: Discrete random variables· 15 分钟阅读

1. 离散随机变量的定义★☆☆☆☆⏱ 4 min

随机变量是取值由随机不确定事件的结果决定的量。与可以在区间内取任意值的连续随机变量不同，离散随机变量只能取互不相同的分离值（最常见的是整数）。

📘 定义

离散随机变量

X

只能取可数个不同值的随机变量，每个可能取值都有非零概率发生。

例:

5次抛硬币得到的正面次数、一批产品中的次品数、掷骰子得到的点数

📐 例题

判断下列变量中哪些是离散随机变量：(a) 1小时内到达商店的顾客数量，(b) 随机挑选的苹果的重量，(c) 10道选择题测试答对的题目数量。

1
检查该变量是否取可数个不同值：
2
(a) 顾客数量只能是0、1、2……（整数），因此是可数的。结论：离散。
3
(b) 重量可以在可能的重量范围内取任意值，是不可数的。结论：不是离散。
4
(c) 答对题目数量是0到10之间的不同整数，因此是可数的。结论：离散。
5
最终答案：(a) 和 (c) 是离散随机变量。

2. 概率分布★★☆☆☆⏱ 5 min

离散随机变量 (X) 的概率分布给出了 (X) 每个可能取值 (x) 对应的概率 (P(X=x))。所有有效的概率分布都满足两条核心法则。

📐 例题

离散随机变量 (X) 的概率分布如下，求未知常数 (k) 的值：

x	1	2	3	4
P(X=x)	k	2k	0.3	0.1

1
利用所有概率之和等于1的法则建立方程：
2
$k + 2k + 0.3 + 0.1 = 1$
3
化简并求解 k：
4
$3k + 0.4 = 1 \rightarrow 3k = 0.6 \rightarrow k = 0.2$
5
检查所有概率都在 0 到 1 之间：0.2, 0.4, 0.3, 0.1，都满足条件。最终答案：(k=0.2)

3. 期望与方差★★★☆☆⏱ 6 min

(X) 的期望（或称总体均值）是我们重复多次随机试验后，预期能得到的长期平均值。方差衡量 (X) 的取值在期望周围的分散程度。

📘 定义

期望

E(X) or \(\mu\)

对于离散随机变量 (X)，期望计算公式为：(E(X) = \sum x P(X=x))，求和范围为 (x) 所有可能的取值。

📘 定义

方差

Var(X) or \(\sigma^2\)

方差使用恒等式计算：(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2)，其中 (E(X^2) = \sum x^2 P(X=x))。

📐 例题

使用上一题的概率分布（x: 1,2,3,4；P(X=x): 0.2, 0.4, 0.3, 0.1），计算 (E(X)) 和 (Var(X))。

1
首先将每个 (x) 乘以 (P(X=x)) 再求和得到 (E(X))：
2
$E(X) = (1 \times 0.2) + (2 \times 0.4) + (3 \times 0.3) + (4 \times 0.1) = 0.2 + 0.8 + 0.9 + 0.4 = 2.3$
3
接下来将每个 (x^2) 乘以 (P(X=x)) 再求和得到 (E(X^2))：
4
$E(X^2) = (1^2 \times 0.2) + (2^2 \times 0.4) + (3^2 \times 0.3) + (4^2 \times 0.1) = 0.2 + 1.6 + 2.7 + 1.6 = 6.1$
5
使用方差公式得到最终结果：
6
$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 6.1 - (2.3)^2 = 6.1 - 5.29 = 0.81$

4. 常见陷阱

错误做法:

将方差写成 (Var(X) = [E(X)]^2 - E(X^2))

原因:

简单的符号错误，几乎总会得到负方差，这是不可能的

正确做法:

记住方差始终非负，因此使用：(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2)

错误做法:

不考虑概率不等的情况，将 (E(X)) 计算为（所有x值之和）/（x值的数量），忽略概率不相等的情况

原因:

混淆了均匀分布（所有概率相等）和一般离散分布

正确做法:

无论概率是否相等，始终将每个 (x) 乘以 (P(X=x)) 后再求和

错误做法:

将取整后的连续变量（例如精确到厘米的身高）称为离散变量

原因:

离散性取决于基础变量的可能取值，而非测量方式

正确做法:

如果基础变量可以在某个范围内取任意值，即使取整为整数，它仍然是连续变量

错误做法:

求解未知常数 (k) 后，忘记检查所有概率都在 0 到 1 之间

原因:

有时k会有多个解，其中一个解可能会得到无效的负概率或大于 1 的概率

正确做法:

始终验证你求出的k值得到的所有概率都在 0 到 1 之间

5. 速查表

概念	公式/法则
离散随机变量	可数个不同值，每个都有非零概率
概率法则	$\sum P (X = x) = 1$ , $0 \leq P (X = x) \leq 1$
期望	$E (X) = \sum x P (X = x)$
$X^{2}$ 的期望	$E (X^{2}) = \sum x^{2} P (X = x)$
方差	$V a r (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$

下一步

离散随机变量是CIE A-Level统计中所有特定概率分布的基础。你在这里学到的通用期望和方差法则可以直接应用到二项分布等具名分布上，帮助你推导和记住它们的标准公式。本主题也为连续随机变量构建了你需要的核心概念：你的下一步是两个具名离散分布——二项分布和几何分布——然后是正态分布，它是本课程中最重要的连续分布。这些相同的概念也是你A-Level学习后期抽样和假设检验等主题的基础，因此掌握本模块的法则会让你未来所有统计学主题的学习都容易得多。