正态分布

Q: 我需要记住常用概率对应的z值吗？

不需要。CIE在MF19公式表中同时提供标准正态分布表和临界值（百分位点）表，考试时都可查到；记住最常用的几个（例如90%分位数对应、95%对应）只是为了节省查表时间。

CIE A-Level 数学· 第4单元：概率与统计1· 15 分钟阅读

1. 正态分布的性质★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

正态分布

$X \sim N (μ, σ^{2})$

一种连续概率分布，具有对称的钟形概率密度函数。 $μ$ 是总体均值（由于对称性，均值等于中位数和众数）， $σ^{2}$ 是总体方差。

例:

成年人身高、测量误差和考试分数通常都被建模为正态分布。

正态分布有几个常考的核心性质：它关于均值对称，曲线下总面积等于1，几乎所有（99.7%）的分布都落在均值的3个标准差范围内。方差越大，曲线的分布范围越广。

📐 例题

指出分布 $X \sim N (30, 36)$ 的均值、方差和标准差。

1
记住记号 $X \sim N (μ, σ^{2})$ 中，第一个参数是均值，第二个是方差：
2
$\mu = 30, \quad \sigma^2 = 36$
3
标准差是方差的平方根，计算得：
4
$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{36} = 6$
5
最终答案：
6
均值 = 30, 方差 = 36, 标准差 = 6

Exam tip:

一定要检查题目要求的是方差还是标准差。很多学生因为混淆这两个概念丢分。

2. 标准化与概率计算★★★☆☆⏱ 7 min

📘 定义

Z分数

$z = \frac{X - μ}{σ}$

将任意服从正态分布的变量 $X$ 转换为标准正态变量 $Z \sim N (0, 1)$ 的标准化值，可以在标准正态分布表中查询。

任意正态分布都可以通过z分数公式转换为标准正态分布，这样我们就可以使用预计算的表格查找累积概率。z分数 $z$ 对应的累积概率记为 $Φ (z) = P (Z \leq z)$ 。对于负z分数，我们利用正态分布的对称性： $Φ (- z) = 1 - Φ (z)$ 。

📐 例题

已知 $X \sim N (50, 100)$ ，计算 $P (X < 62)$ 。

1
从记号中提取参数：
2
$\mu = 50, \quad \sigma^2 = 100 \implies \sigma = 10$
3
计算 $X = 62$ 对应的z分数：
4
$z = \frac{62 - 50}{10} = 1.2$
5
在标准正态分布表中查询 $z = 1.2$ 得 $Φ (1.2) = 0.8849$ ，因此 $P (X < 62) = 0.8849$

📐 例题

对于同一分布 $X \sim N (50, 100)$ ，计算 $P (X > 45)$ 。

1
计算z分数：
2
$z = \frac{45 - 50}{10} = -0.5$
3
对负z使用对称性性质：
4
$P(X > 45) = P(Z > -0.5) = 1 - \Phi(-0.5) = \Phi(0.5)$
5
查询得 $Φ (0.5) = 0.6915$ ，因此 $P (X > 45) = 0.6915$

Exam tip:

快速画出正态曲线并给你需要的区域上色，这样可以避免尾概率计算错误。

3. 反正态分布问题★★★★☆⏱ 7 min

反正态问题是反过来的过程：给定概率，需要找到对应 $X$ 的值。这类问题在CIE考试中非常常见，通常占5-6分。

📘 定义

反正态

对于累积概率 $p = P (X < x)$ ，反正态可以找到对应正态分布p分位数的x值。

📐 例题

已知 $X \sim N (20, 25)$ ，找到满足 $P (X > x) = 0.10$ 的x值。

1
将上尾概率转换为下尾概率：
2
$P(X < x) = 1 - P(X > x) = 1 - 0.10 = 0.90$
3
提取参数：
4
$\mu = 20, \quad \sigma = 5$
5
找到累积概率0.90对应的z分数： $z = 1.282$
6
整理z分数公式求解 $x$ ：
7
$x = \mu + z\sigma = 20 + (1.282)(5) = 26.41$
8
最终答案（保留3位有效数字）： $x \approx 26.4$

Exam tip:

一定要确认题目要求的是哪个尾。例如，上10%是90分位数，不是10分位数。

4. 二项分布的正态近似★★★★☆⏱ 8 min

当二项分布的试验次数 $n$ 很大时，逐项计算二项概率非常繁琐。只要分布不太偏斜，就可以用正态分布近似 $X \sim B (n, p)$ 。这是 CIE 统计1（5.5）要求的考点，也是常考题型。

📘 定义

二项分布的正态近似

$X \sim B (n, p) \approx N (n p, n pq)$

若 $X \sim B (n, p)$ ， $q = 1 - p$ ，且 $n$ 足够大使得 $n p > 5$ 且 $n q > 5$ ，则 $X$ 近似服从均值 $μ = n p$ 、方差 $σ^{2} = n pq$ 的正态分布。由于是用连续分布近似离散分布，必须进行连续性修正。

例:

$X \sim B (100, 0.4)$ 中 $n p = 40 > 5$ 、 $n q = 60 > 5$ ，因此 $X \approx N (40, 24)$ 。

由于二项分布是离散的而正态分布是连续的，需要进行连续性修正：把每个整数边界替换为能把所需取值保留在区域内的半整数。 $X \geq 5$ 用 $P (X > 4.5)$ ； $X > 5$ 用 $P (X > 5.5)$ ； $X \leq 5$ 用 $P (X < 5.5)$ ； $X < 5$ 用 $P (X < 4.5)$ ；单个取值 $P (X = 5)$ 用 $P (4.5 < X < 5.5)$ 。

📐 例题

某大批量元件中，40% 为优质品。随机抽取 100 个元件。用适当的近似求至少有 45 个是优质品的概率。

1
设 $X$ 为优质元件的个数，则 $X \sim B (100, 0.4)$ 。用 $q = 1 - 0.4 = 0.6$ 检验近似条件：
2
$np = 100 \times 0.4 = 40 > 5, \quad nq = 100 \times 0.6 = 60 > 5$
3
两个条件都满足，因此用均值 $n p$ 、方差 $n pq$ 近似：
4
$X \approx N(40,\ 24), \quad \sigma = \sqrt{24} = 4.899$
5
进行连续性修正。'至少 45' 表示 $X \geq 45$ ，对连续变量变为 $X > 44.5$ ：
6
$P(X \geq 45) \approx P(X > 44.5)$
7
标准化并查表：
8
$z = \frac{44.5 - 40}{\sqrt{24}} = \frac{4.5}{4.899} = 0.919$
9
$P(X > 44.5) = 1 - \Phi(0.919) = 1 - 0.821 = 0.179$
10
因此至少有 45 个元件为优质品的概率约为 0.179（3 位有效数字）。

Exam tip:

最容易漏的一步是连续性修正及其方向：'至少 45'（ $X \geq 45$ ）用 44.5，而'多于 45'（ $X > 45$ ）用 45.5。近似前一定要先写出 $B (n, p)$ 并验证 $n p > 5$ 且 $n q > 5$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

计算z分数时混淆方差和标准差

原因:

记号 $N (μ, σ^{2})$ 的第二个参数是方差，因此学生经常错用方差代替标准差

正确做法:

开始计算前，一定要对第二个参数开平方得到 $σ$

错误做法:

错误计算负z分数的概率

原因:

标准正态分布表只给出正z的概率，学生经常忘记应用对称性法则

正确做法:

对于负z分数，始终使用恒等式 $Φ (- z) = 1 - Φ (z)$

错误做法:

反正态问题中直接使用上尾概率

原因:

学生直接使用给定的上尾概率查找z，而不是转换为下尾概率

正确做法:

在表中查找z之前，一定要先转换为下累积概率 $p = P (X < x)$

错误做法:

二项分布正态近似时忘记连续性修正

原因:

用正态分布近似 $X \sim B (n, p)$ （在 $n p > 5$ 且 $n q > 5$ 时适用）时，学生忘记离散计数值必须平移 0.5

正确做法:

先确认 $n p > 5$ 且 $n q > 5$ ，再对二项取值加或减 0.5（例如 $P (X \geq 45) \to P (X > 44.5)$ ）后再标准化

6. 速查表

概念	核心公式/法则
一般正态记号	$X \sim N (μ, σ^{2})$
标准正态分布	$Z \sim N (0, 1)$
Z分数公式	$z = \frac{X - μ}{σ}$
负z概率	$Φ (- z) = 1 - Φ (z)$
反正态求x	$x = μ + z σ$
经验法则（近似）	约 68.3% 落在 1 $σ$ 内，约 95.4% 落在 2 $σ$ 内，约 99.7% 落在 3 $σ$ 内（精确值请查表）

7. 常见问题

我需要记住常用概率对应的z值吗？

不需要。CIE在MF19公式表中同时提供标准正态分布表 $Φ (z)$ 和临界值（百分位点）表，考试时都可查到；记住最常用的几个（例如90%分位数对应 $z = 1.282$ 、95%对应 $z = 1.645$ ）只是为了节省查表时间。

正态分布是离散的还是连续的？

正态分布始终是连续概率分布，这意味着它可以取区间内的任意值。

深入阅读

下一步

在统计1中，正态分布最主要的应用是上一节介绍的二项分布正态近似。放眼本主题之外，正态分布还是抽样与估计、置信区间和假设检验的基础——但请注意，这些属于统计2（Paper 6），是后续课程的内容，不属于统计1（Paper 5）。请先掌握这里基于查表的概率计算和反正态方法。