几何分布

数学· 9709 S1 第5.4节，教材第7.2章· 12 分钟阅读

1. 几何分布的有效适用条件★★☆☆☆⏱ 3 min

只有同时满足以下全部四条规则时，几何分布才是合适的模型：所有试验相互独立，每次试验只有两个互斥的结果（成功或失败），所有试验的成功概率 $p$ 为常数，统计的是直到首次成功（含首次成功）的总试验次数。

📘 定义

几何分布

$X \sim Geo (p)$

描述首次成功发生在第 $r$ 次试验的离散分布，其中 $r = 1, 2, 3, ...$

📐 例题

判断以下场景是否适合用几何分布建模：「反复抛掷一枚公平6面骰子，直到掷出6点为止， $X$ 为抛掷总次数。」

1
逐一检查四个条件：
2
1. 每次掷骰子的结果与之前所有抛掷相互独立：满足。
3
1. 每次试验只有两个结果：掷出6点（成功）或未掷出6点（失败）：满足。
4
1. 成功概率 $p = 1/6$ 为常数：满足。
5
1. $X$ 统计直到首次掷出6点（含该次）的总抛掷次数：满足。
6
结论： $X \sim Geo (1/6)$ 是有效模型。

2. 核心单个概率公式★★☆☆☆⏱ 3 min

首次成功恰好发生在第 $r$ 次试验的概率由标准MF19公式给出。该公式的含义是：前 $r - 1$ 次试验全部失败，第 $r$ 次试验恰好成功。

P(X = r) = p(1-p)^{r-1} \quad \text{for } r = 1, 2, 3, ...

📐 例题

已知 $X \sim Geo (0.25)$ ，计算 $P (X = 4)$ ，结果保留3位有效数字。

1
提取参数： $p = 0.25$ ， $r = 4$
2
代入公式：
3
$P(X=4) = 0.25 \times (1-0.25)^{4-1} = 0.25 \times 0.75^3$
4
$0.25 \times 0.421875 = 0.10546875$
5
四舍五入保留3位有效数字：0.105

3. 尾概率与众数★★★☆☆⏱ 3 min

几何分布最常考的非单个概率结果是尾概率 $P (X > r)$ ，它描述的事件是：前 $r$ 次试验全部失败，前 $r$ 次尝试中没有出现成功。

🔬 推导

目标:

证明 $P (X > r) = q^{r}$

起点:

$X > r$ 表示首次成功没有出现在第1到第r次试验中

1
若首次成功发生在第r次试验之后，则前r次试验必须全部失败
2
试验相互独立，因此将每次试验的失败概率相乘
3
$P(X > r) = q \times q \times ... \times q \quad (r \text{ 次})$

结果:

$P (X > r) = q^{r} = (1 - p)^{r}$

P(X \leq r) = 1 - P(X > r) = 1 - (1-p)^r

📐 例题

已知 $X \sim Geo (0.1)$ ，计算 $P (X > 5)$ 和 $P (X \leq 3)$ ，结果保留3位有效数字。

1
首先计算 $P (X > 5)$ ：
2
$P(X > 5) = (1-0.1)^5 = 0.9^5 = 0.59049 \approx 0.590$
3
接下来计算 $P (X \leq 3)$ ：
4
$P(X \leq 3) = 1 - (1-0.1)^3 = 1 - 0.729 = 0.271$

4. 几何分布的期望★★☆☆☆⏱ 3 min

几何分布中首次成功所需的平均试验次数是一个直接在MF19公式表中给出的简单结论。注意几何分布的方差明确不在CIE 9709 S1考纲范围内，考试中不会要求你计算它。

E(X) = \frac{1}{p}

📐 例题

反复抛掷一枚公平硬币，直到掷出正面为止。求所需的总抛掷次数的期望值。

1
确定成功概率：公平硬币掷出正面的概率 $p = 0.5$
2
$E(X) = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.5} = 2$
3
首次得到正面所需的期望抛掷次数为2。

✓ 快速检测

测试你对几何分布核心规则的理解：

$X \sim Geo (0.7)$ 的众数是多少？
- 0.7
- 1
- 1.43
- 7
显示答案
1 —
所有几何分布的众数都是1，无需计算。
已知 $X \sim Geo (0.2)$ ，求 $E (X)$ 的值？
- 0.2
- 2
- 5
- 0.8
显示答案
5 —
$E (X) = 1/ p = 1/0.2 = 5$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

将 $X$ 定义为首次成功前的失败次数

原因:

CIE标准记法将 $X$ 定义为首次成功对应的试验序号，使用其他定义会导致所有公式计算结果错误

正确做法:

应用任何几何分布公式前，务必确认 $X$ 统计的是直到首次成功（含该次）的总试验次数

错误做法:

尝试计算几何分布的方差

原因:

几何分布方差明确不在S1考纲范围内，多余的无效计算会导致你丢失答案得分

正确做法:

几何分布相关题目中，只需要计算期望 $E (X) = 1/ p$ 即可

错误做法:

使用公式 $P (X = r) = p (1 - p)^{r}$ 而非 $p (1 - p)^{r - 1}$

原因:

指数统计的是首次成功前的失败次数，该值为 $r - 1$ 而非 $r$

正确做法:

代入数值时务必检查指数比试验序号 $r$ 小1

错误做法:

将几何分布公式应用于试验不独立的场景

原因:

所有几何分布结论都建立在试验结果互不影响的假设之上

正确做法:

使用任何概率或期望公式前，先验证全部四条几何模型适用条件

错误做法:

声称几何分布的众数不是1

原因:

所有几何分布的概率值严格递减，因此最高概率始终出现在 $r = 1$ 处

正确做法:

牢记任意 $Geo (p)$ 的众数都是1，无需计算

6. 速查表

物理量	公式（Geo(p)）	备注
P(X = r)	p(1-p)^{r-1}	r ≥ 1，首次成功发生在第r次试验
P(X > r)	(1-p)^r	前r次试验全部失败
P(X ≤ r)	1 - (1-p)^r	前r次试验不全失败的对立事件
众数	1	对所有合法p值均成立
E(X)	1/p	MF19公式表中已给出

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2025 · 52
几何概率与期望计算
2024 · 51
识别几何分布适用场景
2023 · 53
尾概率计算

下一步

掌握几何分布之后，你可以进一步将它与二项分布进行对比，后者是CIE 9709 S1中另一个核心的离散命名分布。大量考题要求你从场景中选出正确的分布，因此练习区分二项分布（固定试验次数，统计总成功数）和几何分布（首次成功即停止）的场景，会直接提升你Paper 5的得分。几何分布是投入少得分高的考点，几乎每两套S1试卷就会出现一次，考前复习本指南可以帮你在相关题目中拿到满分。

→二项分布