三角学

CIE A-Level 数学· 40 分钟阅读

1. 倒数三角函数（sec、cosec、cot）★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

倒数三角函数

三个基本三角比各有一个倒数：余割（cosec）、正割（sec）和余切（cot）。定义为 $csc θ = \frac{1}{s i n θ}$ 、 $sec θ = \frac{1}{c o s θ}$ 、 $cot θ = \frac{1}{t a n θ} = \frac{c o s θ}{s i n θ}$ 。

例:

$sec 6 0^{\circ} = \frac{1}{c o s 6 0 ^{\circ}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \qquad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \qquad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

📘 定义

六个函数的图像（任意大小的角）

在原三角比为零的地方，倒数函数无定义，其图像出现垂直渐近线。 $y = csc θ$ 在 $sin θ = 0$ 处（即 $θ = 0^{\circ}, 18 0^{\circ}, 36 0^{\circ}, \dots$ ）有渐近线； $y = sec θ$ 在 $cos θ = 0$ 处（即 $θ = 9 0^{\circ}, 27 0^{\circ}, \dots$ ）有渐近线； $y = cot θ$ 在 $sin θ = 0$ 处（即 $θ = 0^{\circ}, 18 0^{\circ}, \dots$ ）有渐近线。由于 $∣ sin θ ∣ \leq 1$ 、 $∣ cos θ ∣ \leq 1$ ，所以 $sec$ 和 $csc$ 的图像永远不会取 $- 1$ 到 $1$ 之间的值。

例:

在 $θ = 0^{\circ}$ 附近， $sin θ \to 0$ ，因此 $csc θ = 1/ sin θ \to \pm \infty$ 。

\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta \qquad\qquad \csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta

📐 例题

在 $0^{\circ} \leq θ \leq 36 0^{\circ}$ 范围内求解 $2 sec^{2} θ - tan θ = 5$ 。

1
利用 $sec^{2} θ \equiv 1 + tan^{2} θ$ ，把方程全部化为 $tan θ$ 的形式：
2
$2(1 + \tan^2\theta) - \tan\theta = 5$
3
展开并把所有项移到一侧，得到关于 $tan θ$ 的二次方程：
4
$2\tan^2\theta - \tan\theta - 3 = 0$
5
对二次方程因式分解：
6
$(2\tan\theta - 3)(\tan\theta + 1) = 0$
7
分别求解每个因子得 $tan θ$ ：
8
$\tan\theta = \frac{3}{2} \quad \text{or} \quad \tan\theta = -1$
9
写出区间 $0^{\circ} \leq θ \leq 36 0^{\circ}$ 内的所有解：
10
$\theta = 56.3^\circ,\ 236.3^\circ \quad \text{or} \quad \theta = 135^\circ,\ 315^\circ$

✓ 快速检测

用哪个恒等式能把 $sec^{2} θ$ 化为含 $tan θ$ 的表达式？

哪个恒等式把 $sec^{2} θ$ 用 $tan θ$ 表示？
- $sec^{2} θ = 1 + tan^{2} θ$
- $sec^{2} θ = 1 - tan^{2} θ$
- $sec^{2} θ = tan^{2} θ - 1$
- $sec^{2} θ = 1 + cot^{2} θ$

Exam tip:

$sec$ 、 $csc$ 、 $cot$ 是倒数，不是反函数。用恒等式 $sec^{2} θ \equiv 1 + tan^{2} θ$ 或 $csc^{2} θ \equiv 1 + cot^{2} θ$ 把方程化成关于单个三角比的二次方程。

2. 复角恒等式★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

复角恒等式

用两个单个角的函数表示两角和或差的三角函数的公式

例:

用正弦加法公式展开 $sin (A + B)$

\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B

\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B

\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}

📐 例题

求 $sin 1 5^{\circ}$ 的精确值

1
将 $1 5^{\circ}$ 写为两个已知三角函数值的角的差：
2
$15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$
3
应用 $sin (A - B)$ 的正弦复角恒等式：
4
$\sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ$
5
代入已知精确值：
6
$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$
7
最终化简结果：
8
$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

📐 例题

化简 $cos (x - 6 0^{\circ}) - 3 sin (x - 6 0^{\circ})$ ，将答案写成单一项。

1
用加法公式展开每个复角：
2
$\cos(x - 60^\circ) = \cos x \cos 60^\circ + \sin x \sin 60^\circ = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$
3
$\sin(x - 60^\circ) = \sin x \cos 60^\circ - \cos x \sin 60^\circ = \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x$
4
代入两个展开式，并把 $3$ 乘开：
5
$\cos(x - 60^\circ) - \sqrt{3}\sin(x - 60^\circ) = \left(\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) - \sqrt{3}\left(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)$
6
$sin x$ 的项相互抵消， $cos x$ 的项合并：
7
$= \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{3}{2}\cos x = 2\cos x$

Exam tip:

务必检查中间项的符号：对于余弦复角公式，符号相对于角的符号会翻转。

3. 倍角恒等式（及降幂形式）★★★☆☆⏱ 10 min

📘 定义

倍角恒等式

由复角恒等式推导得到，当两个角相等时，将 $2 θ$ 的三角函数与 $θ$ 的函数关联的恒等式

\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta

\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta

\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}

📐 例题

证明恒等式 $\frac{1 - c o s 2 θ}{s i n 2 θ} = tan θ$

1
从左侧(LHS)开始，代入倍角恒等式：
2
将 $1 - cos 2 θ$ 替换为 $2 sin^{2} θ$ （来自恒等式 $cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ$ ），将 $sin 2 θ$ 替换为 $2 sin θ cos θ$ ：
3
$\text{LHS} = \frac{2 \sin^2 \theta}{2 \sin \theta \cos \theta}$
4
约去公因子 $2$ 和 $sin θ$ （ $sin θ \neq = 0$ 时）：
5
$\text{LHS} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta = \text{RHS}$

✓ 快速检测

哪个表达式等价于 $cos^{2} x$ ?

哪个表达式等价于 $cos^{2} x$ ?
- $\frac{1 + c o s 2 x}{2}$
- $\frac{1 - c o s 2 x}{2}$
- $1 + cos 2 x$
- $cos 2 x - 1$

4. 正弦和余弦线性组合的R型公式★★★☆☆⏱ 10 min

📘 定义

R型公式（振幅-相位形式）

R \sin(\theta \pm \alpha), R \cos(\theta \pm \alpha)

一种将线性组合 $a sin θ + b cos θ$ （角度 $θ$ 相同）改写为单个三角函数的方法，其中 $R > 0$ ， $0 < α < 9 0^{\circ}$ （或 $\frac{π}{2}$ 弧度）

例:

$3 sin x + 4 cos x = 5 sin (x + 53. 1^{\circ})$

📐 例题

将 $3 sin x + 4 cos x$ 表示为 $R sin (x + α)$ 的形式，其中 $R > 0$ ， $0 < α < 9 0^{\circ}$ 。

1
用正弦复角恒等式展开目标形式：
2
$R \sin(x + \alpha) = R \sin x \cos \alpha + R \cos x \sin \alpha$
3
与 $3 sin x + 4 cos x$ 比较系数：
4
$R \cos \alpha = 3 \quad \text{and} \quad R \sin \alpha = 4$
5
利用 $cos^{2} α + sin^{2} α = 1$ ，将两个方程平方相加计算 $R$ ：
6
$R^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 3^2 + 4^2 = 25 \implies R = 5$
7
将两个方程相除消去 $R$ ，计算 $α$ ：
8
$\tan \alpha = \frac{R \sin \alpha}{R \cos \alpha} = \frac{4}{3} \implies \alpha \approx 53.1^\circ$
9
最终结果：
10
$3 \sin x + 4 \cos x = 5 \sin(x + 53.1^\circ)$

Exam tip:

务必检查题目要求的形式： $R cos (x - α)$ 的系数排列不同，因此求解前先展开。

5. 常见陷阱

错误做法:

错误地写为 $cos (A - B) = cos A cos B - sin A sin B$

原因:

余弦复角恒等式中，正弦项的符号会翻转，与角的符号相反

正确做法:

正确应为 $cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B$

错误做法:

解方程时从两边约去 $sin θ$

原因:

这会去掉 $sin θ = 0$ 的解，这些解在大多数区间内都是有效的

正确做法:

将所有项移到一侧，提取公因子 $sin θ$ ，分别求解每个因子

错误做法:

对 $a sin x + b cos x = R sin (x + α)$ 错误写为 $tan α = \frac{a}{b}$

原因:

比较系数时系数颠倒，导致 $α$ 的值错误

正确做法:

求解 $α$ 前总是先展开R型表达式再比较系数

错误做法:

求解 $2 θ$ 时保留原区间，例如对 $0 < θ < π$ 错误取 $0 < 2 θ < π$

原因:

区间会随角度系数缩放，原区间会导致漏解

正确做法:

将区间边界乘以角度系数，因此对 $0 < θ < π$ ，区间应为 $0 < 2 θ < 2 π$

6. 速查表

恒等式类型	核心公式
倒数比与恒等式	$csc θ = \frac{1}{s i n θ}, sec θ = \frac{1}{c o s θ}, cot θ = \frac{c o s θ}{s i n θ}$ $sec^{2} θ \equiv 1 + tan^{2} θ$ $csc^{2} θ \equiv 1 + cot^{2} θ$
复角	$sin (A \pm B) = sin A cos B \pm cos A sin B$ $cos (A \pm B) = cos A cos B \mp sin A sin B$ $tan (A \pm B) = \frac{t a n A \pm t a n B}{1 \mp t a n A t a n B}$
倍角	$sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ $cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = 1 - 2 sin^{2} θ$ $tan 2 θ = \frac{2 t a n θ}{1 - t a n ^{2} θ}$
R型公式： $a sin x + b cos x$	$R = a^{2} + b^{2}, tan α = \frac{b}{a}$ $a sin x + b cos x = R sin (x + α)$

下一步

这些核心三角恒等式是纯数学2与纯数学3几乎所有后续主题的基础，也频繁出现在涉及简谐运动的力学问题中。你会经常用到它们来求解复杂三角方程、对三角函数求导和积分、化简反三角函数表达式，以及求组合周期函数的最大值和最小值。掌握这些恒等式是在试卷2和试卷3中取得高分的关键，因为每次考试都会在多道题目中考查它们。