三角学

数学· 纯数学1 第5单元：三角学· 20 分钟阅读

1. 锐角的三角比★☆☆☆☆⏱ 3 min

这些直角三角形的三角比是IGCSE的已学内容，这里只作简要回顾。对于锐角 $θ$ ，SOH-CAH-TOA根据对边、邻边和斜边定义 $sin θ$ 、 $cos θ$ 和 $tan θ$ 。已知其中一个三角比时，用勾股定理即可求出第三条边，从而得到另外两个三角比。

2. 特殊角的精确三角值★★☆☆☆⏱ 6 min

CIE考试经常需要用到 $0^{\circ}, 3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}, 9 0^{\circ}$ 的精确值，这些值可由等边三角形和等腰直角三角形推导得出。

角度 (°)	$sin θ$	$cos θ$	$tan θ$
0	0	1	0
30	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{3}$
45	$\frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$	1
60	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$3$
90	1	0	未定义

📐 例题

求 $sin 3 0^{\circ} + cos 6 0^{\circ} - tan 4 5^{\circ}$ 的精确值。

1
代入表格中的精确值：
2
$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \tan 45^\circ = 1$
3
计算结果：
4
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0$

📐 例题

求 $cos 15 0^{\circ}$ 的精确值。

1
用相关的锐角 $3 0^{\circ}$ 表示 $15 0^{\circ}$ ：
2
$150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$
3
由于 $15 0^{\circ}$ 是钝角，其余弦为负。应用相关角公式 $cos (18 0^{\circ} - θ) = - cos θ$ ：
4
$\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ$
5
代入 $cos 3 0^{\circ}$ 的精确值：
6
$-\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 基本三角恒等式★★★☆☆⏱ 7 min

两个基本三角恒等式在CIE P1题目中频繁使用，它们可用于化简表达式、证明其他恒等式，以及帮助求解三角方程。

📘 定义

基本三角恒等式

Paper 1 只依赖两个基本恒等式：

商数恒等式： $tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ}$
勾股恒等式： $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$

例:

若已知 $sin θ$ ，勾股恒等式给出 $cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ$ ，商数恒等式再给出 $tan θ$ 。

📐 例题

证明 $\frac{1 - c o s ^{2} θ}{t a n θ} = sin θ cos θ$ 。

1
用勾股恒等式替换 $1 - cos^{2} θ$ ：
2
$1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta$
3
用商数恒等式替换 $tan θ$ ，然后作除法：
4
$\frac{\sin^2\theta}{\tan\theta} = \sin^2\theta \div \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \sin^2\theta \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$
5
约去一个 $sin θ$ 因子：
6
$\sin^2\theta \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \sin\theta\cos\theta$

4. 正弦、余弦和正切函数的图像★★☆☆☆⏱ 6 min

$y = sin x$ 和 $y = cos x$ 的图像是平滑的波形，每 $36 0^{\circ}$ （周期）重复一次，并始终介于 $- 1$ 和 $1$ 之间。 $y = tan x$ 的图像则不同：它每 $18 0^{\circ}$ 重复一次，并在 $cos x = 0$ 处有竖直渐近线，即在 $0^{\circ}$ 到 $36 0^{\circ}$ 的一个周期内位于 $x = 9 0^{\circ}$ 和 $x = 27 0^{\circ}$ 处。

图像	周期	值域	渐近线（0°到360°）
$y = sin x$	$36 0^{\circ}$	$- 1 \leq y \leq 1$	无
$y = cos x$	$36 0^{\circ}$	$- 1 \leq y \leq 1$	无
$y = tan x$	$18 0^{\circ}$	全体实数	$x = 9 0^{\circ}, 27 0^{\circ}$

课程前面学过的变换规则可直接套用。乘在整个函数前面的系数改变振幅（纵向伸缩），乘在 $x$ 前面的系数改变周期（横向伸缩）。

函数	对图像的影响
$y = 3 sin x$	振幅为 $3$ ：图像在 $- 3$ 和 $3$ 之间振荡；周期仍为 $36 0^{\circ}$ 。
$y = cos 2 x$	系数 $2$ 使周期减半为 $18 0^{\circ}$ ；值域仍为 $- 1 \leq y \leq 1$ 。
$y = 1 - cos 2 x$	$cos 2 x$ 关于 $x$ 轴反射后向上平移 $1$ ；值域变为 $0 \leq y \leq 2$ 。

📐 例题

说明 $y = 1 - cos 2 x$ 的图像如何由 $y = cos x$ 得到，并写出它的值域。

1
$cos 2 x$ 中的系数 $2$ 使周期减半：
2
$\text{周期} = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$
3
负号使曲线关于 $x$ 轴反射， $+ 1$ 使其向上平移一个单位。
4
由于 $cos 2 x$ 介于 $- 1$ 和 $1$ 之间， $1 - cos 2 x$ 的值域为：
5
$-1 \leq \cos 2x \leq 1 \implies 0 \leq 1 - \cos 2x \leq 2$

5. 反三角函数★★★☆☆⏱ 4 min

反三角函数 $sin^{- 1} x$ 、 $cos^{- 1} x$ 和 $tan^{- 1} x$ 是三角比的逆运算：给定一个比值，它们返回一个角。由于三角函数是周期性的，每个反函数只返回一个角，即主值，也就是计算器显示的值。

反函数	主值范围
$sin^{- 1} x$	$- 9 0^{\circ} \leq θ \leq 9 0^{\circ}$
$cos^{- 1} x$	$0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$
$tan^{- 1} x$	$- 9 0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}$

计算器只会给出这个主值。要在更大的区间（如 $0^{\circ}$ 到 $36 0^{\circ}$ ）内找出其他解，需利用图像的对称性（或ASTC法则），如下一节所示。

6. 求解三角方程（0°到360°）★★★★☆⏱ 7 min

三角方程在0°到360°之间通常有两个解。每个三角比在四个象限中有两个象限为正、另外两个象限为负，因此水平线 $y = k$ 在每个360°周期内与曲线相交两次，大多数情况下给出两个解。可使用ASTC法则确定它们的位置。

📐 例题

求解 $0^{\circ} \leq θ \leq 36 0^{\circ}$ 范围内的方程 $2 sin θ + 1 = 0$ 。

1
整理方程，分离出三角比：
2
$2\sin\theta = -1 \implies \sin\theta = -\frac{1}{2}$
3
由绝对值求出锐角参考角：
4
$\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ$
5
正弦在第三象限和第四象限为负，因此计算两个象限的解：
6
$Q3: 180^\circ + 30^\circ = 210^\circ \\ Q4: 360^\circ - 30^\circ = 330^\circ$
7
两个解都在要求范围内，因此解为 $θ = 21 0^{\circ}$ 和 $θ = 33 0^{\circ}$ 。

7. 常见陷阱

错误做法:

忘记大多数方程在0°到360°之间有2个解

原因:

阅卷人会对漏解扣分，这是非常常见的错误

正确做法:

始终使用ASTC法则找出所有有效象限和所有解

错误做法:

将 $sin^{2} θ$ 误认为 $sin (θ^{2})$

原因:

该记号的含义是 $(sin θ)^{2}$ ，不是θ平方的正弦

正确做法:

记住对于任意指数 $n$ ，都有 $sin^{n} θ = (sin θ)^{n}$

错误做法:

题目要求精确答案时给出近似小数

原因:

当题目要求精确值时，CIE对非精确答案不给分

正确做法:

务必检查题目表述，答案保留根式/分数形式

错误做法:

将 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ 错误整理为 $cos^{2} θ = 1 + sin^{2} θ$

原因:

移项时出现简单的符号错误

正确做法:

二次检查： $cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ$ 且 $sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$

错误做法:

求第二个解时总是用180°减去参考角

原因:

第二个解的计算方式取决于它所在的象限

正确做法:

先用ASTC确定象限，再按 $180 + α$ （第三象限）和 $360 - α$ （第四象限）计算角度

8. 速查表

概念	核心结论
三角比	SOH-CAH-TOA: sin=对/斜, cos=邻/斜, tan=对/邻
精确值	记住特殊三角形中0°, 30°, 45°, 60°, 90°的精确值
三角函数图像	$sin x, cos x$ ：周期 $36 0^{\circ}$ ，值域 $[- 1, 1]$ ； $tan x$ ：周期 $18 0^{\circ}$ ，渐近线 $9 0^{\circ}, 27 0^{\circ}$
核心恒等式	$tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ}$ ； $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$
反三角函数	$sin^{- 1} x \in [- 9 0^{\circ}, 9 0^{\circ}]$ ， $cos^{- 1} x \in [0^{\circ}, 18 0^{\circ}]$ ， $tan^{- 1} x \in (- 9 0^{\circ}, 9 0^{\circ})$ ；计算器给出主值
ASTC法则	Q1: 全+, Q2: Sin +, Q3: Tan +, Q4: Cos +
解方程	求参考角，找出所有有效象限中的解

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syllabusCIE 9709 官方大纲完整单元学习目标

下一步

掌握这部分核心三角学是学习CIE 9709后续所有纯数学内容的基础。你在这里学到的恒等式和解方程技巧会在图像变换、更高级的恒等式、微积分和力学题目中频繁使用。CIE经常出结合这些基础技能和其他知识点的多分题，因此巩固这个子主题会提升你整张试卷的得分。