数列

CIE A-Level 数学· 第1单元：第6节 - 数列· 20 分钟阅读

1. 等差数列★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

等差数列（AP）

$a$ = 首项, $d$ = 公差, $n$ = 项数

每一项与前一项相差一个常数（可正、可负或为零）的数列，这个常数称为公差 $d$

例:

$3, 7, 11, 15...$ 满足 $a = 3$ , $d = 4$

三项判别法： 三个数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等差数列，当且仅当 $2 b = a + c$ （中间项是两侧相邻项的平均数）。

对任意等差数列，第n项的公式为 $u_{n} = a + (n - 1) d$ 。前n项和可以用以下两种恒等式中的任意一种计算：

S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \frac{n}{2}(a + l)

其中 $l$ 是有限等差数列的末项。

📐 例题

一个等差数列的第3项为10，第7项为22。求首项、公差，以及前10项的和。

1
根据通项公式列方程：
2
$u_3 = a + 2d = 10 \\ u_7 = a + 6d = 22$
3
用第二个方程减去第一个方程消去 $a$ ：
4
$4d = 12 \implies d = 3$
5
代入 $d = 3$ 求 $a$ ：
6
$a + 2(3) = 10 \implies a = 4$
7
计算前10项的和：
8
$S_{10} = \frac{10}{2}[2(4) + 9(3)] = 5(8 + 27) = 175$

2. 等比数列与无穷和★★★☆☆⏱ 7 min

📘 定义

等比数列（GP）

$a$ = 首项, $r$ = 公比

每一项与前一项的比值为常数的数列，这个常数称为公比 $r$

例:

$2, 6, 18, 54...$ 满足 $a = 2$ , $r = 3$

三项判别法： 三个数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等比数列，当且仅当 $b^{2} = a c$ （中间项是两侧相邻项的几何平均数）。一道题目可能涉及不止一个数列，需仔细辨别每个数列。

对任意等比数列，第n项的公式为 $u_{n} = a r^{n - 1}$ 。前n项和的公式为：

S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}, \quad r \neq 1

📐 例题

一个等比数列的首项为8，无穷和为32。求公比和第5项。

1
用无穷和公式求解 $r$ ：
2
$S_\infty = \frac{a}{1-r} \implies 32 = \frac{8}{1-r}$
3
整理并求解：
4
$32(1-r) = 8 \implies 1-r = \frac{1}{4} \implies r = \frac{3}{4}$
5
用通项公式计算第5项：
6
$u_5 = ar^4 = 8 \times \left(\frac{3}{4}\right)^4 = 8 \times \frac{81}{256} = \frac{81}{32}$

3. 正整数n的二项式展开★★★☆☆⏱ 8 min

📘 定义

二项式定理

$(r n)$ = 二项式系数, $n!$ = n的阶乘

对任意正整数 $n$ ， $(a + b)^{n}$ 的展开式是一个有限级数，各项系数由二项式系数给出

例:

$(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$

完整展开式可写为：

(a + b)^n = \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} a^{n-r} b^r

其中二项式系数的计算公式为：

\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+1)}{r!}

📐 例题

求 $(2 x - \frac{1}{x})^{4}$ 按x降幂排列的前三项。

1
确定 $a = 2 x$ ， $b = - \frac{1}{x}$ ， $n = 4$ 。前三项对应 $k = 0$ 、 $k = 1$ 、 $k = 2$ ：
2
当 $k = 0$ 时：
3
$\binom{4}{0}(2x)^4 \left(-\frac{1}{x}\right)^0 = 1 \times 16x^4 \times 1 = 16x^4$
4
当 $k = 1$ 时：
5
$\binom{4}{1}(2x)^3 \left(-\frac{1}{x}\right)^1 = 4 \times 8x^3 \times \left(-\frac{1}{x}\right) = -32x^2$
6
当 $k = 2$ 时：
7
$\binom{4}{2}(2x)^2 \left(-\frac{1}{x}\right)^2 = 6 \times 4x^2 \times \frac{1}{x^2} = 24$
8
前三项为 $16 x^{4} - 32 x^{2} + 24$ 。

📐 例题

在 $(1 - \frac{x}{3})^{n}$ （其中 $n$ 为正整数）的展开式中， $x^{2}$ 的系数为 4。求 $n$ 的值。

1
$x^{2}$ 项为 $(2 n) (1)^{n - 2} (- \frac{x}{3})^{2}$ ，因此其系数为：
2
$\binom{n}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \binom{n}{2} \times \frac{1}{9}$
3
将 $(2 n) = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ 代入， $x^{2}$ 的系数变为：
4
$\frac{n(n-1)}{2} \times \frac{1}{9} = \frac{n(n-1)}{18}$
5
令其等于 4，求解 $n$ ：
6
$\frac{n(n-1)}{18} = 4 \implies n(n-1) = 72 \implies n^2 - n - 72 = 0$
7
因式分解并取正整数根（ $n$ 必须为正整数）：
8
$(n-9)(n+8) = 0 \implies n = 9$

4. 常见陷阱

错误做法:

在等差数列/等比数列的通项公式中，使用n而非 $(n - 1)$ 作为偏移量

原因:

首项对应 $n = 1$ ，因此偏移量是 $(n - 1)$ ，不是 $n$ 。

正确做法:

等差数列始终写为 $u_{n} = a + (n - 1) d$ ，等比数列始终写为 $u_{n} = a r^{n - 1}$ ，可以代入 $n = 1$ 验证正确性。

错误做法:

在 $∣ r ∣ \geq 1$ 时计算无穷和

原因:

学生经常忘记只有当 $∣ r ∣ < 1$ 时级数才收敛，混淆了有限和与无穷和。

正确做法:

始终先检验 $∣ r ∣$ 的值：如果 $∣ r ∣ \geq 1$ ，需说明无穷和不存在。

错误做法:

展开 $(a - b)^{n}$ 时遗漏负号

原因:

当二项式的第二项为负数时，展开式的项会正负交替，负号经常被遗漏。

正确做法:

始终将b的完整负值代入展开式，逐一检查每一项的符号。

错误做法:

误认为有限等比数列求和公式 $\frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$ 仅适用于 $r < 1$

原因:

该公式对所有 $r \neq = 1$ 都成立，只有无穷和要求 $∣ r ∣ < 1$ 。

正确做法:

对任意 $r \neq = 1$ 都可以使用同一个公式，如果想避免负数，可以整理为 $\frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$ 。

5. 速查表

数列类型	通项公式	求和公式	核心条件
等差数列	$a + (n - 1) d$	$\frac{n}{2} (a + l)$	无
有限等比数列	$a r^{n - 1}$	$\frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r} (r \neq = 1)$	无
无穷等比数列		$\frac{a}{1 - r}$	$∣ r ∣ < 1$ （收敛）
二项式展开（n ∈ ℕ⁺）	$(r n) a^{n - r} b^{r}$	$\sum_{r = 0}^{n} (r n) a^{n - r} b^{r}$	$(r n) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$

深入阅读

syllabusCIE 9709 纯数学1 大纲

下一步

数列是试卷1中频繁出现的核心考点，经常和坐标几何、对数、函数等其他考点结合。掌握二项式展开是后续纯数学3中负指数和分数指数二项式展开的基础，等比级数的收敛性则为A2阶段的麦克劳林无穷级数打下基础。你可以通过针对性练习加深对二项式展开的理解，然后进入下一个核心考点：求导（微分）。

→求导（微分）
→积分