代数

CIE A-Level 数学· 纯 2：2.1 代数；纯 3：3.1 代数· 5 分钟阅读

1. 模函数★★☆☆☆P2 & P3 专属⏱ 15 min

📘 定义

模（绝对值）

|x|

模 $∣ x ∣$ 表示 $x$ 的大小：当 $x \geq 0$ 时 $∣ x ∣ = x$ ，当 $x < 0$ 时 $∣ x ∣ = - x$ 。它恒为非负，表示数轴上 $x$ 到 $0$ 的距离。

例:

$∣5∣ = 5$ ， $∣ - 5∣ = 5$ ，而 $∣ x - 3∣$ 表示 $x$ 与 $3$ 之间的距离

$y = ∣ a x + b ∣$ 的图像是一个 V 形。先画直线 $y = a x + b$ ，再把落在 $x$ 轴下方的部分向上翻折到 $x$ 轴上方。拐点（顶点）落在 $x$ 轴上使 $a x + b = 0$ 之处，即 $x = - \frac{b}{a}$ ，两条臂的斜率分别为 $a$ 和 $- a$ 。

📘 定义

模的关键关系

|a| = |b| \iff a^2 = b^2

两个常用等价关系： $∣ a ∣ = ∣ b ∣ ⟺ a^{2} = b^{2}$ （对所有 $a$ 、 $b$ 都成立），据此可通过平方去掉模号；以及当 $b > 0$ 时， $∣ x - a ∣ < b ⟺ a - b < x < a + b$ ，据此把含模不等式化为双边不等式。

例:

$∣ x - 4∣ < 3 ⟺ 1 < x < 7$

📐 例题

解方程 $∣3 x - 2∣ = ∣2 x + 7∣$ 。

1
两边都是模，故两边平方去模（利用 $∣ a ∣ = ∣ b ∣ ⟺ a^{2} = b^{2}$ ）：
2
$(3x - 2)^2 = (2x + 7)^2$
3
两边分别展开：
4
$9x^2 - 12x + 4 = 4x^2 + 28x + 49$
5
移项并化简：
6
$5x^2 - 40x - 45 = 0 \implies x^2 - 8x - 9 = 0$
7
因式分解并求解：
8
$(x - 9)(x + 1) = 0 \implies x = 9 \ \text{或} \ x = -1$

📐 例题

解不等式 $∣2 x - 1∣ < 5$ 。

1
单个模小于一个正数，可化为双边不等式 $- 5 < 2 x - 1 < 5$ ：
2
$-5 < 2x - 1 < 5$
3
三边同时加 $1$ ，再除以 $2$ ：
4
$-4 < 2x < 6 \implies -2 < x < 3$

Exam tip:

两边都带模时，两边平方去模；只有一边带模时，可在两边都非负的前提下平方，或分 $\pm$ 两种情况讨论。

2. 多项式除法★★★☆☆P2 & P3 专属⏱ 15 min

📘 定义

除法恒等式

P(x) = D(x)\,Q(x) + R(x)

用除式 $D (x)$ 去除多项式 $P (x)$ （次数不超过 4），得到商式 $Q (x)$ 与余式 $R (x)$ ，且 $de g R < de g D$ 。若 $R (x) = 0$ ，则 $D (x)$ 是 $P (x)$ 的因式。除以一次式时余式为常数；除以二次式时余式形如 $p x + q$ 。

例:

$x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3) + 0$ ，所以 $(x - 2)$ 是因式

可以用长除法（每次落下一项），也可以用待定系数法（写成 $P (x) = D (x) Q (x) + R (x)$ ，其中 $Q$ 、 $R$ 的系数待定，再按 $x$ 的幂次比较系数）。两种方法给出相同的商式与余式。

📐 例题

用 $(x - 2)$ 去除 $2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5$ ，写出商式与余式。

1
首项相除： $2 x^{3} \div x = 2 x^{2}$ 。乘回并相减：
2
$2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 - 2x^2(x - 2) = x^2 + 4x - 5$
3
重复： $x^{2} \div x = x$ 。减去 $x (x - 2) = x^{2} - 2 x$ ：
4
$x^2 + 4x - 5 - (x^2 - 2x) = 6x - 5$
5
重复： $6 x \div x = 6$ 。减去 $6 (x - 2) = 6 x - 12$ ：
6
$6x - 5 - (6x - 12) = 7$
7
余式 $7$ 的次数为 $0$ ，低于 $(x - 2)$ ，停止：
8
$2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 = (x - 2)(2x^2 + x + 6) + 7$

📐 例题

用二次式 $(x^{2} + 1)$ 去除 $x^{3} + 2 x^{2} - x + 5$ 。

1
首项： $x^{3} \div x^{2} = x$ 。减去 $x (x^{2} + 1) = x^{3} + x$ ：
2
$x^3 + 2x^2 - x + 5 - (x^3 + x) = 2x^2 - 2x + 5$
3
接着： $2 x^{2} \div x^{2} = 2$ 。减去 $2 (x^{2} + 1) = 2 x^{2} + 2$ ：
4
$2x^2 - 2x + 5 - (2x^2 + 2) = -2x + 3$
5
余式 $- 2 x + 3$ 的次数 $1 < 2$ ，所以：
6
$x^3 + 2x^2 - x + 5 = (x^2 + 1)(x + 2) + (-2x + 3)$

Exam tip:

列竖式时给每一个 $x$ 的幂次都留位——缺项就写 $0 x^{2}$ ，让各列对齐。

3. 因式定理与余式定理★★★☆☆P2 & P3 专属⏱ 15 min

📘 定义

余式定理

P(x) \div (x - a) \ \text{的余式为} \ P(a)

多项式 $P (x)$ 除以 $(x - a)$ 时，余式为 $P (a)$ 。更一般地，除以 $(a x - b)$ 时余式为 $P (\frac{b}{a})$ 。

例:

$P (x) = x^{2} + 3 x + 1$ 除以 $(x - 2)$ 的余式为 $P (2) = 11$

📘 定义

因式定理

(x - a) \ \text{是因式} \iff P(a) = 0

$(x - a)$ 是 $P (x)$ 的因式，当且仅当 $P (a) = 0$ （即余式为 $0$ 的余式定理特例）。对于因式 $(a x - b)$ ，检验 $P (\frac{b}{a}) = 0$ 。

例:

$(x - 3)$ 是 $x^{2} - x - 6$ 的因式，因为 $P (3) = 0$

📐 例题

当 $P (x) = x^{3} + 2 x^{2} + a x + 5$ 除以 $(x - 1)$ 时余式为 $3$ ，求 $a$ 。

1
由余式定理，余式为 $P (1)$ ，故令 $P (1) = 3$ ：
2
$1 + 2 + a + 5 = 3$
3
解出 $a$ ：
4
$8 + a = 3 \implies a = -5$

📐 例题

将 $P (x) = x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$ 完全分解因式。

1
试常数项 $3$ 的因数。试 $x = 1$ ：
2
$P(1) = 1 - 3 - 1 + 3 = 0$
3
故 $(x - 1)$ 是因式。作除法求二次因式：
4
$x^3 - 3x^2 - x + 3 = (x - 1)(x^2 - 2x - 3)$
5
分解二次式 $x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1)$ ：
6
$P(x) = (x - 1)(x - 3)(x + 1)$

Exam tip:

分解三次式时，先试小整数（ $x = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$ ，取自常数项的因数）找到一个根，再除去该因式并分解剩下的二次式。

4. 真有理函数与假有理函数★★☆☆☆P3 专属⏱ 10 min

📘 定义

有理函数

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

两个多项式 $P (x)$ （分子）和非零多项式 $Q (x)$ （分母）的比值，根据两个多项式的次数分类。

例:

$\frac{3 x ^{2} + 2 x + 1}{x ^{2} - 4}$ 是假分式； $\frac{2 x + 5}{x ^{2} - 4}$ 是真分式

任何假有理函数都必须先化简为一个多项式加上一个真有理函数，才能进行部分分式分解或展开。可以通过多项式长除法或待定系数法完成化简。

📐 例题

将 $\frac{3 x ^{2} + 2 x - 2}{x ^{2} + x - 2}$ 化简为一个多项式加上一个真有理函数。

1
比较首项： $\frac{3 x ^{2}}{x ^{2}} = 3$ 。将分母乘以3：
2
$3(x^2 + x - 2) = 3x^2 + 3x - 6$
3
将该乘积从原分子中减去：
4
$(3x^2 + 2x - 2) - (3x^2 + 3x - 6) = -x + 4$
5
重写原函数：
6
$\frac{3x^2 + 2x - 2}{x^2 + x - 2} = 3 + \frac{-x + 4}{x^2 + x - 2}$

在 P3 部分分式大纲中，唯一的假分式情形是 $de g (P) = de g (Q)$ （次数相等）：此时除法给出一个常数加上一个真分式。分子次数严格更高、即 $de g (P) > de g (Q)$ 的情形不会出现在这类题目中。

5. 部分分式分解★★★☆☆P3 专属⏱ 20 min

部分分式分解将真有理函数拆分为多个简单分式之和，是积分和级数展开的必要步骤。分解的形式完全由分母的因式类型决定：

不同一次因式 $(a x + b)$ ：项为 $\frac{A}{a x + b}$
重一次因式 $(a x + b)^{2}$ ：项为 $\frac{A}{a x + b} + \frac{B}{( a x + b ) ^{2}}$
不可约二次因式 $(c x^{2} + d)$ ：项为 $\frac{A x + B}{c x ^{2} + d}$

📐 例题

将 $\frac{- x + 4}{x ^{2} + x - 2}$ 分解为部分分式。

1
对分母因式分解：
2
$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$
3
设两个不同一次因式的部分分式形式：
4
$\frac{-x + 4}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 1}$
5
两边同乘 $(x + 2) (x - 1)$ 消去分母：
6
$-x + 4 = A(x - 1) + B(x + 2)$
7
代入分母的根求常数： $x = 1$ 得 $3 = 3 B ⟹ B = 1$ ； $x = - 2$ 得 $6 = - 3 A ⟹ A = - 2$
8
写出最终分解结果：
9
$\frac{-2}{x + 2} + \frac{1}{x - 1}$

Exam tip:

始终通过将部分分式合并回单个分式，验证结果是否与原函数一致。

6. 负次幂和分数次幂的二项式展开★★★★☆P3 专属⏱ 20 min

📘 定义

广义二项式展开

(1 + y)^n

对于有理数 $n$ 且 $∣ y ∣ < 1$ ，无穷二项式展开为： $1 + n y + \frac{n ( n - 1 )}{2 !} y^{2} + \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{3 !} y^{3} + ...$

例:

当 $n$ 为正整数时级数有限项后终止；当 $n$ 为其他有理数时级数无穷，且需 $∣ y ∣ < 1$

要展开 $(a + b x)^{n}$ （ $a > 0$ ）形式的表达式，先提出 $a^{n}$ 得到标准 $(1 + y)^{n}$ 形式，再应用广义展开。始终要写出展开的有效范围。

📐 例题

求 $\frac{1}{1 + 2 x}$ 展开的前三个非零项，并写出其有效范围。

1
将函数重写为标准形式： $(1 + 2 x)^{- 1}$ ，因此 $n = - 1$ ， $y = 2 x$
2
代入广义展开，保留到 $x^{2}$ 项：
3
$(1 + y)^n = 1 + ny + \frac{n(n-1)}{2!}y^2 + ...$
4
$(1 + 2x)^{-1} = 1 + (-1)(2x) + \frac{(-1)(-2)}{2}(2x)^2 + ... = 1 - 2x + 4x^2 - ...$
5
根据 $∣ y ∣ < 1$ 计算有效范围：
6
$|2x| < 1 \implies |x| < \frac{1}{2}$

7. 常见陷阱

错误做法:

对假有理函数做部分分式前跳过多项式除法

原因:

部分分式法则仅适用于真分式，会导致分解结果错误

正确做法:

首先比较分子和分母的次数；若 $de g (P) \geq de g (Q)$ 则先做除法

错误做法:

对重一次因式只包含最高次项

原因:

遗漏低次项会改变整体表达式，导致常数求解错误

正确做法:

对于 $(a x + b)^{k}$ ，需要包含从 $\frac{A _{1}}{a x + b}$ 到 $\frac{A _{k}}{( a x + b ) ^{k}}$ 的所有项

错误做法:

展开 $(a + b x)^{n}$ 时忘记提出首项常数

原因:

标准展开仅对 $(1 + y)^{n}$ 形式有效，因此所有系数都会出错

正确做法:

展开前先提出 $a^{n}$ ，得到 $a^{n} (1 + \frac{b x}{a})^{n}$

错误做法:

遗漏或错误书写二项式展开的有效范围

原因:

阅卷人通常会为正确的有效范围给出至少一分，这对所有非正整数 $n$ 都是必须的

正确做法:

始终将 $∣ y ∣ < 1$ 整理为关于 $x$ 的条件并清晰写出

8. 速查表

概念	法则
真有理函数	$de g (P) < de g (Q)$
假有理函数	$de g (P) \geq de g (Q)$ ; 先做除法
不同一次因式 $(a x + b)$	项: $\frac{A}{a x + b}$
重一次因式 $(a x + b)^{2}$	项: $\frac{A}{a x + b} + \frac{B}{( a x + b ) ^{2}}$
不可约二次因式 $(c x^{2} + d)$	项: $\frac{A x + B}{c x ^{2} + d}$
二项式展开 $(1 + y)^{n}$	$1 + n y + \frac{n ( n - 1 )}{2 !} y^{2} + ...$
展开有效性	$∣ y ∣ < 1$ （ $n$ 为有理数且不是正整数）

深入阅读

syllabusCIE 9709 A-Level 数学大纲

下一步

本模块为CIE A-Level纯数学3的多个核心主题奠定了基础。部分分式分解是有理函数积分、求解可分离或线性形式微分方程的必要预处理步骤。负次幂和分数次幂有理函数的二项式展开用于函数近似、求级数展开和处理无穷数列。掌握这些代数变形技巧是在多考点综合大题中获得满分的关键，这类大题在P3考试中很常见。在这些技能的基础上，你可以更自信地应对更高级的概念。