对数与指数函数

CIE A-Level 数学· 纯数学2 和 3（§2.2 / §3.2）：对数与指数函数· 15 分钟阅读

1. 核心定义与互逆关系★☆☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

对数

$lo g_{a} b = x ⟺ a^{x} = b$

对于 $a > 0, a \neq = 1, b > 0$ ，以 $a$ 为底 $b$ 的对数是 $a$ 需要被提升到的幂次，以得到 $b$ 。

例:

$2^{3} = 8 ⟹ lo g_{2} 8 = 3$

📘 定义

自然对数

$ln x = lo g_{e} x$

底数为指数常数 $e \approx 2.71828$ 的对数。指数函数与自然对数互为逆函数，因此对于 $x > 0$ ，有 $e^{l n x} = x$ 且 $ln (e^{x}) = x$ 。

例:

$ln e^{5} = 5$

📐 例题

将 $e^{2 x} = 7$ 转换为对数形式，将 $lo g_{3} (4 y - 2) = 2$ 转换为指数形式。

1
对于第一个方程，底数为 $e$ ，根据自然对数的定义：
2
$\ln 7 = 2x$
3
对于第二个方程，底数为 $3$ ，右侧是幂次，因此根据定义：
4
$3^2 = 4y - 2 \implies 9 = 4y - 2$

Exam tip:

永远记住定义域要求：任何对数的真数必须始终为正。

2. 对数运算法则★★☆☆☆⏱ 8 min

所有对数都遵循由指数法则直接推导而来的代数运算法则，这些法则可以让你化简复杂表达式，将多个对数项合并为一个。

乘积法则: $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$
商数法则: $lo g_{a} (\frac{x}{y}) = lo g_{a} x - lo g_{a} y$
幂法则: $lo g_{a} (x^{n}) = n lo g_{a} x$
恒等式: $lo g_{a} a = 1$ , $a^{l o g_{a} b} = b$ , $lo g_{a} 1 = 0$

📐 例题

将 $3 ln 2 - \frac{1}{2} ln 36 + ln 3$ 化简为单个对数。

1
先对每一项应用幂法则：
2
$3 \ln 2 = \ln 2^3 = \ln 8, \quad \frac{1}{2} \ln 36 = \ln 36^{1/2} = \ln 6$
3
代回原式：
4
$ln 8 - ln 6 + ln 3$
5
用乘积和商数法则合并项：
6
$\ln \left(\frac{8 \times 3}{6}\right) = \ln 4 = 2 \ln 2$

3. 指数函数与对数函数的图像★★☆☆☆⏱ 7 min

由于指数函数和对数函数互为逆函数，它们的图像关于直线 $y = x$ 对称。图像形状取决于底数大于1还是介于0和1之间。

函数	定义域	值域	渐近线	关键点
$y = a^{x}, a > 1$	$x \in R$	$y > 0$	$y = 0$	$(0, 1)$
$y = a^{x}, 0 < a < 1$	$x \in R$	$y > 0$	$y = 0$	$(0, 1)$
$y = lo g_{a} x, a > 1$	$x > 0$	$y \in R$	$x = 0$	$(1, 0)$
$y = lo g_{a} x, 0 < a < 1$	$x > 0$	$y \in R$	$x = 0$	$(1, 0)$

📐 例题

绘制 $y = 3 e^{- x} + 2$ 的图像，标出渐近线和y轴截距。

1
这是 $y = e^{x}$ 的变换：沿y轴翻折，垂直方向拉伸为原来的3倍，向上平移2个单位。
2
$y = e^{- x}$ 原来的渐近线是 $y = 0$ ，因此向上平移2个单位后得到新的渐近线：
3
$y = 2$
4
当 $x = 0$ 时求y轴截距：
5
$y = 3e^{0} + 2 = 3(1) + 2 = 5$
6
y轴截距在 $(0, 5)$ ，该函数对所有 $x$ 单调递减，且对所有 $x$ 都有 $y > 2$ 。

4. 求解含指数和对数的方程★★★☆☆⏱ 10 min

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$3^{2 l o g_{3} 4}$ 的值是多少？
- 6
- 8
- 16
- 12
显示答案
16 —
使用幂法则和互逆恒等式: $3^{l o g_{3} 4^{2}} = 4^{2} = 16$

📐 例题

求解 $e^{2 x} - 4 e^{x} - 5 = 0$ 。

1
这是关于 $e^{x}$ 的二次方程。令 $y = e^{x}$ ，代入得：
2
$y^2 - 4y - 5 = 0$
3
对二次方程因式分解：
4
$(y - 5)(y + 1) = 0 \implies y = 5 \text{ 或 } y = -1$
5
由于对所有实数 $x$ ， $y = e^{x}$ 始终为正，因此舍去负根 $y = - 1$ 。
6
对两边取自然对数求解 $e^{x} = 5$ ：
7
$x = \ln 5 \approx 1.61 \quad (3 \text{ 位有效数字})$

📐 例题

求解 $2 lo g_{3} x = lo g_{3} (x + 12)$ 。

1
对左侧应用幂法则：
2
$lo g_{3} x^{2} = lo g_{3} (x + 12)$
3
由于对数是一一对应的，相等的对数意味着真数相等：
4
$x^2 = x + 12 \implies x^2 - x - 12 = 0$
5
因式分解并求解: $(x - 4) (x + 3) = 0 ⟹ x = 4$ 或 $x = - 3$
6
检验定义域： $lo g_{3} x$ 要求 $x > 0$ ，因此 $x = - 3$ 无效，唯一解为 $x = 4$ 。

📐 例题

求解不等式 $2^{x} > 5$ ，并说明对于 $0. 6^{x} < 0.7$ 方法有何不同。

1
对 $2^{x} > 5$ 两边取自然对数。由于 $ln 2 > 0$ ，除以 $ln 2$ 时不等号方向不变：
2
$x\ln 2 > \ln 5 \implies x > \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2.32$
3
对于 $0. 6^{x} < 0.7$ ，取对数得 $x ln 0.6 < ln 0.7$ 。这里底数介于 0 和 1 之间，所以 $ln 0.6 < 0$ ，除以它时不等号翻转：
4
$x > \frac{\ln 0.7}{\ln 0.6}$
5
只要底数位于 $(0, 1)$ ，它的对数就是负数，因此在除以它的那一步记得把不等号反向。

5. 化为线性形式★★★☆☆⏱ 8 min

对于被认为遵循幂律 $y = k x^{n}$ 或指数律 $y = k a^{x}$ 的实验数据，可以通过对两边取对数将其转化为一条直线。一旦化为线性形式，未知常数就可以直接从直线的梯度和纵轴截距读出。

幂律 $y = k x^{n}$ ：取对数得 $ln y = n ln x + ln k$ 。以 $ln y$ 对 $ln x$ 作图（对数-对数图），得到一条梯度为 $n$ 、截距为 $ln k$ 的直线。
指数律 $y = k a^{x}$ ：取对数得 $ln y = (ln a) x + ln k$ 。以 $ln y$ 对 $x$ 作图（对数-线性图），得到一条梯度为 $ln a$ 、截距为 $ln k$ 的直线。
两种情形下截距都是 $ln k$ ，因此 $k = e^{截距}$ 。对于幂律， $n$ 直接由梯度读出；对于指数律，则 $a = e^{梯度}$ 。

📐 例题

一组数据被认为满足 $y = k x^{n}$ 。以 $ln y$ 对 $ln x$ 作图，得到一条梯度为 $2$ 、纵轴截距为 $1.5$ 的直线。求 $n$ 和 $k$ ，并写出 $y$ 与 $x$ 的关系。

1
对 $y = k x^{n}$ 取对数，得到线性形式：
2
$\ln y = n\ln x + \ln k$
3
与 $ln y = (梯度) ln x + (截距)$ 比较，梯度等于 $n$ ：
4
$n = 2$
5
截距等于 $ln k$ ，因此：
6
$\ln k = 1.5 \implies k = e^{1.5} \approx 4.48$
7
所以 $y \approx 4.48 x^{2}$ （3 位有效数字）。

Exam tip:

先看坐标轴标签： $ln y$ 对 $ln x$ 表示幂律 $y = k x^{n}$ ，而 $ln y$ 对 $x$ 表示指数律 $y = k a^{x}$ 。纵轴截距始终是 $ln k$ 。

6. 常见陷阱

错误做法:

解对数方程后忘记检验解

原因:

对数仅对正真数有定义，因此代数解可能无效

正确做法:

始终将每个解代回原方程，确认所有真数都是正数

错误做法:

将 $lo g_{a} (x + y)$ 展开为 $lo g_{a} x + lo g_{a} y$

原因:

乘积法则仅适用于对数内部的乘积，不适用于和

正确做法:

对数内部的和不能拆分为多个独立对数，只有乘积可以拆分

错误做法:

将 $n lo g x$ 写为 $lo g (n x)$ 而非 $lo g x^{n}$

原因:

记错了对数的幂法则

正确做法:

对数的系数成为真数的指数，而非乘数

错误做法:

求解关于 $e^{x}$ 的二次方程时保留负根

原因:

$e^{x}$ 对所有实数 $x$ 始终为正，因此不可能等于负数

正确做法:

求解 $e^{x}$ 时立即舍去所有负根

错误做法:

混淆指数函数和对数函数的定义域与值域

原因:

混淆了两种函数之间的互逆关系

正确做法:

指数函数：定义域为全体实数 $x$ ，值域为 $y > 0$ ；对数：定义域为 $x > 0$ ，值域为全体实数 $y$

7. 速查表

法则类型	对数法则	指数法则
核心关系	$a^{x} = b ⟺ x = lo g_{a} b$	$e^{l n x} = x, x > 0$
乘积	$lo g (x y) = lo g x + lo g y$	$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$
商数	$lo g (x / y) = lo g x - lo g y$	$a^{m} / a^{n} = a^{m - n}$
幂	$lo g x^{n} = n lo g x$	$(a^{m})^{n} = a^{mn}$
定义域/值域	$y = lo g_{a} x : x > 0, y \in R$	$y = a^{x} : x \in R, y > 0$

8. 常见问题

为什么解对数方程后需要检验解？

对数仅对正真数有定义。任何使真数非正的解都是无效的，必须舍去，即使它在对数变形后满足代数方程。

下一步

对数和指数是CIE 纯数学2 和 3 几乎所有剩余主题的基础。接下来你将学习如何对这些函数求导和积分，这项技能在 P2 和 P3 考试中都占很大比重。你还会用这些工具求解微分方程（微分方程是P3大纲的核心组成部分，仅出现在P3中）。掌握本子主题的代数法则会让你后续所有涉及指数和对数的学习轻松很多。