单元总览

方程、不等式与图像

CIE IGCSE 附加数学· 5 分钟阅读 📊 占试卷1与试卷2总分的12-15%

1. 单元概览

你将从绝对值函数开始学习，通过分情况讨论和绝对值曲线的图像解读两种方式求解方程与不等式，避免常见的符号错误。

接下来你将掌握换元技巧，将复杂的非线性方程简化为标准二次形式，之后学习三次函数图像绘制，并通过追踪根处的符号变化，利用绘制的图像高效求解三次不等式。

请按顺序学习以下子主题，逐步构建相关技能：

学习使用代数与图像方法求解含绝对值函数的方程与不等式。

★★⏱ 10 min

掌握换元技巧，将非线性方程转化为标准 $a x^{2} + b x + c = 0$ 形式，以便直接求解。

★★★⏱ 12 min

练习从因式分解形式绘制三次函数图像，并利用图像求解单变量三次不等式。

★★★⏱ 15 min

错误做法:

求解绝对值方程与不等式时忽略负号情况

原因:

绝对值函数的输出恒为非负，因此正负输入值都可能得到相同结果，如果只考虑一种情况会漏解。

正确做法:

始终将绝对值表达式拆分为两种情况（表达式≥0和表达式<0），或通过快速绘制草图验证解。

错误做法:

求解换元后的二次方程后忘记代回原变量

原因:

换元操作将复杂项替换为占位变量，如果不反向代回，得到的原变量解会出错。

正确做法:

求解出替换变量（例如 $u = x^{2}$ ）后，代回原式求解原变量，并排除增根。

错误做法:

不绘制图像直接求解三次不等式时混淆不等号方向

原因:

三次函数在不同根之间符号交替变化，不追踪符号直接代数求解会得到错误的不等式区间。

正确做法:

始终绘制三次函数图像，或基于根制作符号表，确认满足不等式的区间。

概念	核心规则/公式	相关子主题
绝对值方程 $∣ f (x) ∣ = k$	若 $k \geq 0$ ： $f (x) = k$ 或 $f (x) = - k$ ；若 $k < 0$ 则无解	绝对值方程与不等式
绝对值不等式 $∣ f (x) ∣ < k$	若 $k \geq 0$ ： $- k < f (x) < k$	绝对值方程与不等式
二次换元	将重复出现的复杂项（例如 $x^{4}$ 、 $1/ x$ ）替换为 $u$ ，构造出 $a u^{2} + b u + c = 0$ 形式	换元构造二次方程
三次函数根的重数	单根：图像穿过x轴；二重根：图像与x轴相切	绘制三次函数图像与三次不等式
三次不等式的解	利用首项系数符号和根的位置，从图像中识别符合要求的区间	绘制三次函数图像与三次不等式

请从第一个子主题绝对值方程与不等式开始学习，为本单元后续内容打下基础。当你掌握这里的全部三个子主题后，就可以进入下一个单元解析几何的学习，该单元会大量用到你在本单元培养的图像解读技能。