单元总览

二次函数

CIE IGCSE 附加数学· 5 分钟阅读 📊 该高频考点在试卷1和试卷2中均有出现

1. 单元概览

本单元遵循逻辑顺序，将代数运算与二次函数的图像解读关联起来，这是贯穿后续所有教学大纲内容的核心通用技能。你将首先掌握配方法这一基础技巧，它能让你快速求出任意二次函数的最大或最小输出值，以及给定定义域下的完整值域。

之后你将学习判别式法则，无需完整求解二次方程即可判断其根的数量与类型，随后结合代数与图像知识求解二次不等式并给出合法的解区间。

请按顺序学习以下子主题，逐步掌握相关内容：

学习将二次表达式改写为配方式，以确定顶点坐标、最大值/最小值，并计算指定定义域下的函数值域。

★★⏱ 10 min

使用判别式对根的类型进行分类，求解涉及根的条件的相关问题，并通过代数与图像方法求解单侧和双侧二次不等式。

★★★⏱ 12 min

错误做法:

在二次不等式两边同时乘以/除以负数时忘记翻转不等号方向

原因:

这会颠倒有效解的方向，导致答案范围错误，在考试中失分

正确做法:

当你在不等式两边乘除负数时务必翻转不等号，也可以通过图像解读验证你的解范围

错误做法:

将判别式错算为 $b^{2} + 4 a c$ 而非 $b^{2} - 4 a c$

原因:

判别式的符号决定根的类型，该符号错误会完全改变你对根的分类结果

正确做法:

牢记判别式公式为 $Δ = b^{2} - 4 a c$ ，在做减法前务必复核 $a c$ 项的符号

错误做法:

默认 $a x^{2} + b x + c$ 的顶点始终为最小值点

原因:

系数 $a$ 的符号决定抛物线开口向上（顶点为最小值点）还是向下（顶点为最大值点）

正确做法:

首先检查 $x^{2}$ 项的系数：正 $a$ 对应最小值顶点，负 $a$ 对应最大值顶点

请从本单元第一个子主题配方法开始学习，你将在该部分学习如何整理二次表达式以快速找到其顶点和值域，这一技能在考试的简答题和大题中均高频考察。当你掌握完本二次函数单元的所有内容后，就可以进入下一个单元多项式因式的学习，该单元内容直接基于你在此处练习的代数运算技能展开。