配方法、最大值/最小值与值域

Q: 我必须使用配方法吗，还是可以用求导法？

在第2单元中，配方法是要求使用的方法——它仅用到本单元覆盖的代数知识。求导法将在第14单元后续介绍；掌握求导后你可以用它快速核验顶点，但所有第2单元的题目都可以通过配方法解答。

Q: 考试中接受哪种值域表示符号？

不等式表示法（例如 ）和区间表示法（例如 ）都会被判为正确，只要它们符合函数的性质。

CIE IGCSE 附加数学· 12 分钟阅读

1. 二次表达式$ax^2 + bx + c$的配方法★★☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

配方法

一种代数技巧，通过将二次项和一次项构造成完全平方式三项式，把二次函数重排为顶点形式。

例:

对于 $2 x^{2} + 8 x + 3$ ，我们先将二次项和一次项改写为 $2 (x^{2} + 4 x) + 3$ ，再对括号内的部分配方： $2 [(x + 2)^{2} - 4] + 3 = 2 (x + 2)^{2} - 5$ 。

📐 例题

将 $3 x^{2} - 12 x + 7$ 改写为 $a (x + h)^{2} + k$ 的形式。

1
从前两项中提取 $x^{2}$ 的系数：
$3(x^2 -4x) +7$
2
对括号内的表达式配方：-4的一半是-2，平方为4，因此加4再减4：
$3[(x-2)^2 -4] +7$
3
展开括号并化简常数项：
$3(x-2)^2 -12 +7 = 3(x-2)^2 -5$
4
最终形式为 $3 (x - 2)^{2} - 5$ 。与 $a (x + h)^{2} + k$ 对比可得 $h = - 2$ 、 $k = - 5$ ，因此顶点坐标为 $(- h, k) = (2, - 5)$ 。

📐 例题

将 $2 x^{2} + 5 x + 3$ 表示为 $a (x + h)^{2} + k$ 的形式，给出 $a$ 、 $h$ 、 $k$ 的精确（有理）数值。

1
从前两项中提取系数2（常数项+3保留在括号外）：
$2\left(x^2 + \frac{5}{2}x\right) + 3$
2
$\frac{5}{2}$ 的一半是 $\frac{5}{4}$ ，平方后得到 $\frac{25}{16}$ ，在括号内加上再减去该值：
$2\left[\left(x + \frac{5}{4}\right)^2 - \frac{25}{16}\right] + 3$
3
将括号外的2乘到 $- \frac{25}{16}$ 上（得到 $- \frac{25}{8}$ ），再与 $+ 3 = \frac{24}{8}$ 合并：
$2\left(x + \frac{5}{4}\right)^2 - \frac{25}{8} + 3 = 2\left(x + \frac{5}{4}\right)^2 - \frac{1}{8}$
4
因此 $a = 2$ ， $h = \frac{5}{4}$ ， $k = - \frac{1}{8}$ ，顶点坐标为 $(- \frac{5}{4}, - \frac{1}{8})$ 。这类题目中出现分数常数是正常情况，请保留精确分数形式，不要舍入为小数。

Exam tip:

请务必将顶点形式展开回标准形式，验证其与原二次式完全一致，尤其在不允许使用计算器的试卷中更要注意这一步。

2. 通过顶点形式求二次函数的最大值/最小值★★☆☆☆⏱ 2 min

📘 定义

二次函数的顶点

抛物线的顶点：若 $a > 0$ ，该点为最小值点；若 $a < 0$ ，该点为最大值点。当函数写为 $a (x + h)^{2} + k$ 形式时，顶点坐标为 $(- h, k)$ 。

$k$ 的值就是函数的最小或最大输出值。当 $a > 0$ 时抛物线开口向上，因此 $k$ 是最小值；当 $a < 0$ 时抛物线开口向下，因此 $k$ 是最大值。（后续第14单元你将学习微分，它提供了另一种定位顶点的方法，但本单元你只需要掌握配方法即可。）

📐 例题

求函数 $f (x) = - 2 x^{2} + 8 x - 3$ 的最大值。

1
进行配方，从前两项中提取系数 $- 2$ ：
$f(x) = -2(x^2 - 4x) - 3$
2
对括号内的表达式配方：
$f(x) = -2\left[(x-2)^2 - 4\right] - 3 = -2(x-2)^2 + 8 - 3 = -2(x-2)^2 + 5$
3
由于 $a = - 2 < 0$ ，抛物线开口向下，因此最大值为 $k = 5$ ，对应 $x = 2$ 。
4
可选验证方法（第14单元将学习的微分）： $f^{'} (x) = - 4 x + 8 = 0$ 解得 $x = 2$ ，代入得 $f (2) = - 2 (4) + 16 - 3 = 5$ ，得到相同的最大值。

3. 确定二次函数的值域★★★☆☆⏱ 3 min

二次函数的值域由其开口方向（ $a$ 的符号）和顶点（ $k$ 值）决定。当 $x$ 取全体实数时，值域为 $f (x) \geq k$ （若 $a > 0$ ）或 $f (x) \leq k$ （若 $a < 0$ ）。如果题目给出受限定义域，你还需要计算定义域端点处的函数输出值，才能得到完整的值域。

📐 例题

求定义域为 $0 \leq x \leq 5$ 时，函数 $f (x) = x^{2} - 6 x + 4$ 的值域。

1
首先通过配方法将函数改写为顶点形式：
$f(x) = (x^2 -6x) +4 = (x-3)^2 -9 +4 = (x-3)^2 -5$
2
$a = 1 > 0$ ，因此顶点 $(3, - 5)$ 是最小值点，且 $x = 3$ 位于给定的定义域内。
3
计算定义域端点 $x = 0$ 和 $x = 5$ 处的 $f (x)$ 值：
$f(0) = 0 -0 +4 =4, f(5)=25 -30 +4 = -1$
4
该定义域内的最大输出值为 $x = 0$ 处的4，最小值为 $x = 3$ 处的-5，因此值域为 $- 5 \leq f (x) \leq 4$ 。

Exam tip:

请务必确认定义域是全体实数 $x$ 还是受限区间，这会完全改变值域。请在题目中标注出定义域限制条件，避免遗漏。

4. 利用顶点形式绘制函数草图★★☆☆☆⏱ 2 min

对于CIE 0606考试中要求你绘制二次函数图像的题目，你只需要标注三个关键要素：顶点（转折点）、y轴截距和所有x轴截距（根），不需要使用超出这些要点的高级曲线绘制技巧。

📐 例题

绘制 $y = 2 x^{2} + 4 x - 1$ 的函数图像，标注所有关键点。

1
改写为顶点形式：
$y = 2(x^2 +2x) -1 = 2(x+1)^2 -2 -1 = 2(x+1)^2 -3$
2
顶点坐标为 $(- 1, - 3)$ ， $a = 2 > 0$ ，因此抛物线开口向上。
3
y轴截距在 $x = 0$ 处： $y = - 1$ ，标注点 $(0, - 1)$ 。
4
y=0时得到x轴截距：解方程 $2 (x + 1)^{2} - 3 = 0 \to (x + 1)^{2} = 3/2 \to x = - 1 \pm \sqrt (1.5)$ ，将这些点标注在x轴上。
5
绘制一条经过所有标注点的开口向上的平滑抛物线。

5. 常见陷阱

错误做法:

配方法时忘记将括号外提取的系数 $a$ 乘到减去的常数项上。

原因:

当你从前两项中提取公因子 $a$ 后，括号内的所有调整项都会被 $a$ 缩放，如果跳过这一步，得到的 $k$ 值就会出错。

正确做法:

在提取公因子的括号内完成配方后，先将外层系数 $a$ 展开到完全平方项和减去的常数项上，再合并同类项。

错误做法:

从 $a (x + h)^{2} + k$ 读取顶点时忘记变号。

原因:

在 $a (x + h)^{2} + k$ 中顶点是 $(- h, k)$ ，因此顶点的 $x$ 坐标是 $- h$ 而不是 $h$ 。将 $(x + 2)^{2}$ 的顶点 $x$ 坐标误读为+2而非-2会直接失分。

正确做法:

写出配方后的形式后，将括号内的数字取反得到顶点的 $x$ 坐标： $(x + 2)^{2} \Rightarrow$ 顶点 $x = - 2$ ； $(x - 2)^{2} \Rightarrow$ 顶点 $x = + 2$ 。

错误做法:

当 $a > 0$ 时将 $k$ 判定为最大值，或当 $a < 0$ 时将 $k$ 判定为最小值。

原因:

抛物线的开口方向决定了顶点是极大值还是极小值，而开口方向由 $a$ 的符号控制。

正确做法:

始终先检查 $a$ 的符号： $a > 0$ = 开口向上 = 顶点处取最小值； $a < 0$ = 开口向下 = 顶点处取最大值。

错误做法:

计算值域时忽略受限定义域，仅使用顶点值。

原因:

如果顶点在给定定义域之外，最大值/最小值将出现在定义域的端点处。

正确做法:

对于受限定义域，计算顶点（如果顶点落在定义域内）和两个端点处的函数值，取最小值和最大值作为值域的边界。

错误做法:

用 $x$ 而非 $f (x)$ 或 $y$ 来表示值域。

原因:

值域指的是输出值而非输入值，使用 $x$ 会导致符号错误。

正确做法:

始终使用输出变量书写值域：例如 $f (x) \geq 3$ 或 $y \leq 7$ ，不要写成 $x \geq 3$ 。

6. 速查表

任务	方法	结果
将 $a x^{2} + b x + c$ 改写为顶点式	从前两项中提取公因子 $a$ 2. 在括号内完成配方 3. 展开并化简	$a (x + h)^{2} + k$
求顶点坐标	直接从配方后的形式读取；求导法（ $f^{'} (x) = 0$ ，第14单元）为可选核验方法	$(- h, k)$
求最大值/最小值	检查 $a$ 的符号： $a > 0$ → $k$ 为最小值， $a < 0$ → $k$ 为最大值	$k$
全体实数 $x$ 下的值域	$a > 0$ : $f (x) \geq k$ ； $a < 0$ : $f (x) \leq k$	不等式或区间表示法
受限定义域下的值域	计算顶点（若在定义域内）和端点处的 $f (x)$ ，取最小值/最大值	有界不等式

7. 常见问题

我必须使用配方法吗，还是可以用求导法？

在第2单元中，配方法是要求使用的方法——它仅用到本单元覆盖的代数知识。求导法将在第14单元后续介绍；掌握求导后你可以用它快速核验顶点，但所有第2单元的题目都可以通过配方法解答。

考试中接受哪种值域表示符号？

不等式表示法（例如 $f (x) \geq 3$ ）和区间表示法（例如 $[3, \infty)$ ）都会被判为正确，只要它们符合函数的性质。

深入阅读

syllabusCIE 0606 2025-2027 教学大纲参考第2.1和2.2节

下一步

在掌握配方法、最大值/最小值和值域相关内容后，你可以将这些技能用于求解二次不等式问题，这类题型在CIE IGCSE附加数学0606试卷中经常和本知识点结合考察。你也可以利用顶点式的知识简化二次方程求解、分析二次函数应用题，例如涉及抛体运动或面积最大化的优化问题。请务必同时练习允许使用计算器和不允许使用计算器的题目，因为本知识点在考试的第1卷和第2卷中均有出现。