模方程与模不等式

CIE IGCSE 附加数学· 4.1, 4.2· 20 分钟阅读

1. 代数法求解绝对值方程★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

绝对值方程

包含绝对值表达式的方程，例如 $∣ a x + b ∣ = k$ 或 $∣ a x^{2} + b x + c ∣ = d$ ，其中右侧为非负常数或变量表达式。若右侧为负常数，则不存在实根。

例:

$∣3 x - 4∣ = 8$ 或 $∣ x^{2} - 5∣ = 4$

求解绝对值方程有两种可行的代数方法：根据绝对值内部表达式的符号分两种情况讨论，或将方程两边同时平方。若使用平方法，你必须将所有解代回原方程检验，剔除增根。

📐 例题

求解 |3x - 4| = 8

1
方法1：分两种情况讨论
$3x - 4 = 8 \text{ (case 1: inner expression non-negative)}$
2
$3x = 12 \\ x = 4$
3
$-(3x - 4) = 8 \text{ (case 2: inner expression negative)}$
4
$-3x + 4 = 8 \\ -3x = 4 \\ x = -\frac{4}{3}$
5
将两个解代回原方程验证：两个解均成立，因此最终解为 $x = 4$ 和 $x = - \frac{4}{3}$

很多时候绝对值项无法单独位于等号一侧。当你遇到形如 $a ∣ x + b ∣ + c = d$ 的方程时，首先要分离绝对值项（将 $∣ x + b ∣$ 单独留在一侧），之后再分情况讨论。切勿在绝对值项还附着其他项的时候直接拆分。

📐 例题

求解 $2∣ x - 3∣ + 1 = 9$

1
绝对值项未被单独分离，因此首先移项：两边同时减1，再除以2。
$2|x - 3| = 8 \\ |x - 3| = 4$
2
现在绝对值项等于一个非负常数，因此可以分两种情况讨论。
$x - 3 = 4 \quad \text{or} \quad x - 3 = -4$
3
$x = 7 \quad \text{or} \quad x = -1$
4
代回原方程检验： $2∣7 - 3∣ + 1 = 2 (4) + 1 = 9$ ，且 $2∣ - 1 - 3∣ + 1 = 2 (4) + 1 = 9$ 。两个解均成立，因此 $x = 7$ 或 $x = - 1$ 。

📐 例题

使用平方法求解 |x + 2| = 3x - 1

1
将方程两边同时平方
$(x + 2)^2 = (3x - 1)^2$
2
$x^2 + 4x + 4 = 9x^2 - 6x + 1 \\ 8x^2 - 10x - 3 = 0$
3
求解该二次方程
$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 96}}{16} = \frac{10 \pm 14}{16}$
4
$x = 1.5 \text{ or } x = -0.25$
5
将解代回原方程检验： $x = 1.5$ 成立， $x = - 0.25$ 代入后左侧=1.75，右侧=-1.75，不成立，因此舍去 $x = - 0.25$ 。最终解为： $x = 1.5$

Exam tip:

请始终标注你所使用的方法，以便阅卷人清晰看到你的解题过程。

2. 绘制绝对值函数图像★★★☆☆⏱ 5 min

函数 $y = ∣ a x + b ∣$ 的图像为V形，在绝对值内部表达式等于零的位置存在一个尖点。由于绝对值的输出始终非负，图像上所有点都位于x轴上或x轴上方。

📘 定义

绝对值图像的尖点

函数 $y = ∣ a x + b ∣$ 的尖锐转折点，坐标为 $(- \frac{b}{a}, 0)$

例:

函数 $y = ∣2 x - 4∣$ 的图像尖点位于 $(2, 0)$

📐 例题

绘制 $y = ∣2 x + 1∣$ 的图像，标注尖点和y轴截距

1
求尖点：令 $2 x + 1 = 0$ ，得 $x = - 0.5$ ，尖点坐标为 $(- 0.5, 0)$
2
求y轴截距：代入 $x = 0$ ，得 $y = ∣1∣ = 1$ ，因此y轴截距为 $(0, 1)$
3
绘制两条直线：当 $x \geq - 0.5$ 时，绘制 $y = 2 x + 1$ ；当 $x < - 0.5$ 时，绘制 $y = - 2 x - 1$ ，构成开口向上的尖锐V形

3. 求解绝对值不等式★★★☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

绝对值不等式可以通过代数分情况讨论求解，也可以通过绘制图像、识别满足不等式的区间来求解。两种方法在考试中均被认可，只要你的解题过程清晰即可。

📐 例题

求解 $∣3 x + 2∣ \leq 7$

1
将绝对值不等式改写为有界的双向不等式
$-7 \leq 3x + 2 \leq 7$
2
$Subtract 2 from all parts: -9 \leq 3x \leq 5$
3
$Divide all parts by 3: -3 \leq x \leq \frac{5}{3}$
4
用图像验证：在 $x = - 3$ 到 $x = \frac{5}{3}$ 区间内， $y = ∣3 x + 2∣$ 位于 $y = 7$ 下方，因此解是正确的。

📐 例题

求解 $∣ x - 3∣ > 2 x + 1$

1
情况1： $x \geq 3$ ，因此 $∣ x - 3∣ = x - 3$
$x - 3 > 2x + 1 \\ x < -4$
2
该区间内无解，因为 $x \geq 3$ 和 $x < - 4$ 不可能同时成立
3
情况2： $x < 3$ ，因此 $∣ x - 3∣ = - (x - 3) = - x + 3$
$-x + 3 > 2x + 1 \\ 2 > 3x \\ x < \frac{2}{3}$
4
该区间满足 $x < 3$ 的前提，因此最终解为 $x < \frac{2}{3}$

Exam tip:

对于等号右侧带有变量的不等式，图像法通常更可靠，可以避免遗漏无效区间。

4. 识别增根★★☆☆☆⏱ 4 min

当你对方程两边同时平方时会出现增根，因为平方会将负值转为正值，消除了绝对值带来的符号约束。如果你没有舍去这些无效解，将会被扣分。

✓ 快速检测

你使用平方法求解 $∣ x + 1∣ = 2 x - 3$ ，得到解 $x = 4$ 和 $x = \frac{2}{3}$ 。哪个解是增根？
显示答案
$x=\frac{2}{3}$ —
将 $x = \frac{2}{3}$ 代回原方程：左侧= $∣ \frac{5}{3} ∣ = \frac{5}{3}$ ，右侧= $2 (\frac{2}{3}) - 3 = - \frac{5}{3}$ 。两个值不相等，因此 $x = \frac{2}{3}$ 是无效解。

5. 二次函数的绝对值★★★☆☆⏱ 6 min

绝对值也可以作用于二次函数。要绘制 $y = ∣ a x^{2} + b x + c ∣$ 的图像，先画出普通抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ ，再将所有位于x轴下方的部分沿x轴向上翻折，最终整个图像都处于x轴上或x轴上方。求解对应的方程或不等式时，需要分别处理绝对值的两个分支。

📘 定义

二次函数的绝对值

函数 $y = ∣ a x^{2} + b x + c ∣$ 的图像是将抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 所有位于x轴下方的部分向上翻折得到的，所有y值均为非负，二次函数的x轴截距（即原二次方程的根）保持不变。

例:

对于 $y = ∣ x^{2} - 5∣$ ，抛物线 $y = x^{2} - 5$ 的最低点为 $(0, - 5)$ ，位于 $x = - 5$ 和 $x = 5$ 之间的部分被向上翻折，在 $x = 0$ 处形成高度为5的中央峰值。

求解 $∣ a x^{2} + b x + c ∣ = d$ （其中 $d \geq 0$ ）时，将其拆分为两个二次方程 $a x^{2} + b x + c = d$ 和 $a x^{2} + b x + c = - d$ ，分别求解后保留所有实根（其中一个分支可能不存在实根）。对于不等式，将 $∣ a x^{2} + b x + c ∣ \leq d$ 改写为双重不等式 $- d \leq a x^{2} + b x + c \leq d$ ，将 $∣ a x^{2} + b x + c ∣ > d$ 改写为 $a x^{2} + b x + c > d$ 或 $a x^{2} + b x + c < - d$ ，再求解得到的二次不等式即可。

📐 例题

求解 $∣ x^{2} - 5∣ = 4$

1
等式右侧为 $4 \geq 0$ ，因此拆分为两种情况。
$x^2 - 5 = 4 \quad \text{or} \quad x^2 - 5 = -4$
2
第一种情况：
$x^2 - 5 = 4 \\ x^2 = 9 \\ x = \pm 3$
3
第二种情况：
$x^2 - 5 = -4 \\ x^2 = 1 \\ x = \pm 1$
4
两种情况均得到实根，因此四个解为 $x = - 3, - 1, 1, 3$ 。从图像上看，这些解对应直线 $y = 4$ 与 $y = ∣ x^{2} - 5∣$ 的交点：两个交点位于外侧臂上，另外两个交点位于向上翻折的中央峰值区域（峰值高度为5）。

Exam tip:

将两种情况各自视为独立的二次方程，若某一情况无实根（出现需要开平方的负数）则直接舍去该情况。

6. 两侧均含绝对值的不等式★★★☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

考试中非常常见的一类题型是比较两个绝对值表达式，例如 $k ∣ a x + b ∣ \leq ∣ c x + d ∣$ （比如 $∣5 x + 4∣ \leq ∣2 x - 3∣$ 或 $2∣ x - 1∣ \leq ∣ x + 4∣$ ）。由于所有绝对值的结果都是非负的，不等式两侧均非负，因此可以对两侧同时平方，且不会改变不等号方向，直接将问题转化为普通的二次不等式。你也可以通过图像法求解：在同一坐标系中画出两个V形绝对值函数的图像，直接读出其中一个图像位于另一个图像下方的区间。

📘 定义

双侧绝对值不等式

形如 $k ∣ a x + b ∣ \leq ∣ c x + d ∣$ （或使用 $\geq$ 符号）的不等式。由于 $k ∣ a x + b ∣ \geq 0$ 且 $∣ c x + d ∣ \geq 0$ ，对两侧同时平方是合法操作，得到 $k^{2} (a x + b)^{2} \leq (c x + d)^{2}$ 。

例:

$2∣ x - 1∣ \leq ∣ x + 4∣$ 平方后得到 $4 (x - 1)^{2} \leq (x + 4)^{2}$ 。

📐 例题

分别使用(a)图像法和(b)代数法求解 $2∣ x - 1∣ \leq ∣ x + 4∣$ 。

1
(a) 图像法：在同一坐标系中绘制两个函数的图像。 $y = 2∣ x - 1∣$ 是顶点在 $(1, 0)$ 、斜率为 $\pm 2$ 的窄V形图； $y = ∣ x + 4∣$ 是顶点在 $(- 4, 0)$ 、斜率为 $\pm 1$ 的宽V形图。
2
令对应区间的直线段相等，求解图像交点。左侧交点（此时 $x < 1$ ，因此 $2∣ x - 1∣ = 2 (1 - x)$ ，且 $x > - 4$ ，因此 $∣ x + 4∣ = x + 4$ ）：
$2(1 - x) = x + 4 \\ 2 - 2x = x + 4 \\ -2 = 3x \\ x = -\frac{2}{3}$
3
右侧交点（此时 $x > 1$ ，因此 $2∣ x - 1∣ = 2 (x - 1)$ ，且 $x > - 4$ ，因此 $∣ x + 4∣ = x + 4$ ）：
$2(x - 1) = x + 4 \\ 2x - 2 = x + 4 \\ x = 6$
4
从草图可以看出，窄V形图 $y = 2∣ x - 1∣$ 在两个交点之间的区域位于宽V形图 $y = ∣ x + 4∣$ 的下方或重合，因此解为 $- \frac{2}{3} \leq x \leq 6$ 。
5
(b) 代数法：两侧均非负，因此对两侧同时平方。
$(2|x - 1|)^2 \leq |x + 4|^2 \\ 4(x - 1)^2 \leq (x + 4)^2$
6
$4(x^2 - 2x + 1) \leq x^2 + 8x + 16 \\ 4x^2 - 8x + 4 \leq x^2 + 8x + 16$
7
将所有项移到同侧得到二次不等式，再进行因式分解。
$3x^2 - 16x - 12 \leq 0 \\ (3x + 2)(x - 6) \leq 0$
8
抛物线 $y = (3 x + 2) (x - 6)$ 开口向上，在两个根 $x = - \frac{2}{3}$ 和 $x = 6$ 之间的区间内函数值 $\leq 0$ ，因此解为 $- \frac{2}{3} \leq x \leq 6$ ，与图像法得到的结果一致。
9
代入区间内的值校验，取 $x = 0$ ：左侧 $= 2∣ - 1 ∣ = 2$ ，右侧 $= ∣4∣ = 4$ ， $2 \leq 4$ 成立。代入区间外的值校验，取 $x = 7$ ：左侧 $= 2∣6∣ = 12$ ，右侧 $= ∣11∣ = 11$ ， $12 \leq 11$ 不成立。最终确认解为 $- \frac{2}{3} \leq x \leq 6$ 。

📐 例题

分别使用(a)双情况法和(b)平方法求解 $∣2 x - 1∣ = ∣ x + 4∣$ 。

1
(a) 双情况法：当两侧均为绝对值时，去掉绝对值符号，先令左侧内部表达式等于右侧内部表达式，再令左侧内部表达式等于右侧内部表达式的相反数。
$2x - 1 = x + 4 \quad \text{or} \quad 2x - 1 = -(x + 4)$
2
求解第一个方程。
$2x - 1 = x + 4 \\ x = 5$
3
求解第二个方程。
$2x - 1 = -x - 4 \\ 3x = -3 \\ x = -1$
4
(b) 平方法：两侧均非负，因此该方法安全且无需校验增根： $(2 x - 1)^{2} = (x + 4)^{2}$ 。
$4x^2 - 4x + 1 = x^2 + 8x + 16 \\ 3x^2 - 12x - 15 = 0 \\ x^2 - 4x - 5 = 0 \\ (x - 5)(x + 1) = 0$
5
两种方法得到的结果一致，解为 $x = 5$ 和 $x = - 1$ 。校验 $x = 5$ ： $∣2 (5) - 1∣ = 9 = ∣5 + 4∣$ 。校验 $x = - 1$ ： $∣2 (- 1) - 1∣ = 3 = ∣ - 1 + 4∣$ ，两个解均有效。

Exam tip:

当不等式两侧均为绝对值（或绝对值的正倍数）时，由于两侧均非负，直接平方是安全的，不会引入增根，也不需要像单侧含绝对值那样进行符号校验。

7. 常见陷阱

错误做法:

假设当 $c < 0$ 时 $∣ a x + b ∣ = c$ 仍然有解

原因:

模函数的输出始终为非负值，因此如果右侧常数为负，方程不存在实数解。

正确做法:

首先检查右侧常数是否非负；如果为负，直接说明不存在实数解。

错误做法:

对模方程两边平方后不检验解

原因:

平方操作移除了模的符号约束，因此可能产生不满足原方程的解。

正确做法:

将平方后得到的所有解代回原方程，剔除所有不成立的解。

错误做法:

将模函数图像的最小值处画为平滑曲线，而非尖锐尖点

原因:

模函数图像在内部表达式取值为0的位置方向会突然改变，因此此处是尖角而非平滑曲线。

正确做法:

首先标记尖点位置，再绘制两条在尖点处相交的直线，形成V形。

错误做法:

求解模不等式时错误地反转不等号方向

原因:

$∣ a x + b ∣ < c$ 对应一个有界区间，而 $∣ a x + b ∣ > c$ 对应两个独立的无界区间。

正确做法:

对于 $∣ f (x) ∣ < c$ ，写出 $- c < f (x) < c$ ；对于 $∣ f (x) ∣ > c$ ，写出 $f (x) < - c$ 或 $f (x) > c$ 。

错误做法:

当模方程的右侧包含x项时，忘记检查右侧是否可能为负

原因:

模的输出始终非负，因此任何使得右侧表达式为负的解都自动无效。

正确做法:

要么使用带符号校验的双情况法求解，要么使用图像识别有效解的区域。

8. 速查表

题型	方法	关键校验
$∣ a x + b ∣ = c$ ( $c \geq 0$ 常数)	拆分为 $a x + b = c$ 和 $a x + b = - c$ 分别求解	当常数 $c \geq 0$ 时无需额外校验
$∣ a x + b ∣ = g (x)$ (右侧含变量)	两边平方后求解二次方程	将所有解代回原方程检验，剔除增根
$∣ a x + b ∣ < c$ ( $c > 0$ 常数)	改写为 $- c < a x + b < c$ 后求解	乘除操作时保持不等号方向不变
$∣ a x + b ∣ > c$ ( $c > 0$ 常数)	改写为 $a x + b < - c$ 或 $a x + b > c$ 后求解	不要合并两个独立的解区间
绘制 $y = ∣ a x + b ∣$ 图像	在 $x = - \frac{b}{a}$ 处标记尖点，绘制两条直线	确保尖点尖锐，最小值处无平滑曲线

9. 常见问题

对模方程两边平方时，我是否每次都需要检验解？

是的！平方操作会移除模的符号约束，因此你必须将每一个解代回原方程以剔除增根，否则会丢失分数。

即使题目没有指定，我也可以用图像法求解模不等式吗？

完全可以，只要你绘制的图像准确、坐标轴标注清晰且尖点正确，在考试中图像法对于求解方程和不等式都是完全有效的方法。

深入阅读

syllabusCIE 0606 2025-2027 官方大纲请参考第4.1和4.2节获取官方主题指导

下一步

在掌握模方程和模不等式之后，你可以将这些技能应用到CIE IGCSE附加数学0606的更复杂主题中，包括求解含模的方程组，以及分析模函数图像与二次或三次函数的交点。这些知识也将用于涉及距离计算的坐标几何问题，以及含绝对值函数的微积分主题。本知识点在第1卷（非计算器）和第2卷（计算器）中都经常考查，因此请同时练习代数法和图像法以尽可能拿到高分。