单元总览

函数

CIE IGCSE 附加数学· 5 分钟阅读 📊 基础主题；在试卷1和试卷2中均频繁出现

1. 单元概览

你将从函数的基础概念入手，学习区分有效函数与关系，计算一次函数、二次函数、有理函数和根式函数的有效输入（定义域）与输出（值域）集合。之后你将进阶学习更复杂的函数运算，包括构造复合函数、计算反函数，以及解读IGCSE考试题目要求的绝对值函数图像。

按顺序学习以下子主题，即可完全掌握本单元内容：

学习定义函数，根据关系规则验证函数，并计算各类标准函数的定义域和值域。

★★⏱ 10 min

熟练掌握复合函数运算、反函数计算，以及针对考试题型绘制和分析绝对值函数图像的方法。

★★★⏱ 12 min

错误做法:

将一对多关系（例如 $x = y^{2}$ ）归类为有效函数

原因:

函数要求每一个输入值都对应唯一的输出值，因此一对多关系不符合函数的定义

正确做法:

对图像使用竖线检验法，或对映射图和代数表达式验证每个输入仅对应一个输出

错误做法:

未限定定义域就为非一一映射的函数计算反函数

原因:

反函数仅存在于一一映射函数中，这类函数的每个输出值都恰好对应一个输入值

正确做法:

在计算反函数前，将非一一映射函数（例如二次函数）的定义域限定在严格单调递增或递减的区间内

错误做法:

将负值纳入标准绝对值函数 $∣ f (x) ∣$ 的值域中

原因:

绝对值运算会将所有负的输出值转换为正值，因此 $∣ f (x) ∣$ 始终为非负数

正确做法:

从 $∣ f (x) ∣$ 的值域中排除所有小于0的值，除非绝对值运算外侧带有负号

概念/公式	子主题参考	考试核心提示
函数定义：每个输入恰好对应一个输出	定义域与值域	使用竖线检验法从图像验证函数有效性
定义域 = 所有有效输入（ $x$ ）值的集合	定义域与值域	排除使分母为零或平方根内参数为负的取值
值域 = 所有有效输出（ $y$ ）值的集合	定义域与值域	快速绘制草图以验证复杂函数的值域计算结果
复合函数: $f g (x) = f (g (x))$	复合与反函数	先计算内层函数 $g$ ，再将结果代入外层函数 $f$
反函数 $f^{- 1} (x)$ 存在条件: $f$ 是一一映射函数	复合与反函数	如有需要，限定非一一映射函数的定义域以求得有效反函数
绝对值规则: $∣ a ∣ = a$ if $a \geq 0$ , $∣ a ∣ = - a$ if $a < 0$	绝对值函数图像	绝对值函数图像将 $f (x)$ 的所有负区间部分沿 $x$ 轴反射到 $x$ 轴上方

从第一个子主题开始学习，构建函数核心基础，涵盖基本定义、定义域和值域。掌握这些基础概念后，继续学习复合函数、反函数和绝对值函数图像等进阶函数运算，完成本单元的学习。完成此处所有子主题后，你将做好进入下一个二次函数单元学习的准备。