绘制函数及其反函数的图像时，是否需要标注直线？

是的，评卷人要求你明确绘制并标注直线，以证明你理解和之间的反射对称关系。

绘制时，我可以删除在x轴下方的部分吗？

不可以。你需要将位于x轴下方（即）的所有线段沿x轴向上反射，保留x轴上方的所有部分不变。定义域内的任何部分都不能被删除。

复合函数、反函数与模函数图像

Q: 绘制函数及其反函数的图像时，是否需要标注 直线？

是的，评卷人要求你明确绘制并标注直线 ，以证明你理解 和 之间的反射对称关系。

Q: 绘制 时，我可以删除 在x轴下方的部分吗？

不可以。你需要将 位于x轴下方（即 ）的所有线段沿x轴向上反射，保留x轴上方的所有部分不变。定义域内的任何部分都不能被删除。

CIE IGCSE 附加数学· 25 分钟阅读

1. 复合函数★★☆☆☆⏱ 6 min

复合函数将两个函数结合，将一个函数的输出作为另一个函数的输入。复合的顺序至关重要： $f g (x)$ 表示先应用 $g$ ，再将 $f$ 作用于 $g (x)$ 的结果，而 $g f (x)$ 表示先应用 $f$ 再应用 $g$ 。

📘 定义

复合函数

$f g (x) = f (g (x))$

将一个函数的输出代入另一个函数的输入所形成的函数。

例:

若 $f (x) = 2 x + 3$ 且 $g (x) = x^{2}$ ，则 $f g (x) = f (x^{2}) = 2 x^{2} + 3$ 。

📐 例题

已知 $f (x) = 3 x - 1$ 且 $g (x) = \frac{x + 2}{4}$ ，计算 (a) $f g (2)$ (b) 最简形式的 $g f (x)$ 。

1
对于(a)部分，首先计算 $g (2)$
$g(2) = \frac{2 + 2}{4} = 1$
2
将 $g (2) = 1$ 代入 $f (x)$
$fg(2) = f(1) = 3(1) - 1 = 2$
3
对于(b)部分，将 $f (x)$ 代入 $g (x)$
$gf(x) = g(3x - 1) = \frac{(3x -1) + 2}{4}$
4
化简表达式
$gf(x) = \frac{3x + 1}{4}$

要使 $g f (x) = g (f (x))$ 这类复合函数有定义，内层函数 $f$ 的所有输出都必须是外层函数 $g$ 的有效输入。由此得到两条包含规则： $Domain of g f \subseteq Domain of f$ 且 $Range of g f \subseteq Range of g$ 。有时你必须限制 $f$ 的定义域才能让 $g f$ 完全存在。例如，若 $f (x) = x - 4$ 且 $g (x) = x$ （要求输入非负），则 $g f (x) = x - 4$ 仅在 $x - 4 \geq 0$ 时有定义，因此 $f$ 的定义域必须限制为 $x \geq 4$ 。

Exam tip:

复合函数计算时务必写出中间步骤，即便最终答案错误也能拿到步骤分。

2. 单射函数的反函数★★★☆☆⏱ 7 min

反函数会逆转原函数的运算过程，仅存在于一一对应（单射）函数中，这类函数的每个输出都唯一对应一个输入。函数 $f$ 的反函数记作 $f^{- 1} (x)$ 。

📘 定义

单射函数（一一对应函数）

任意两个不同输入都不会产生相同输出的函数，绘制图像时满足水平线检验。

例:

线性函数 $f (x) = 2 x + 5$ 是单射函数，而二次函数 $f (x) = x^{2}$ 在全体实数域上不是单射函数。

📐 例题

求单射函数 $f (x) = \frac{2 x - 5}{3}$ 的反函数。

1
令 $y = f (x)$
$y = \frac{2x - 5}{3}$
2
重新整理公式，将 $x$ 作为表达式的主体
$3y = 2x -5 \\ 2x = 3y + 5 \\ x = \frac{3y + 5}{2}$
3
交换 $x$ 和 $y$ ，再将 $y$ 替换为 $f^{- 1} (x)$
$f^{-1}(x) = \frac{3x + 5}{2}$
4
通过验证 $f f^{- 1} (x) = x$ 来确认结果
$f\left(\frac{3x +5}{2}\right) = \frac{2\left(\frac{3x+5}{2}\right) -5}{3} = \frac{3x +5 -5}{3} = x$

📐 例题

求定义在全体实数 $x$ 上的函数 $f (x) = e^{2 x}$ 的反函数，并说明其定义域。

1
令 $y = f (x)$ ：
$y = e^{2x}$
2
对两侧同时取自然对数（ $ln$ 是 $e$ 的逆运算）：
$\ln y = 2x$
3
将 $x$ 作为表达式主体，再交换 $x$ 和 $y$ ：
$x = \tfrac{1}{2}\ln y \implies f^{-1}(x) = \tfrac{1}{2}\ln x$
4
$f^{- 1}$ 的定义域等于 $f$ 的值域。由于对任意 $x$ 都有 $e^{2 x} > 0$ ， $f$ 的值域为 $f (x) > 0$ ，因此 $f^{- 1}$ 的定义域为 $x > 0$ （值域为全体实数）。这组指数-对数对是大纲1.6的标准示例，指数函数和对数函数本身将在第6单元学习。
$\text{Domain of } f^{-1}: x > 0$

Exam tip:

请始终通过将反函数与原函数复合得到结果 $x$ 来验证反函数是否正确，这可以排查绝大多数代数运算错误。

3. 绘制函数及其反函数的图像★★★☆☆⏱ 6 min

反函数 $f^{- 1} (x)$ 的图像是原函数 $f (x)$ 的图像沿直线 $y = x$ 反射得到的。原函数的关键特征会直接映射到反函数上：截距会交换坐标轴， $f$ 的定义域会成为 $f^{- 1}$ 的值域，反之亦然。

📐 例题

在同一坐标系中绘制函数 $f (x) = 2 x + 1$ 及其反函数 $f^{- 1} (x)$ 的图像，标注所有关键特征。

1
首先绘制 $f (x) = 2 x + 1$ ：它的y轴截距为 (0, 1)，x轴截距为 (-0.5, 0)，斜率为2。
2
绘制并标注直线 $y = x$ 作为反射轴。
3
将 $f (x)$ 的截距沿 $y = x$ 反射，得到 $f^{- 1} (x)$ 的截距：(1, 0) 和 (0, -0.5)。
4
绘制经过这些点的 $f^{- 1} (x)$ 直线，清晰标注两个函数。

Exam tip:

即便你绘制的反射图像完全准确，考官也要求你明确标注 $y = x$ 、 $f (x)$ 和 $f^{- 1} (x)$ 才能给全绘图题的满分。

4. 模函数图像 $y = |f(x)|$★★★★☆⏱ 6 min

模（绝对值）函数会返回输入的非负值。对于 $y = ∣ f (x) ∣$ ， $f (x)$ 图像中位于x轴下方（即 $f (x) < 0$ ）的所有部分都会沿x轴反射，而位于x轴上方的部分保持不变。

📘 定义

模函数（绝对值函数）

$∣ a ∣$

$a$ 的非负值，满足当 $a \geq 0$ 时 $∣ a ∣ = a$ ，当 $a < 0$ 时 $∣ a ∣ = - a$ 。

📐 例题

绘制 $y = ∣ x^{2} - 4∣$ 的图像，标注所有截距和转折点。

1
首先绘制未取模的二次函数 $f (x) = x^{2} - 4$ ：它与x轴交于 (-2, 0) 和 (2, 0)，y轴截距为 (0, -4)，极小值点在 (0, -4)。
2
将 $f (x)$ 位于x轴下方的部分（即x=-2到x=2之间的线段）沿x轴反射。
3
最终得到的图像截距为 (-2, 0)、(2, 0) 和 (0, 4)，在 (0, 4) 处有一个局部极大值点，在 $x = \pm 2$ 之外保留原二次函数向上开口的两支。

📐 例题

绘制 $y = ∣ x^{3} - x ∣$ 的图像，标出曲线与 $x$ 轴的所有交点。

1
首先绘制三次函数 $f (x) = x^{3} - x$ 。因式分解以找到它与 $x$ 轴的交点：
$x^3 - x = x(x - 1)(x + 1)$
2
根为 $x = - 1, 0, 1$ 。检查 $f (x)$ 的符号：它在 $x < - 1$ 和 $0 < x < 1$ 区域位于x轴下方，在 $- 1 < x < 0$ 和 $x > 1$ 区域位于x轴上方。
3
对于 $y = ∣ f (x) ∣$ ，仅将位于x轴下方的部分（即 $x < - 1$ 和 $0 < x < 1$ 的部分）沿x轴向上反射。原本位于x轴上方的部分保持不变。
4
图像仍然在 $x = - 1, 0, 1$ 处与x轴相交，但这些交点都变成了曲线向上折叠形成的尖角（尖点）。所有y值现在都为非负值。

Exam tip:

对于 $y = ∣ sin x ∣$ 这类三角函数模图像，将所有负的波谷沿x轴向上反射，最终得到的图像值域为 $0 \leq y \leq 1$ ，周期为 $π$ 而非 $2 π$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

将 $f g (x)$ 计算为 $f (x) \times g (x)$ 而非 $f (g (x))$

原因:

混淆了复合函数符号与乘法符号

正确做法:

牢记 $f g (x)$ 表示函数复合运算，先计算最右侧的函数；如果要表示乘法，必须明确写出 $f (x) g (x)$

错误做法:

为非一一映射的函数求反函数

原因:

忽略了反函数仅存在于一一映射函数中，即每个输出值唯一对应一个输入值

正确做法:

计算反函数前务必确认函数通过水平线检验，或使用题目给出的限定定义域

错误做法:

绘制反函数时将函数沿y轴反射，而非沿 $y = x$ 反射

原因:

混淆了反函数的反射对称轴

正确做法:

绘制函数-反函数图像对时，先画出并标注直线 $y = x$ ，以它作为反射的参考基准

错误做法:

绘制 $y = ∣ f (x) ∣$ 时删除函数在x轴下方的部分

原因:

误解模运算的作用：模是反射负区间部分，而非删除它们

正确做法:

将 $f (x)$ 位于x轴下方的所有线段沿x轴向上反射，其余图像部分保持不变

错误做法:

颠倒复合函数的运算顺序，例如题目要求计算 $f g (x)$ 却算出 $g f (x)$

原因:

忘记函数复合运算不满足交换律

正确做法:

始终从右往左读取运算顺序：最右侧的函数最先被计算

6. 速查表

概念	规则	示例
复合函数	$f g (x) = f (g (x))$ ，先计算最右侧的函数	$f (x) = x + 2, g (x) = 3 x$ : $f g (x) = 3 x + 2$
反函数	仅一一映射函数存在反函数，图像关于 $y = x$ 对称	$f (x) = 2 x - 1$ : $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{2}$
$y = ∣ f (x) ∣$ 图像	将 $f (x)$ 位于x轴下方的所有部分向上反射	$y = ∣ x - 3∣$ 为V形，顶点在(3,0)
反函数的定义域与值域	$f$ 的定义域 = $f^{- 1}$ 的值域， $f$ 的值域 = $f^{- 1}$ 的定义域	若 $f (x)$ 的值域为 $y > 2$ ，则 $f^{- 1} (x)$ 的定义域为 $x > 2$

7. 常见问题

绘制函数及其反函数的图像时，是否需要标注 $y = x$ 直线？

是的，评卷人要求你明确绘制并标注直线 $y = x$ ，以证明你理解 $f (x)$ 和 $f^{- 1} (x)$ 之间的反射对称关系。

绘制 $y = ∣ f (x) ∣$ 时，我可以删除 $f (x)$ 在x轴下方的部分吗？

不可以。你需要将 $f (x)$ 位于x轴下方（即 $f (x) < 0$ ）的所有线段沿x轴向上反射，保留x轴上方的所有部分不变。定义域内的任何部分都不能被删除。

深入阅读

syllabusCIE 0606 2025-2027 教学大纲请参考大纲第1.4节、1.6-1.8节获取官方知识点指导

下一步

在掌握复合函数、反函数与模函数图像后，你已经可以将这些技能应用到CIE IGCSE 附加数学0606更进阶的函数问题中。这些知识点是后续内容的基础，包括函数变换、模方程求解，以及大纲后续的微积分应用。考试的卷1（非计算器）和卷2（计算器）中都会频繁出现相关题目，因此定期练习图像绘制和代数运算技巧是拿高分的关键。