函数、定义域与值域

Q: 在 0606 考试中 f²(x) 有没有可能被理解为 [f(x)]²？

不可能。根据 0606 官方考试说明，所有题型中 f²(x) 始终 表示重复复合运算 f(f(x))。如果题目要求你计算 f(x) 输出值的平方，会明确写出 [f(x)]²。

Q: fg(x) 和 f(x)g(x) 之间的区别是什么？

fg(x) 是复合函数，代表先计算 g(x)，再将结果代入 f(x)。f(x)g(x) 是两个函数的乘积，代表将两个函数的输出值相乘。这两个表达式的运算顺序完全不同。

CIE IGCSE 附加数学· 教学大纲章节 1.1、1.2、1.3、1.5· 45 分钟阅读

1. 1. 函数核心术语与记法★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

函数

f(x)

将定义域内的每一个输入值映射到值域中恰好一个输出值的规则。

例:

f(x) = 2x + 3 将输入x = 1映射为输出f(1) = 5

0606考试使用标准函数记法，针对特殊符号有严格的规则。两份试卷中你都会频繁遇到复合函数、多次复合和反函数记法，因此牢记这些规则对于避免不必要的失分至关重要。

剑桥考试体系也使用映射记法定义函数： $f : x \mapsto 2 e^{x}$ 的含义与 $f (x) = 2 e^{x}$ 完全相同（读作f将x映射为 $2 e^{x}$ ）。例如， $f : x \mapsto l g x$ 与 $f (x) = l g x$ 完全一致，其中 $l g$ 表示 $lo g_{10}$ 。请将 $f : x \mapsto \dots$ 视为 $f (x) = \dots$ 的另一种写法，避免在考试中被这类表述难住。

📐 例题

已知f(x) = 3x - 2，计算f(4)和f²(2)。

1
将x = 4代入函数计算f(4)：
$f(4) = 3(4) - 2 = 12 - 2 = 10$
2
按照0606的记法规则，将f²(2)按f(f(2))计算：
$f(2) = 3(2) - 2 = 4$
3
将结果再次代入f(x)：
$f(4) = 10, \text{ so } f^2(2) = 10$

Exam tip:

在0606考试中，始终将f²(x)理解为f(f(x))，除非明确写为[f(x)]²，否则绝不能将f(x)的输出结果平方。

2. 2. 定义域与值域计算★★★☆☆⏱ 15 min

📘 定义

定义域与值域

定义域是函数有定义的所有有效输入值(x)的集合。值域是函数从定义域出发能得到的所有输出值(f(x))的集合，也称为像集。

常见的定义域限制：分母不能为0，平方根下的表达式必须≥0，对数的输入必须为正数
求值域：通过代数方法或者利用顶点等图像特征，确定函数在整个定义域内所有可能输出值的最小值和最大值

📐 例题

求 $f (x) = x - 2 + 3$ 的定义域和值域。

1
求定义域：平方根下的表达式必须非负：
$x - 2 \geq 0 \implies x \geq 2$
2
求值域： $x - 2$ 的最小值为0，因此f(x)的最小输出值为：
$0 + 3 = 3$
3
最终结果：定义域 = $x \geq 2$ ，值域 = $f (x) \geq 3$

📐 例题

求 $f (x) = ln (2 x - 6)$ 的定义域和值域。将定义域表示为 $x > a$ 的形式，其中a取最小可能值。（自然对数 $ln$ 将在第6单元详细学习，此处我们只需要记住它的输入必须为正的规则。）

1
对数仅在输入严格为正时才有定义，因此令其自变量大于0：
$2x - 6 > 0$
2
求解x的最小可取范围：
$2x > 6 \implies x > 3$
3
因此定义域为 $x > 3$ （a的最小可能取值为3）。当x趋近于3时，自变量趋近于0， $ln$ 趋近于 $- \infty$ ；当x增大时，自变量无上限增长，因此 $ln$ 可以取到所有实数值。
$\text{Domain: } x > 3, \quad \text{Range: } f(x) \in \mathbb{R}$

Exam tip:

如果你不确定函数的值域，尤其是二次函数和根式函数，可以快速手绘函数草图。第2卷你可以使用科学计算器，但为了拿到全分必须始终展示代数推导过程；要验证答案时，将结果代回函数或者手绘草图，不要完全依赖计算器。

3. 3. 单射函数与多对一函数★★★☆☆⏱ 12 min

📘 定义

单射函数与多对一函数

单射函数：每一个唯一的输出值恰好对应一个唯一的输入值。多对一函数：两个或更多不同的输入得到相同的输出值。

例:

可以使用水平线测试对函数分类：如果任意一条水平线与函数图像的交点超过1个，那么该函数就是多对一函数。

只有单射函数才有合法的反函数。多对一函数不存在反函数，因为无法将同一个输出值映射回唯一的输入值。这是0606试卷中非常常见的2-3分简答题考点。

📐 例题

解释为什么 $f (x) = x^{2}$ （定义域为全体实数x）不是单射函数。

1
找到两个不同的输入值，它们得到相同的输出：
$f(2) = 2^2 = 4 \text{ and } f(-2) = (-2)^2 = 4$
2
由于两个不同的输入得到了相同的输出，因此该函数是多对一函数，不是单射函数。

Exam tip:

当题目要求你解释为什么一个函数不存在反函数时，必须明确说明它是多对一函数，并且给出两个不同输入得到相同输出的具体实例，才能拿到全分。

4. 4. 复合函数与反函数★★★★☆⏱ 18 min

📘 定义

复合函数与反函数

$f g (x), f^{- 1} (x)$

复合函数fg(x) = f(g(x))：先应用函数g，再将得到的结果代入f。反函数f⁻¹(x)会逆转f的运算过程，且仅当f是单射函数时反函数才存在。

复合函数类题目通常要求你将一个函数代入另一个函数，还可能结合定义域值域问题或者方程求解。反函数类题目通常会先要求你证明反函数不存在，之后再让你计算该函数限定定义域版本的反函数。

📐 例题

已知 $f (x) = 2 x + 5$ 和 $g (x) = x^{2}$ ，计算 $f g (3)$ 并解释为什么g(x)（定义域为全体实数x）不存在反函数。

1
计算fg(3) = f(g(3))：先求出g(3)的输出：
$g(3) = 3^2 = 9$
2
将结果代入f(x)：
$f(9) = 2(9) + 5 = 23 \text{, so } fg(3) = 23$
3
证明g(x)不存在反函数：g(x) = x²是多对一函数，例如g(2) = g(-2) = 4，因此它不是单射函数，故不存在反函数。

Exam tip:

牢记复合函数的运算顺序：fg(x)表示先应用g，再应用f。学生经常搞混顺序导致不必要的失分，因此可以把fg(x)改写为f(g(x))来提醒自己运算顺序。

5. 常见陷阱

错误做法:

将 f²(x) 理解为 [f(x)]²（输出值平方）

原因:

在其他课程体系中该符号可能表示平方，但 0606 考试明确定义 f²(x) 为重复复合运算。

正确做法:

除非题目明确写出 [f(x)]²，否则始终按 f²(x) = f(f(x)) 计算。

错误做法:

将复合函数 fg(x) 计算为 f(x) * g(x)（乘积而非复合）

原因:

省略的乘号很容易被误认为是乘法运算。

正确做法:

先把 fg(x) 改写为 f(g(x))，提醒自己先计算 g 再代入 f，不存在乘法步骤。

错误做法:

直接使用二次函数顶点求值域，不验证顶点是否在给定定义域范围内

原因:

限制定义域可能排除顶点，因此值域的最小值/最大值可能出现在定义域的边界处。

正确做法:

使用顶点计算值域前，务必先确认二次函数的顶点落在题目给出的定义域范围内。

错误做法:

声称函数不存在反函数是因为它“不符合竖线测试”

原因:

竖线测试仅用于验证一个关系是否为函数，不能判断函数是否存在反函数。

正确做法:

明确说明该函数是多对一函数，并且给出两个不同输入得到相同输出的具体实例，以此证明反函数不存在。

6. 速查表

符号/术语	含义	核心考试规则
f(x)	x 的函数	将输入值代入 x 计算得到输出值
f²(x)	重复复合运算 f(f(x))	0606 考试中绝不能理解为 [f(x)]²
fg(x)	复合函数 f(g(x))	先计算 g，再将结果代入 f
f⁻¹(x)	f 的反函数	仅当 f 是单射函数时存在
定义域	合法输入值集合	检查分母不为零、根号内非负、对数输入值为正
值域	输出值集合（像集）	通过图像或代数边界确定最小值/最大值

7. 常见问题

在 0606 考试中 f²(x) 有没有可能被理解为 [f(x)]²？

不可能。根据 0606 官方考试说明，所有题型中 f²(x) 始终表示重复复合运算 f(f(x))。如果题目要求你计算 f(x) 输出值的平方，会明确写出 [f(x)]²。

fg(x) 和 f(x)g(x) 之间的区别是什么？

fg(x) 是复合函数，代表先计算 g(x)，再将结果代入 f(x)。f(x)g(x) 是两个函数的乘积，代表将两个函数的输出值相乘。这两个表达式的运算顺序完全不同。

考试中我要如何论证一个函数不存在反函数才能拿到全部分数？

你必须明确说明该函数不是单射函数（属于多对一函数），并且给出两个不同输入值得到相同输出值的具体实例。类似“它不符合直线测试”这类模糊表述无法拿到满分。

深入阅读

syllabusCIE 0606 2025-2027 教学大纲参考大纲第1部分获取完整的函数相关考试要求

下一步

现在你已经掌握了函数基础、定义域、值域以及复合/反函数规则，可以继续学习 CIE IGCSE 附加数学 0606 中更进阶的函数主题。接下来你将学习用代数方法计算反函数、求解函数方程，以及将函数概念应用到在卷1（非计算器）和卷2（计算器）中高频出现的微积分和三角函数问题中。务必练习识别定义域限制和论证反函数存在性，这类2-3分的题目只要掌握规则就可以快速作答拿分。