求解相关变化率问题

AP 微积分 AB· AP Calculus AB CED — Contextual Applications of Differentiation· 14 分钟阅读

1. 什么是相关变化率问题？★★☆☆☆⏱ 3 min

相关变化率问题利用微分，将一个未知量的变化率与一个或多个已知量的变化率关联起来，几乎所有问题都是对时间 $t$ 求导。该知识点约占第四单元考试占比的12%，在AP考试的选择题和自由问答题部分都会出现。

📘 定义

2. 四步解题框架★★☆☆☆⏱ 4 min

所有相关变化率问题都遵循这套可重复的四步框架，它能消除猜测，确保链式法则应用正确：

定义所有变量，记录已知变化率和需要求解的未知变化率，包括单位和符号约定（增加为正，减少为负）
写出关联所有变量的方程，消去所有不出现在已知或未知变化率中的多余变量
对方程两边隐式对时间 $t$ 求导，对每个依赖 $t$ 的项应用链式法则
代入给定的变量瞬时值和已知变化率，求解未知变化率，并在情境中解释符号的含义

原理：由于所有量都随时间变化，链式法则要求每个导数都包含 $\frac{d [ 变量 ]}{d t}$ 项，这就将不同变化率相互关联起来。

📐 例题

球形气球的半径以2 cm/s的恒定速率增加，当半径为5 cm时，气球表面积的变化率是多少？

1
第一步（定义变量）： 设 $r (t)$ 为 $t$ 时刻气球的半径， $S (t)$ 为 $t$ 时刻的表面积。已知： $\frac{d r}{d t} = 2$ cm/s（半径增加，所以为正）。未知： $r = 5$ cm时的 $\frac{d S}{d t}$ 。
2
第二步（关联变量）： 球的表面积公式为 $S = 4 π r^{2}$ ，没有需要消去的多余变量。
3
第三步（求导）： 对两边关于 $t$ 求导：
4
$\frac{d}{dt}[S] = \frac{d}{dt}[4\pi r^2] \implies \frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$
5
第四步（代入求解）： 代入 $r = 5$ ， $\frac{d r}{d t} = 2$ ：
6
$\frac{dS}{dt} = 8\pi (5)(2) = 80\pi \text{ cm}^2/\text{s}$
7
结果为正，说明表面积在增加，与已知半径增加的条件一致。

Exam tip:

一定要先求导，再代入瞬时值。提前代入会错误地将变量视为常数，得到导数为零的错误结果。

3. 勾股定理相关的相关变化率问题★★★☆☆⏱ 3 min

AP考试最常见的场景之一是两个相互垂直的变化量，它们之间的距离由勾股定理关联。常见例子包括梯子沿墙滑动、汽车垂直于观察者方向行驶、拉绳将船拉向码头等。

斜边和一条或两条直角边都随时间变化，因此它们的导数都不为零。在代入求导后的方程前，你几乎总是需要先从原始勾股关系中计算出未知边长的瞬时值。

📐 例题

一把25英尺长的梯子斜靠在竖直墙上，梯子底部以2 ft/s的速率离开墙，当梯子底部距离墙7英尺时，梯子顶端沿墙下滑的速率是多少？

1
第一步（定义变量）： 设 $x (t)$ 为梯子底部到墙的距离， $y (t)$ 为梯子顶端到地面的距离。已知： $\frac{d x}{d t} = 2$ ft/s（x增加，所以为正）。未知： $x = 7$ ft时的 $\frac{d y}{d t}$ 。
2
第二步（关联变量）： 墙与地面垂直，因此根据勾股定理：
3
$x^2 + y^2 = 25^2 = 625$
4
没有需要消去的多余变量。
5
第三步（求导）： 对两边关于 $t$ 求导：
6
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0 \implies x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$
7
第四步（代入求解）： 首先求 $x = 7$ 时的 $y$ ：
8
$7^2 + y^2 = 625 \implies y^2 = 576 \implies y = 24$
9
因为 $y$ 是长度，所以取正根。代入数值：
10
$(7)(2) + 24 \frac{dy}{dt} = 0 \implies \frac{dy}{dt} = -\frac{7}{12} \text{ ft/s}$
11
负号说明 $y$ 在减小，因此顶端下滑速率为 $\frac{7}{12}$ ft/s。

Exam tip:

当题目问某个量减少的速率（比如滑动梯子顶端）时，题目要求的是速率（正的大小），而非带符号的变化率。

4. 相似三角形相关的相关变化率问题★★★★☆⏱ 4 min

相似三角形是AP考试另一种非常常见的场景，用于圆锥水箱排水、路灯投射移动影子等问题。解题的关键难点在于：求导前，利用相似三角形的比例关系消去你没有变化率信息的多余变量。

如果你的方程中留下了没有变化率信息的多余变量，你就无法求解未知变化率。写完方程后，一定要确认方程中只包含你有已知变化率或要求解的变量。

📐 例题

水从大型圆锥水箱中以10 m³/分钟的速率排出，水箱总高24 m，底面半径6 m。当水深为8 m时，水深下降的速率是多少？

1
第一步（定义变量）： 设 $V (t)$ 为水箱中水的体积， $h (t)$ 为水深， $r (t)$ 为水深 $h$ 处水面的半径。已知： $\frac{d V}{d t} = - 10$ m³/min（体积减少，所以为负）。未知： $h = 8$ m时的 $\frac{d h}{d t}$ 。
2
第二步（关联变量）： 圆锥体积公式为 $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ 。水的半径和高度构成的三角形与水箱整体三角形相似，因此：
3
$\frac{r}{h} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \implies r = \frac{h}{4}$
4
代入消去 $r$ ：
5
$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{h}{4}\right)^2 h = \frac{\pi}{48} h^3$
6
第三步（求导）： 关于 $t$ 求导：
7
$\frac{dV}{dt} = \frac{3\pi}{48} h^2 \frac{dh}{dt} = \frac{\pi}{16} h^2 \frac{dh}{dt}$
8
第四步（代入求解）： 代入 $\frac{d V}{d t} = - 10$ ， $h = 8$ ：
9
$-10 = \frac{\pi}{16} (8^2) \frac{dh}{dt} \implies \frac{dh}{dt} = -\frac{5}{2\pi} \text{ m/min}$
10
负号说明水深在下降，速率为 $\frac{5}{2 π}$ m/min。

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你对勾股定理相关变化率的理解：

一个5米高的码头有一根绳子系在船上，将船拉向码头。如果绳子以3 m/s的速率拉进，当还剩13米绳子在外面时，船靠近码头的速率是多少？
- $- \frac{13}{4}$ m/s
- $\frac{5}{13}$ m/s
- $\frac{13}{4}$ m/s
- $\frac{15}{12}$ m/s
显示答案
C —
正确：负变化率说明船到码头的距离 $x$ 在减小，因此船靠近码头的速率是其大小，即 $\frac{13}{4}$ m/s。

Exam tip:

明确标注整个水箱/问题的大三角形和内部的小三角形，避免混淆比例关系。

5. 常见陷阱

错误做法:

求导前就将变量的给定瞬时值代入关系式，例如在求导前就将 $r = 5$ 代入 $S = 4 π r^{2}$ 。

原因:

学生错误地认为该变量在该瞬时是常数，因此提前代入简化。

正确做法:

永远先对变量的一般关系式求导，求导后再代入瞬时值。

错误做法:

忘记对因变量应用链式法则，例如对 $S = 4 π r^{2}$ 求导得到 $\frac{d S}{d t} = 8 π r$ ，遗漏了 $\frac{d r}{d t}$ 项。

原因:

学生习惯对 $r$ 求导，而非对 $t$ 求导，因此遗漏了额外的链式法则因子。

正确做法:

求导完成后，确认每个变量项都有 $\frac{d [ 变量 ]}{d t}$ 因子，以表示对时间的导数。

错误做法:

相似三角形比例错误，例如圆锥水箱例子中错写为 $\frac{r}{h} = \frac{24}{6}$ 。

原因:

学生混淆了对应三角形的边，颠倒了比例。

正确做法:

明确标注大三角形和小三角形，然后写出对应边的比例（大半径：大高度 = 小半径：小高度），再化简。

错误做法:

变化率符号错误，例如排水水箱错写为 $\frac{d V}{d t} = + 10$ 。

原因:

学生只记录变化率的大小，忘记减少的量变化率为负。

正确做法:

定义变量和已知变化率时，在继续解题前，立即根据量是增加（正）还是减少（负）赋予符号。

错误做法:

代入前忘记求解缺失的变量瞬时值，例如梯子例子中用斜边长代替未知直角边长。

原因:

学生求导后急于代入，忘记他们需要该瞬时第二个变量的值。

正确做法:

求导后，列出所有需要的瞬时值，在代入求导后的方程前，从原始关系式中计算出所有缺失的值。

6. 速查表

类别	公式	注释
一般对时间求导	$\frac{d}{d t} F (x_{1}, ..., x_{n}) = \sum \frac{\partial F}{\partial x _{i}} \frac{d x _{i}}{d t}$	对每个变量应用链式法则，所有变量都是 $t$ 的函数
勾股定理关系式	$x^{2} + y^{2} = h^{2}$	用于直角三角形场景； $h$ 为斜边
相似三角形比例关系	$\frac{s _{1}}{S _{1}} = \frac{s _{2}}{S _{2}}$	$s$ = 小三角形边长； $S$ = 对应大三角形边长
球体体积	$V = \frac{4}{3} π r^{3}$	用于球形物体（气球、细胞、雨滴）
球体表面积	$S = 4 π r^{2}$	常用于球形相关变化率问题
圆锥体积	$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$	用于圆锥水箱排水问题
圆柱体积	$V = π r^{2} h$	用于横截面积均匀的圆柱水箱
变化率符号约定	正 = 增加；负 = 减少	定义变量时分配符号，结尾解释结果

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
滑动梯子相关变化率问题
2022 · FRQ
圆锥水箱排水问题

深入阅读

Official SyllabusAP 微积分 AB 课程与考试说明官方单元与主题占比参考

下一步

相关变化率问题是隐函数求导在情境中的第一个主要应用，它构建了你在第四单元剩余内容和整个AP微积分AB考试中需要的核心情境解题能力。掌握这里的四步框架，能为你求解其他情境微分问题（包括线性近似和微分，以及课程后期的优化问题）做好准备。将真实世界情境转化为数学关系式、正确应用链式法则、在情境中解释结果的能力，在AP考试的选择题和自由问答题部分都占很大比重，因此练习这个知识点会对你整个考试有很大帮助。