进阶矩阵代数（FP3）

Q: 对角化时什么时候需要对特征向量做归一化处理？

对于对称矩阵，如果题目要求你找到正交矩阵P使得 为对角矩阵，你必须将每个特征向量归一化作为P的列，以保证P是正交矩阵。

Edexcel 国际A-Level 进阶数学· FP3 主题6（2018版第3期）· 45 分钟阅读

1. 3D线性变换与组合矩阵★★★☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

📘 定义

3D线性变换

作用于3D列向量的变换T，满足对任意标量 $a, b$ 和向量 $x, y$ ，都有 $T (a x + b y) = a T (x) + b T (y)$ ，可用3×3矩阵 $M$ 表示，即 $T (x) = M x$ 。

这是FP1中2D变换内容的延伸：3×3变换矩阵的每一列分别是标准基向量 $i, j, k$ 经过变换后的像。对于组合变换，先执行的变换对应乘积中最右侧的矩阵：先执行变换B再执行变换A，对应的矩阵为 $A B$ ，符合Edexcel大纲规定。

📐 例题

设变换B为xy平面内的反射，变换A为绕x轴逆时针旋转90°，求先执行B再执行A对应的矩阵。

1
矩阵B（xy平面反射）将 $i \to i, j \to j, k \to - k$ ：
2
$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
3
矩阵A（绕x轴逆时针旋转90°）将 $i \to i, j \to k, k \to - j$ ：
4
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
5
先执行B再执行A的组合矩阵为 $A B$ ：
6
$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

Exam tip:

务必反复核对组合变换的乘法顺序：先执行的变换是乘积中最右侧的矩阵。

2. 转置、3×3行列式与非奇异矩阵★★★☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

📘 定义

矩阵转置

$A^{T}$

将矩阵 $A$ 的行和列互换得到的矩阵，即 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素对应 $A^{T}$ 的第 $j$ 行第 $i$ 列元素。乘积转置规则为 $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ 。

计算3×3行列式时，选择含零最多的行或列展开，应用交替余子式符号矩阵： $+ - + - + - + - +$ 。如果矩阵的行列式为0，则该矩阵是奇异矩阵，不存在逆矩阵。

📐 例题

计算矩阵 $A = 105216340$ 的行列式，并判断它是否为奇异矩阵。

1
沿第1行展开（该行有一个零，可简化计算）：
2
$\det(A) = 1\begin{vmatrix}1 & 4 \\ 6 & 0\end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix}0 & 4 \\ 5 & 0\end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix}0 & 1 \\ 5 & 6\end{vmatrix}$
3
计算每个余子式行列式：
4
$\det(A) = 1(0 - 24) - 2(0 - 20) + 3(0 - 5) = -24 + 40 - 15 = 1$
5
$det (A) = 1 \neq = 0$ ，因此 $A$ 是非奇异矩阵。

Exam tip:

计算行列式时始终选择含零最多的行或列展开，尽可能减少算术运算错误。

3. 3×3矩阵的逆★★★★☆⏱ 12 min

✓ 计算器

📘 定义

伴随矩阵

方阵余子式矩阵的转置，其中余子式 $C_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}$ ， $M_{ij}$ 是去掉矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列后得到的子矩阵的行列式。逆矩阵公式为 $A^{- 1} = \frac{1}{d e t ( A )} adj (A)$ ，乘积逆规则为 $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ 。

变换矩阵的逆对应逆变换，可将变换后的像向量映射回原始位置。计算逆矩阵前务必确认行列式非零，因为奇异矩阵不存在逆矩阵。

📐 例题

求矩阵 $A = 105216340$ 的逆，已知 $det (A) = 1$ 。

1
使用交替符号规则计算余子式矩阵：
2
$\text{Cofactor matrix} = \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix}$
3
将余子式矩阵转置得到伴随矩阵：
4
$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}$
5
除以 $det (A) = 1$ 得到逆矩阵：
6
$A^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

Exam tip:

通过验证 $A A^{- 1} = I$ （单位矩阵）来检查逆矩阵的计算结果，避免转置或算术错误。

4. 特征值与特征向量★★★★☆⏱ 12 min

✓ 计算器

📘 定义

特征值与特征向量

对于方阵 $A$ ，特征值 $λ$ 是满足 $A x = λ x$ 的标量，其中非零向量 $x$ 是对应的特征向量。归一化特征向量的模长为1，将 $x$ 除以它的模长 $∣ x ∣$ 即可得到。

求解特征方程 $det (A - λ I) = 0$ 得到所有特征值。对每个特征值，求解方程 $(A - λ I) x = 0$ 得到对应的特征向量。对于对称矩阵，不同特征值对应的特征向量一定两两正交。

📐 例题

求对称矩阵 $A = 101020101$ 的特征值和归一化特征向量。

1
建立并求解特征方程：
2
$\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ 1 & 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)(\lambda^2 - 2\lambda) = 0$
3
特征值： $λ = 0$ ， $λ = 2$ （二重根）
4
对于 $λ = 0$ ，求解 $A x = 0$ 得到特征向量 $(1, 0, - 1)$ ，归一化后为 $(\frac{1}{2}, 0, - \frac{1}{2})$
5
对于 $λ = 2$ ，求解 $(A - 2 I) x = 0$ 得到正交特征向量 $(1, 0, 1)$ 和 $(0, 1, 0)$ ，归一化后为 $(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})$ 和 $(0, 1, 0)$

Exam tip:

对于对称矩阵的重特征值，可以直接通过观察选取正交的特征向量，省去后续额外的正交化步骤。

5. 对称矩阵的正交对角化★★★★★⏱ 11 min

✓ 计算器

📘 定义

正交对角化

对于对称矩阵 $A$ ，找到正交矩阵 $P$ 使得 $P^{T} A P = D$ 的过程，其中 $D$ 是对角矩阵，主对角线上的元素为 $A$ 的所有特征值。

构造矩阵 $P$ 时，将 $A$ 的归一化正交特征向量作为它的列向量。由于 $P$ 是正交矩阵， $P^{T} = P^{- 1}$ ，因此这个过程等价于使用特征向量的标准正交基将 $A$ 对角化。

📐 例题

求正交矩阵 $P$ ，使得对于 $A = 101020101$ ， $P^{T} A P$ 为对角矩阵。

1
使用上一个例题得到的归一化正交特征向量作为 $P$ 的列：
2
$P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}$
3
验证 $P$ 是正交矩阵（ $P^{T} P = I$ ），然后计算 $P^{T} A P$ ：
4
$P^TAP = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = D$

Exam tip:

矩阵 $P$ 的列顺序和对角矩阵 $D$ 主对角线上特征值的顺序一一对应，只要特征向量和特征值匹配，你可以任意排列特征值的顺序。

6. 常见陷阱

错误做法:

对于“先执行A再执行B”的组合变换，按A乘B的顺序计算矩阵乘积

原因:

Edexcel大纲规定先执行的变换是乘积中最右侧的矩阵，因此需要颠倒顺序

正确做法:

始终将先执行的变换放在乘积的最右侧，后执行的变换在左侧相乘

错误做法:

计算3×3逆矩阵时，忘记将余子式矩阵转置得到伴随矩阵

原因:

伴随矩阵是余子式矩阵的转置，而不是余子式矩阵本身，跳过这一步会得到错误的逆矩阵

正确做法:

计算完余子式矩阵后，交换它的行和列得到伴随矩阵，再除以行列式

错误做法:

对乘积使用错误的顺序规则： $(A B)^{- 1} = A^{- 1} B^{- 1}$ 或 $(A B)^{T} = A^{T} B^{T}$

原因:

求乘积的逆和转置时都需要颠倒矩阵的顺序，错误的顺序会得到错误结果

正确做法:

对乘积求转置或逆时始终颠倒矩阵顺序： $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ ， $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$

错误做法:

构造用于对角化的正交矩阵 $P$ 时，没有对特征向量做归一化

原因:

正交矩阵要求所有列向量的模长为1，未归一化的特征向量会让 $P$ 失去正交性，导致 $P^{T} A P$ 不是对角矩阵

正确做法:

要求正交对角化时，将每个特征向量除以它的模长，再作为 $P$ 的列向量

错误做法:

展开3×3行列式时没有应用余子式的交替符号规则

原因:

余子式的正负号随行和列的位置交替变化，忽略符号会得到错误的行列式值

正确做法:

沿任意行或列展开3×3行列式时，使用符号矩阵 $+ - + - + - + - +$

7. 速查表

概念	公式/规则	关键提示
3D变换矩阵	列向量为 $i, j, k$ 变换后的像	先B后A对应 $A B$ （右侧矩阵为先执行的变换）
乘积转置规则	$(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$	交换 $A$ 的行和列得到 $A^{T}$
3×3行列式	沿行/列展开并应用余子式符号	$det (A) = 0$ → 奇异矩阵，无逆矩阵
3×3逆矩阵	$A^{- 1} = \frac{1}{d e t ( A )} \times adj (A)$	$(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$
特征值	求解 $det (A - λ I) = 0$	$λ$ 满足 $A x = λ x$
特征向量	求解 $(A - λ I) x = 0$	归一化：除以模长得到标准正交向量
正交对角化	$P^{T} A P = D$ ， $P$ 为正交矩阵	$D$ 的主对角线元素为 $A$ 的特征值

8. 常见问题

我需要为FP3考试熟记3×3行列式和逆矩阵的计算公式吗？

是的，FP3公式手册中不提供任何3×3矩阵运算的公式。你必须牢记余子式/伴随矩阵求逆的方法和3×3行列式的计算步骤。

为什么组合变换的矩阵要按相反顺序相乘？

Edexcel大纲规定，先执行变换B再执行变换A对应的乘积矩阵为AB，因为列向量是左乘变换矩阵的。

对角化时什么时候需要对特征向量做归一化处理？

对于对称矩阵，如果题目要求你找到正交矩阵P使得 $P^{T} A P$ 为对角矩阵，你必须将每个特征向量归一化作为P的列，以保证P是正交矩阵。

深入阅读

official_specEdexcel IAL 进阶数学FP3大纲第67页可查阅FP3矩阵代数的考核要求
prereq_guideFP1矩阵代数（Edexcel IAL）开始本指南前请复习2×2矩阵运算和2D变换相关内容

下一步

掌握FP3的进阶矩阵代数后，你可以将这些概念应用到FP3的其他主题，包括线性方程组和3D几何，其中矩阵可用于表示平面和交点。如果你后续计划攻读高等教育阶段的线性代数、工程和数据科学相关专业，特征值和对角化也是这些领域的核心基础。请务必练习本主题的完整历年真题，提升解题速度和准确率，因为矩阵类题目通常分值在10分以上，需要仔细分步计算避免算术错误。如果你对前置知识掌握不熟练，请复习FP1的矩阵内容，基础矩阵运算的漏洞会大幅拖慢你解答FP3考试题目的速度。

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