为什么不等于？

矩阵乘法不满足交换律，因此逆矩阵的顺序必须反转才能正确消去原乘积：，即单位矩阵。

矩阵代数

Q: 矩阵乘法何时有定义？

矩阵乘法仅当A的列数等于B的行数时有定义。在FP1中，你遇到的所有乘积都是相容的2×2矩阵之间的运算。

Edexcel 国际A-Level 进阶数学· FP1 5.1-5.5· 25 分钟阅读

1. 矩阵加法、减法与数乘运算★☆☆☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

矩阵是数字组成的矩形阵列，维度表示为行数×列数。在FP1中，你处理的所有矩阵都是2×2矩阵。两个矩阵仅当维度相同时才能相加或相减：你需要逐个对对应位置的元素执行加/减运算。

📘 定义

数乘运算

将矩阵的每一个元素都乘以一个常数（标量）值。

📐 例题

已知 $A = (2 - 3 14)$ 和 $B = (50 - 2 7)$ ，计算 $2 A - B$ 。

1
将A的每个元素乘以2，计算2A：
$2A = \begin{pmatrix} 2\times 2 & 2\times 1 \\ 2\times (-3) & 2\times 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -6 & 8 \end{pmatrix}$
2
用2A的对应元素减去B的元素：
$2A - B = \begin{pmatrix} 4-5 & 2 - (-2) \\ -6 - 0 & 8 -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ -6 & 1 \end{pmatrix}$

Exam tip:

执行加减运算前务必先检查矩阵维度；如果矩阵尺寸不一致，该运算没有定义。

2. 矩阵乘法★★☆☆☆⏱ 15 min

✓ 计算器

矩阵乘法遵循点积规则，仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数（即两矩阵相容）时才有定义。对于2×2矩阵 $A = (a c b d)$ 和 $B = (e g f h)$ ，乘积 $A B = (a e + b g ce + d g a f + bh c f + d h)$ 。

📐 例题

已知 $A = (1230)$ 和 $B = (45 - 1 2)$ ，计算 $A B$ 。

1
A的第一行点乘B的第一行，得到左上角元素： $1 \times 4 + 3 \times 5 = 19$
2
A的第一行点乘B的第二列，得到右上角元素： $1 \times (- 1) + 3 \times 2 = 5$
3
A的第二行点乘B的第一列，得到左下角元素： $2 \times 4 + 0 \times 5 = 8$
4
A的第二行点乘B的第二列，得到右下角元素： $2 \times (- 1) + 0 \times 2 = - 2$
5
合并得到乘积矩阵：
$AB = \begin{pmatrix} 19 & 5 \\ 8 & -2 \end{pmatrix}$

Exam tip:

如果题目要求计算 $B A$ ，不要复用你算出的 $A B$ 结果，必须从头重新计算，避免顺序错误。

3. 2×2行列式与奇异矩阵★★☆☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

📘 定义

2×2矩阵的行列式

$det M$ or $∣ M ∣$

对于 $M = (a c b d)$ ， $det M = a d - b c$ 。行列式为0的矩阵是奇异矩阵，行列式不为0的矩阵是非奇异矩阵。

📐 例题

对于矩阵 $M = (32 k 6)$ ，求使M为奇异矩阵的k值。

1
写出M的行列式公式：
$\det M = (3)(6) - (k)(2) = 18 - 2k$
2
奇异矩阵的行列式等于0： $18 - 2 k = 0$
3
求解k： $2 k = 18 ⟹ k = 9$

Exam tip:

如果你算出需要求逆的矩阵行列式为0，先反复检查你的算术，因为奇异矩阵不存在逆矩阵。

4. 2×2矩阵的逆矩阵★★★☆☆⏱ 15 min

✓ 计算器

非奇异2×2矩阵 $M$ 的逆矩阵写作 $M^{- 1}$ ，满足 $M M^{- 1} = M^{- 1} M = I$ ，其中 $I$ 是2×2单位矩阵 $(1001)$ 。 $M^{- 1}$ 的计算公式为 $\frac{1}{d e t M} (d - c - b a)$ 。

📐 例题

求 $M = (4213)$ 的逆矩阵。

1
计算M的行列式：
$\det M = (4)(3) - (1)(2) = 12 - 2 = 10$
2
交换主对角线元素，将副对角线元素取反得到伴随矩阵：
$\text{伴随矩阵} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$
3
将伴随矩阵乘以 $1/ det M$ 得到逆矩阵：
$M^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.3 & -0.1 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix}$

Exam tip:

考试剩余时间充足的话，一定要把算出的逆矩阵和原矩阵相乘，验证结果是否为单位矩阵。

5. 矩阵乘积的逆矩阵★★★☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

对于两个非奇异2×2矩阵 $A$ 和 $B$ ，它们乘积的逆矩阵遵循逆序法则： $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ 。该法则可以推广到两个以上矩阵的乘积，所有逆矩阵都要按照原乘积的顺序反转排列。

📐 例题

已知 $A^{- 1} = (2 - 1 03)$ 和 $B^{- 1} = (1042)$ ，计算 $(A B)^{- 1}$ 。

1
应用乘积逆的逆序法则： $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$
2
计算 $B^{- 1}$ 和 $A^{- 1}$ 的乘积：
$B^{-1}A^{-1} = \begin{pmatrix} 1\times2 + 4\times(-1) & 1\times0 +4\times3 \\ 0\times2 + 2\times(-1) & 0\times0 + 2\times3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 12 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}$

Exam tip:

绝对不要把 $(A B)^{- 1}$ 写成 $A^{- 1} B^{- 1}$ ，这是FP1考试中该知识点最常见的错误。

6. 常见陷阱

错误做法:

对不同维度的矩阵执行加法

原因:

加减运算仅对行数和列数完全相等的矩阵有定义

正确做法:

执行加减运算前先检查维度，如果维度不匹配，该运算没有定义

错误做法:

假设矩阵乘法满足 $A B = B A$

原因:

几乎所有矩阵对的乘法都不满足交换律

正确做法:

所有乘积运算中保留矩阵的原有顺序，如果题目要求计算反向乘积必须重新计算

错误做法:

写出 $(A B)^{- 1} = A^{- 1} B^{- 1}$

原因:

乘积 $A^{- 1} B^{- 1}$ 无法将 $A B$ 消去得到单位矩阵

正确做法:

始终反转逆矩阵的顺序： $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$

错误做法:

计算伴随矩阵时交换所有元素，而不是仅交换主对角线元素

原因:

伴随矩阵仅要求交换主对角线元素，同时将副对角线元素取反

正确做法:

对于 $M = (a c b d)$ ，伴随矩阵为 $(d - c - b a)$

错误做法:

尝试计算奇异矩阵的逆矩阵

原因:

奇异矩阵的行列式为0，逆矩阵公式要求除以0，没有定义

正确做法:

求逆前先计算行列式，如果行列式等于0，说明该矩阵是奇异矩阵，不存在逆矩阵

7. 速查表

运算	2×2矩阵 $A = (a c b d), B = (e g f h)$ 的运算规则
加法/减法	$A \pm B = (a \pm e c \pm g b \pm f d \pm h)$ （仅适用于同维度矩阵）
数乘运算	$k A = (k a k c k b k d)$ ，其中k为标量
矩阵乘法	$A B = (a e + b g ce + d g a f + bh c f + d h)$ （仅适用于相容矩阵）
行列式	$det A = a d - b c$
逆矩阵	$A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)$ （仅当 $det A \neq = 0$ 时成立）
乘积的逆	$(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$

8. 常见问题

矩阵乘法何时有定义？

矩阵乘法 $A B$ 仅当A的列数等于B的行数时有定义。在FP1中，你遇到的所有乘积都是相容的2×2矩阵之间的运算。

FP1考试中会提供2×2逆矩阵公式吗？

不会，2×2行列式和逆矩阵公式不在FP1公式手册中给出，你必须熟记才能参加考试。

为什么 $(A B)^{- 1}$ 不等于 $A^{- 1} B^{- 1}$ ？

矩阵乘法不满足交换律，因此逆矩阵的顺序必须反转才能正确消去原乘积： $(A B) (B^{- 1} A^{- 1}) = A (B B^{- 1}) A^{- 1} = A I A^{- 1} = I$ ，即单位矩阵。

深入阅读

下一步

现在你已经掌握了FP1要求的核心2×2矩阵代数知识，可以将这些技能应用到矩阵变换这一FP1大纲的下一个核心知识点中。矩阵运算也是后续FP3内容的基础，包括3×3矩阵、特征值与特征向量、求解线性方程组。请务必练习该知识点的历年真题，避免常见的顺序错误，熟记行列式和逆矩阵公式，因为它们不会在考试公式手册中提供。