进阶复数

Q: Edexcel采用什么主辐角约定？

Edexcel所有复数类题目严格采用的约定。提交最终答案前务必将辐角调整到该范围内。

Q: 考试中我需要证明棣莫弗定理吗？

是的，你可能被要求用数学归纳法证明棣莫弗定理对所有整数成立。公式手册仅给出结论，不包含证明过程，因此你必须熟记正整数、零和负整数情况的完整归纳步骤。

Q: FP2试卷允许使用CAS计算器吗？

不，所有Edexcel IAL进阶数学试卷（包括FP2）都严格禁止使用CAS（计算机代数系统）计算器。标准科学计算器是允许的。

Edexcel 国际A-Level 进阶数学· FP2 3.1-3.4· 35 分钟阅读

1. 欧拉关系式与三角指数形式★★☆☆☆⏱ 8 min

✓ 计算器

📘 定义

欧拉关系式

$e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ 对所有实数 $θ$ 成立。该恒等式将复数域的指数函数与三角函数关联起来。

例:

当 $θ = π$ 时，可得到欧拉恒等式： $e^{iπ} + 1 = 0$ 。

从欧拉关系式出发，你可以推导出余弦和正弦用复指数表示的两个核心恒等式，这是考试中必须熟记的内容：

\cos\theta = \frac{1}{2}\left(e^{i\theta} + e^{-i\theta}\right)

\sin\theta = \frac{1}{2i}\left(e^{i\theta} - e^{-i\theta}\right)

📐 例题

使用余弦的指数形式，将 $cos^{3} θ$ 表示为多倍角形式。

1
从余弦的指数恒等式出发，对三次方进行展开：
$\cos^3\theta = \left(\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\right)^3$
2
使用二项式定理展开分子：
$= \frac{e^{i3\theta} + 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} + e^{-i3\theta}}{8}$
3
对项进行分组，匹配指数余弦恒等式的结构：
$= \frac{1}{4}\left(\frac{e^{i3\theta} + e^{-i3\theta}}{2}\right) + \frac{3}{4}\left(\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\right)$
4
代回标准余弦形式，得到最终结果：
$= \frac{1}{4}\cos3\theta + \frac{3}{4}\cos\theta$

Exam tip:

相比反复使用倍角公式，指数三角恒等式可以在多倍角恒等式类题目上节省大量时间。

2. 棣莫弗定理：证明与应用★★★☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

📘 定义

棣莫弗定理

对任意整数 $n$ 和实数 $θ$ ， $[r (cos θ + i sin θ)]^{n} = r^{n} (cos n θ + i sin n θ)$ 。在指数形式下，该式可简化为 $(r e^{i θ})^{n} = r^{n} e^{in θ}$ 。

🔬 推导

目标:

证明棣莫弗定理对所有整数 $n$ 成立

起点:

欧拉关系式与数学归纳法

1
基础情况1： $n = 1$ ： $[r (cos θ + i sin θ)]^{1} = r (cos 1 θ + i sin 1 θ)$ ，显然成立。
2
归纳步骤：假设定理对正整数 $n = k$ 成立： $[r (cos θ + i sin θ)]^{k} = r^{k} (cos k θ + i sin k θ)$ 。
3
对于 $n = k + 1$ ，将 $n = k$ 的结果乘以 $r (cos θ + i sin θ)$ ，并应用和角公式：
$[r(\cos\theta + i\sin\theta)]^{k+1} = r^k(\cos k\theta + i\sin k\theta) \times r(\cos\theta + i\sin\theta) = r^{k+1}(\cos(k+1)\theta + i\sin(k+1)\theta)$
4
基础情况2： $n = 0$ ：左侧等于1，右侧等于 $r^{0} (cos 0 + i sin 0) = 1$ ，因此 $n = 0$ 时定理成立。
5
负整数 $n$ ：令 $n = - m$ ，其中 $m$ 为正整数。利用 $\frac{1}{c o s m θ + i s i n m θ} = cos (- m θ) + i sin (- m θ)$ ，可证明定理对所有负整数 $n$ 成立。

结果:

棣莫弗定理已被证明对所有整数 $n$ 成立。

📐 例题

求复数 $z = 16 (cos \frac{2 π}{3} + i sin \frac{2 π}{3})$ 的所有4次方根。

1
对根应用棣莫弗定理： $r (cos θ + i sin θ)$ 的n次方根的模为 $r^{1/ n}$ ，辐角为 $\frac{θ + 2 π k}{n}$ ，其中 $k = 0, 1, ..., n - 1$ 。
2
计算根的模： $1 6^{1/4} = 2$ 。
3
计算 $k = 0, 1, 2, 3$ 对应的所有有效辐角：
$\frac{2\pi/3 + 2\pi k}{4} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$
4
列出4个不同的根：
$2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right), 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right), 2\left(\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right), 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$

Exam tip:

除非题目明确另有要求，否则n次方根的辐角必须使用主辐角（范围为 $- π < θ \leq π$ ）。

3. 阿尔冈图中的轨迹与区域★★★☆☆⏱ 9 min

✓ 计算器

$∣ z - a ∣ = b$ ：圆心为复数 $a$ 、半径为 $b$ 的圆
$∣ z - a ∣ = k ∣ z - b ∣$ （ $k \neq = 1$ ）：阿波罗尼斯圆，所有点 $z$ 到 $a$ 和 $b$ 的距离之比为 $k$
$ar g (z - a) = β$ ：从 $a$ 出发、与正实轴夹角为 $β$ 的半直线，不包含点 $a$ 本身
$ar g (\frac{z - a}{z - b}) = β$ ：经过 $a$ 和 $b$ 的一段圆弧，其中从 $z$ 指向 $a$ 和从 $z$ 指向 $b$ 的两条直线的夹角为 $β$
区域是上述形式的不等式，例如 $∣ z - a ∣ \leq b$ 是圆的内部与边界， $∣ z - a ∣ \leq ∣ z - b ∣$ 是比点 $b$ 更靠近点 $a$ 的半平面

📐 例题

绘制由 $ar g (\frac{z - 2 i}{z + 3}) = \frac{π}{4}$ 定义的轨迹，并写出对应圆的圆心坐标。

1
识别两个定点： $a = 2 i$ （坐标 $(0, 2)$ ）和 $b = - 3$ （坐标 $(- 3, 0)$ ）。
2
该轨迹是经过 $(0, 2)$ 和 $(- 3, 0)$ 的圆的一段圆弧，其中两点连线对应的圆周角为 $\frac{π}{4}$ ，位于弦的上方。
3
圆心位于点 $(- 3, 0)$ 和 $(0, 2)$ 连线的垂直平分线上。中点为 $(- 1.5, 1)$ ，弦的斜率为 $\frac{2}{3}$ ，因此垂直平分线的斜率为 $- \frac{3}{2}$ 。
4
利用圆的定理：圆心角是圆周角的两倍，因此圆心角为 $\frac{π}{2}$ 。圆心位于垂直平分线上，距离中点 $(- 1.5, 1)$ 的距离为 $\frac{13}{2}$ ，得到圆心坐标为 $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ ，半径为 $\frac{13}{2}$ 。

Exam tip:

即使你的轨迹草图没有完全按比例绘制，也务必标注定点和关键角度，以拿到全部步骤分。

4. z平面到w平面的变换★★★★☆⏱ 8 min

✓ 计算器

📘 定义

莫比乌斯变换

形式为 $w = \frac{a z + b}{cz + d}$ 的变换，其中 $a, b, c, d$ 为复常数且 $a d - b c \neq = 0$ 。这类变换将z平面中的直线和圆映射为w平面中的直线或圆。

📐 例题

变换 $w = \frac{z + 1}{z - i}$ 将z平面中的轨迹 $∣ z ∣ = 1$ 映射为w平面中的一条直线，求该直线的方程。

1
对变换式进行整理，将 $z$ 表示为因变量：
$w(z - i) = z + 1 \implies wz - wi = z + 1 \implies z(w - 1) = 1 + wi \implies z = \frac{1 + wi}{w - 1}$
2
代入原始轨迹方程 $∣ z ∣ = 1$ ：
$\left|\frac{1 + wi}{w - 1}\right| = 1$
3
利用模的性质 $\frac{A}{B} = \frac{∣ A ∣}{∣ B ∣}$ 进行化简：
$|1 + wi| = |w - 1|$
4
令 $w = u + i v$ （ $u, v$ 为实数）并代入方程：
$|1 + i(u + iv)| = |u + iv - 1| \implies |1 - v + iu| = |(u - 1) + iv|$
5
将模平方后相等，化简得到结果：
$(1 - v)^2 + u^2 = (u - 1)^2 + v^2 \implies 1 - 2v + v^2 + u^2 = u^2 - 2u + 1 + v^2 \implies u = v$

Exam tip:

当题目要求写出变换后的轨迹方程时，除非明确要求复数形式，否则最终答案务必用实坐标 $u$ 和 $v$ （其中 $w = u + i v$ ）表示。

5. 常见陷阱

错误做法:

使用主辐角范围 $0 \leq ar g (z) < 2 π$ ，而非Edexcel要求的 $- π < ar g (z) \leq π$

原因:

Edexcel明确规定了从负π到正π的约定，超出该范围的答案会丢失精度分。

正确做法:

提交最终答案前，始终通过加或减 $2 π$ 将辐角调整到 $(- π, π]$ 范围内。

错误做法:

将 $ar g (z - a) = β$ 绘制为完整的无限直线，而非半直线

原因:

辐角仅对从 $a$ 出发沿 $β$ 方向的点有定义，点 $a$ 本身的辐角是未定义的。

正确做法:

仅绘制从 $a$ 出发沿 $β$ 方向的正确方向的线段部分，并用空心圆标记点 $a$ 表示其被排除。

错误做法:

计算复数的n次方根时，忘记将 $2 π k$ 除以 $n$

原因:

n次方根的辐角间隔为 $2 π / n$ ，直接加完整的 $2 π$ 增量只会重复得到同一个根，无法得到不同的根。

正确做法:

要得到 $n$ 个不同的根，对 $k = 0, 1, ..., n - 1$ 使用辐角 $\frac{θ + 2 π k}{n}$ 。

错误做法:

假设莫比乌斯变换总是将圆映射为圆

原因:

如果z平面中的原始圆经过变换的极点（即分母为零的点 $z = - d / c$ ），它将被映射为w平面中的直线，而非圆。

正确做法:

首先检查极点是否位于原始轨迹上，以确定变换后的轨迹是直线还是圆。

错误做法:

仅对正整数 $n$ 证明棣莫弗定理，忽略 $n = 0$ 和负整数的情况

原因:

考试题目经常要求证明对所有整数 $n$ 成立，遗漏零和负整数的情况会丢失大约一半的可用分数。

正确做法:

始终包含 $n = 1$ 和 $n = 0$ 的基础情况，然后通过对正整数结果取倒数扩展到负整数 $n$ 。

6. 速查表

概念	核心公式/规则	考试提示
欧拉关系式	$e^{i θ} = cos θ + i sin θ$	如有需要可自行推导 $cos θ = \frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2}$ 和 $sin θ = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i}$
棣莫弗定理	$[r (cos θ + i sin θ)]^{n} = r^{n} (cos n θ + i sin n θ)$	通过归纳法对所有整数n证明；根的辐角间隔为 $2 π / n$
$∣ z - a ∣ = b$	圆心为 $a$ 、半径为 $b$ 的圆	区域 $∣ z - a ∣ \leq b$ 包含边界
$∣ z - a ∣ = k ∣ z - b ∣$ （ $k \neq = 1$ ）	阿波罗尼斯圆	如果 $k = 1$ ，则是点 $a$ 和 $b$ 连线的垂直平分线
$ar g (z - a) = β$	从 $a$ 出发、与实轴夹角为 $β$ 的半直线	排除点 $a$ （草图上用空心圆标记）
莫比乌斯变换	$w = \frac{a z + b}{cz + d}$	整理变换式将 $z$ 表示为因变量，代入原始轨迹方程

7. 常见问题

Edexcel采用什么主辐角约定？

Edexcel所有复数类题目严格采用 $- π < ar g (z) \leq π$ 的约定。提交最终答案前务必将辐角调整到该范围内。

考试中我需要证明棣莫弗定理吗？

是的，你可能被要求用数学归纳法证明棣莫弗定理对所有整数 $n$ 成立。公式手册仅给出结论，不包含证明过程，因此你必须熟记正整数、零和负整数情况的完整归纳步骤。

FP2试卷允许使用CAS计算器吗？

不，所有Edexcel IAL进阶数学试卷（包括FP2）都严格禁止使用CAS（计算机代数系统）计算器。标准科学计算器是允许的。

深入阅读

下一步

现在你已经掌握了Edexcel IAL FP2的进阶复数内容，可以继续学习FP2的下一个核心主题：二阶微分方程，该主题经常使用复数方法求解高阶线性方程。你还应该练习该主题的完整历年真题，熟悉每年都会出现的证明、计算和绘图类题型。确保你能快速回忆起标准轨迹和变换的步骤，在1小时30分钟的考试中节省时间。