复数（FP1）

Q: 实系数三次方程可以只有非实复根吗？

不可以。实系数多项式的非实根以共轭对形式出现，因此三次方程（3次）必须至少有1个实根，外加0或1对共轭复根。

Q: FP1复数考题需要记忆棣莫弗定理吗？

不需要。棣莫弗定理、欧拉公式和复数轨迹属于FP2考纲内容，不会在FP1复数部分考查。

Q: FP1考试中复数的辐角应该使用什么单位？

主辐角必须使用弧度，并且最终结果要落在要求的范围 内。

Edexcel 国际A-Level 进阶数学· FP1 1.1 至 1.6（2018第3版）· 25 分钟阅读

1. 复数的定义与形式★★☆☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

📘 定义

复数

可以写成笛卡尔形式 $z = a + ib$ （其中 $a, b \in R$ ， $i^{2} = - 1$ ）或极坐标形式 $z = r cos θ + i r sin θ$ （其中 $r = ∣ z ∣$ ， $θ = ar g (z)$ ）的数。

两个复数相等当且仅当它们的实部相等且虚部相等。 $z = a + ib$ 的共轭是 $z^{*} = a - ib$ ，模是 $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ ，主辐角是 $z$ 从正实轴出发的夹角，取值在 $- π$ 到 $π$ 之间。

📐 例题

对于 $z = 3 + 4 i$ ，计算 $Re (z)$ 、 $Im (z)$ 、 $z^{*}$ 、 $∣ z ∣$ 和 $z$ 的主辐角，结果保留3位有效数字。

1
1. 识别实部和虚部： $Re (z) = 3$ ， $Im (z) = 4$
2
1. 将虚部符号取反得到共轭： $z^{*} = 3 - 4 i$
3
$3. 计算模：|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$
4
1. 计算辐角： $z$ 位于第一象限，因此 $ar g (z) = arctan (\frac{4}{3}) = 0.927$ 弧度（3位有效数字）

Exam tip:

写出主辐角之前一定要先判断复数所在的象限：对于第二、第三象限的数值，需要将反正切结果调整 $\pm π$ ，使其落在 $- π < ar g (z) \leq π$ 的范围内。

2. 复数的算术运算★★★☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

复数加减运算时，将实部和虚部分别合并。乘法运算时正常展开括号，将 $i^{2}$ 替换为 $- 1$ 。除法运算时，将分子分母同时乘以分母的共轭，消去分母中的 $i$ 。复数乘积的模始终满足法则 $∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣∣ z_{2} ∣$ 。

📐 例题

已知 $z_{1} = 2 + i$ ， $z_{2} = 1 - 3 i$ ，计算 $z_{1} + z_{2}$ 、 $z_{1} z_{2}$ 、 $\frac{z _{1}}{z _{2}}$ ，并验证 $∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣∣ z_{2} ∣$ 。

1
1. 实部虚部分别相加得到和： $z_{1} + z_{2} = (2 + 1) + i (1 - 3) = 3 - 2 i$
2
1. 展开乘积并替换 $i^{2} = - 1$ ： $z_{1} z_{2} = (2) (1) + 2 (- 3 i) + i (1) + i (- 3 i) = 2 - 6 i + i + 3 = 5 - 5 i$
3
1. 乘以 $z_{2}$ 的共轭完成除法：
4
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{(2+i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)} = \frac{2 + 7i - 3}{1 + 9} = \frac{-1 + 7i}{10} = -0.1 + 0.7i$
5
1. 验证模的法则： $∣ z_{1} ∣ = 2^{2} + 1^{2} = 5$ ， $∣ z_{2} ∣ = 1^{2} + (- 3)^{2} = 10$ ，因此 $∣ z_{1} ∣∣ z_{2} ∣ = 50 = 52$ 。
6
1. 计算 $∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣5 - 5 i ∣ = 5^{2} + (- 5)^{2} = 50 = 52$ ，法则成立。

3. 阿尔冈图表示★★☆☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

阿尔冈图将复数表示为坐标为 $(Re (z), Im (z))$ 的点，或者从原点出发的向量。复数加法对应向量加法，乘以实标量会拉伸向量，取共轭会将复数沿实轴反射。

📐 例题

在阿尔冈图上画出 $z = 1 + i$ 、 $z^{*}$ 和 $z + z^{*}$ ，并描述 $z$ 和 $z^{*}$ 之间的几何关系。

1
1. 在第一象限的点 $(1, 1)$ 处画出 $z = 1 + i$ 。
2
1. 在第四象限的点 $(1, - 1)$ 处画出 $z^{*} = 1 - i$ 。
3
1. 计算 $z + z^{*} = 2 + 0 i$ ，将其画在正实轴上的点 $(2, 0)$ 处。
4
1. 几何关系： $z$ 和 $z^{*}$ 关于实轴（x轴）互为镜像。

Exam tip:

绘制阿尔冈图时一定要将坐标轴标注为'Re'（x轴）和'Im'（y轴），并且给所有画出的点标注对应的复数，才能拿到全部分数。

4. 实系数多项式的复根★★★★☆⏱ 7 min

✓ 计算器

📘 定义

共轭根定理

对于任意实系数多项式，若 $z = a + ib$ 是一个非实根，则它的共轭 $z^{*} = a - ib$ 也一定是根。实系数三次多项式至少有1个实根，实系数四次多项式有0、2或4个实根。

对于实系数二次方程，非实根始终构成共轭对。对于三次和四次方程，可以先用因式定理找到整数实根，再用共轭根定理找到非实根对，最后将多项式完全因式分解。

📐 例题

已知 $x = 2 + i$ 是 $f (x) = x^{4} - x^{3} - 5 x^{2} + 7 x + 10$ 的一个根，求 $f (x) = 0$ 的所有其他根。

1
1. 应用共轭根定理：由于系数都是实数， $x = 2 - i$ 也是一个根。
2
1. 求出这两个根对应的二次因式： $(x - (2 + i)) (x - (2 - i)) = (x - 2)^{2} + 1 = x^{2} - 4 x + 5$
3
1. 将 $f (x)$ 除以 $x^{2} - 4 x + 5$ 得到剩余的二次因式： $f (x) = (x^{2} - 4 x + 5) (x^{2} + 3 x + 2)$
4
1. 因式分解剩余二次式： $x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)$
5
1. 全部根为 $2 + i$ 、 $2 - i$ 、 $- 1$ 、 $- 2$ 。

Exam tip:

在寻找整系数多项式的实根时，优先测试±1、±2、±5、±10这类小整数值，FP1考试题目中的实根几乎都是这类数值。

5. 常见陷阱

错误做法:

将 $a + ib$ 的共轭写为 $- a + ib$ 或 $- a - ib$

原因:

混淆了共轭的定义，共轭只需要将虚部的符号取反

正确做法:

对于 $z = a + ib$ ，保持实部不变，仅将虚部的符号取反： $z^{*} = a - ib$

错误做法:

辐角使用角度为单位，或者取值超出 $- π < ar g (z) \leq π$ 的范围

原因:

Edexcel FP1明确要求主辐角使用弧度，且必须落在指定范围内

正确做法:

将角度转换为弧度，必要时调整± $2 π$ 使其符合范围，同时检查z所在的象限避免符号错误

错误做法:

假设所有四次方程都只有共轭根对，没有实根

原因:

实系数四次方程可以有0、2或4个实根，共轭对仅适用于非实根

正确做法:

先用因式定理测试整数实根，再对剩余的非实根应用共轭根定理

错误做法:

复数乘法展开时忘记将 $i^{2}$ 替换为 $- 1$

原因:

i的定义是 $i^{2} = - 1$ ，省略这一步替换会导致实部计算错误

正确做法:

展开复数乘积时，每遇到 $i^{2}$ 就立即替换为 $- 1$ ，之后再分别合并实部和虚部项

错误做法:

在FP1答案中使用结论 $ar g (z_{1} z_{2}) = ar g (z_{1}) + ar g (z_{2})$

原因:

该性质不属于FP1考纲内容，仅在FP2中考查

正确做法:

对于FP1的复数乘积几何题，仅使用 $∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣∣ z_{2} ∣$ 描述模的变化，不要使用旋转/辐角相加的推导逻辑

6. 速查表

概念	公式/法则	考试提示
复数形式	$z = a + ib = r cos θ + i r sin θ$	$a = Re (z)$ ， $b = Im (z)$ ， $r = ∣ z ∣$ ， $θ = ar g (z)$
共轭	$z^{*} = a - ib$	在阿尔冈图上将z沿实轴反射
模	$∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ ， $∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣∣ z_{2} ∣$	模的取值始终非负
相等法则	$a + ib = c + i d ⟺ a = c$ 且 $b = d$	分别对比实部和虚部求解方程
共轭根定理	实系数多项式的非实根以共轭对形式出现	三次方程至少有1个实根；四次方程有0/2/4个实根
复数除法	$\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{z _{1} z _{2}^{*}}{∣ z _{2} ∣ ^{2}}$	将分子分母同时乘以分母的共轭

7. 常见问题

实系数三次方程可以只有非实复根吗？

不可以。实系数多项式的非实根以共轭对形式出现，因此三次方程（3次）必须至少有1个实根，外加0或1对共轭复根。

FP1复数考题需要记忆棣莫弗定理吗？

不需要。棣莫弗定理、欧拉公式和复数轨迹属于FP2考纲内容，不会在FP1复数部分考查。

FP1考试中复数的辐角应该使用什么单位？

主辐角必须使用弧度，并且最终结果要落在要求的范围 $- π < ar g (z) \leq π$ 内。

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syllabusEdexcel IAL 进阶数学 2018 考纲官方FP1复数部分考纲（第1.1-1.6节）

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你现在已经掌握了Edexcel IAL FP1复数的全部核心内容。本知识点是后续FP2内容（包括棣莫弗定理、复数轨迹、变换）的基础，也和FP1中的矩阵代数、级数知识点有重叠。复数题分值占比高，几乎每套FP1试卷都会出现，因此一定要练习过往真题，提升运算和求根的速度。接下来可以学习FP1的其他核心知识点，完成整个单元的备考。