数据表示

Q: 条形图和直方图有什么区别？

条形图用于分类/离散数据，条形之间有间隙，高度等于频率。直方图用于连续分组数据，没有间隙，且面积等于频率。

Q: 如何计算组距？

组距 = 上组界 下组界。不要使用标注的组限之差，对于整数分组数据，这样会得到错误的结果。

CIE A-Level 数学· 第4单元：概率与统计1· 34 分钟阅读

1. 频率分布★☆☆☆☆⏱ 5 min

频率分布将原始数据整理为不重叠的组，展示每个组内有多少个观测值（频率）。对于未分组离散或分类数据，每个数值/类别就是一个独立的组。对于分组连续数据，我们使用组界消除相邻组之间的间隙。

📘 定义

组界

分组数据中每个组的实际上下限，经过调整以避免组间间隙

例:

对于整数数据，标注为 $10 - 19$ 的组的组界为 $9.5$ 和 $19.5$

📐 例题

以下是20名学生的身高（单位：cm）：152, 156, 161, 162, 164, 165, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 175, 176, 178, 180, 181, 183, 185。构建一个分为4个等宽组的分组频率分布。

1
计算数据的极差并得到组距：
2
$185 - 152 = 33, \quad \text{向上取整为组距 } 9$
3
确定组及其组界，然后统计频率：
4
标注组限组界频率
150-158 149.5-158.5 2
159-167 158.5-167.5 5
168-176 167.5-176.5 8
177-185 176.5-185.5 5

标注组限	组界	频率
150-158	149.5-158.5	2
159-167	158.5-167.5	5
168-176	167.5-176.5	8
177-185	176.5-185.5	5

Exam tip:

即使题目没有要求，也要写下组界，避免后续直方图计算出错。

2. 直方图★★☆☆☆⏱ 6 min

与条形图不同，直方图中每个条形的面积等于频率，而非高度。这对于不等距分组至关重要。每个条形的高度（频率密度）使用以下标准公式计算：

\text{频率密度} = \frac{\text{频率}}{\text{组距}}

📘 定义

频率密度

直方图条形的高度，经过缩放后使得条形面积等于组频率

📐 例题

某分组频率分布中， $20 - 30$ 组的频率为12， $31 - 50$ 组的频率为28。计算直方图中每个条形的高度。

1
计算每个组的组界和组距：
2
$20-30: \text{ 组距 } = 30.5 - 19.5 = 11 \\ 31-50: \text{ 组距 } = 50.5 - 30.5 = 20$
3
计算每个条形的频率密度（高度）：
4
$\text{高度}_1 = \frac{12}{11} \approx 1.09, \quad \text{高度}_2 = \frac{28}{20} = 1.4$
5
验证面积： $1.09 \times 11 = 12$ 和 $1.4 \times 20 = 28$ ，与组频率一致。

Exam tip:

CIE的直方图题目几乎都使用不等距分组，因此计算频率密度前一定要先检查组距。

3. 茎叶图★☆☆☆☆⏱ 4 min

茎叶图是一种简单的可视化表示，保留所有原始数据值，因此可以直接从图中得到中位数和四分位数。背靠背茎叶图用于比较两个分布。

📐 例题

为以下满分50分的考试分数绘制有序茎叶图：12, 45, 23, 17, 31, 25, 29, 35, 41, 19, 22, 32。

1
以十位数字作为茎，因此茎为1, 2, 3, 4。将每个茎对应的个位数字（叶）按升序排列：
2
茎叶
1 2 7 9
2 2 3 5 9
3 1 2 5
4 1 5
3
添加图例说明图表：图例： $1∣2 = 12$ 分。中位数可直接通过第6和第7个数值的平均得到： $\frac{25 + 29}{2} = 27$ 。

茎	叶
1	2 7 9
2	2 3 5 9
3	1 2 5
4	1 5

Exam tip:

在CIE评分中，缺少图例通常会被扣一个准确度分，因此每次画完茎叶图都要加上清晰的图例。

4. 箱线图★★☆☆☆⏱ 5 min

箱线图展示数据集的五数概括：最小值、下四分位数（ $Q_{1}$ ）、中位数（ $Q_{2}$ ）、上四分位数（ $Q_{3}$ ）、最大值。在CIE约定中，须一直延伸到最小值和最大值，因此两条须的总跨度展示了极差。有些题目会给出规则：某个值若小于 $Q_{1} - 1.5 \times I QR$ 或大于 $Q_{3} + 1.5 \times I QR$ （其中 $I QR = Q_{3} - Q_{1}$ ）则为异常值；这只是一项单独的计算，仅在题目要求识别异常值时使用，并不改变标准箱线图的画法。

📐 例题

某数据集的 $Q_{1} = 20$ ，中位数 $= 28$ ， $Q_{3} = 36$ ，最小值 $= 12$ ，最大值 $= 52$ 。绘制箱线图并识别异常值。

1
计算四分位距：
2
$IQR = Q_3 - Q_1 = 36 - 20 = 16$
3
计算异常值边界：
4
$\text{下界} = 20 - (1.5 \times 16) = -4 \\ \text{上界} = 36 + (1.5 \times 16) = 60$
5
所有数值都在 $- 4$ 和 $60$ 之间，因此没有异常值。从20到36绘制箱体，在28处绘制中线，须延伸到12和52。

Exam tip:

比较两个箱线图时，一定要给出两个评论：一个关于集中趋势（中位数），一个关于离散程度（四分位距/极差）。

5. 累积频率图★★★☆☆⏱ 6 min

累积频率图展示频率的累计总和。每个累积频率对应绘制在其所在组的上组界处，然后用光滑曲线连接各点。该图用于估计中位数、四分位数和百分位数，以及求出大于或小于某个值（或介于两个值之间）的数据个数或比例。

📘 定义

累积频率

直到并包括某组上组界为止的所有频率的累计总和。

例:

若组 $0 - 9$ 、 $10 - 19$ 、 $20 - 29$ 的频率为 $4, 11, 7$ ，则在组界 $9.5, 19.5, 29.5$ 处的累积频率为 $4, 15, 22$ 。

📐 例题

下表展示80个人完成一项任务所用的时间（t 分钟）。

时间（分钟）	频率
$0 \leq t < 10$	6
$10 \leq t < 20$	14
$20 \leq t < 30$	24
$30 \leq t < 40$	20
$40 \leq t < 50$	16

估计中位数和四分位距，以及用时少于25分钟的人所占比例。

1
在上组界 $10, 20, 30, 40, 50$ 处形成累积频率：
2
时间 $<$ 10 20 30 40 50
累积频率 6 20 44 64 80
3
绘制点 $(10, 6), (20, 20), (30, 44), (40, 64), (50, 80)$ 并用光滑曲线连接。
4
在累积频率 $\frac{n}{2} = 40$ 处读取中位数：
5
$\text{中位数} \approx 20 + \frac{40 - 20}{44 - 20}\times 10 \approx 28.3 \text{ 分钟}$
6
四分位数在 $\frac{n}{4} = 20$ 和 $\frac{3 n}{4} = 60$ 处读取，得到 $Q_{1} \approx 20$ 分钟、 $Q_{3} \approx 38$ 分钟，因此 $IQR \approx 18$ 分钟。
7
求少于25分钟的比例时，从 $t = 25$ 向上读取：累积频率约为 $32$ ，因此约 $\frac{32}{80} = 40%$ 的人用时少于25分钟。

时间 $<$	10	20	30	40	50
累积频率	6	20	44	64	80

Exam tip:

累积频率一定要对应上组界绘制，绝不用组中值；从曲线估计时在 $\frac{n}{2}$ （而非 $\frac{n + 1}{2}$ ）处读取中位数。

6. 集中趋势的度量★★☆☆☆⏱ 5 min

三种平均数，即集中趋势的度量，是均值、中位数和众数。对于频率分布，均值为 $\overset{x}{ˉ} = \frac{Σ f x}{Σ f}$ ；对于分组数据，用组中值作为 $x$ 。中位数是数据按顺序排列后的中间值，众数（或众数组）是频率最高的值（或组）。

\bar{x} = \frac{\Sigma x}{n} \quad \text{或} \quad \bar{x} = \frac{\Sigma f x}{\Sigma f}

📐 例题

某队在24场比赛中的进球数汇总如下。求均值、中位数和众数。

进球数 $x$	0	1	2	3	4
频率 $f$	5	8	6	3	2

1
均值：形成 $Σ f x$ 并除以 $Σ f = 24$ ：
2
$\bar{x} = \frac{(0)(5)+(1)(8)+(2)(6)+(3)(3)+(4)(2)}{24} = \frac{37}{24} \approx 1.54$
3
中位数： $n = 24$ ，中位数是第12和第13个数值的平均。累积频率为 $5, 13, \dots$ ，因此第12和第13个数值都是 $1$ ，中位数为 $1$ 。
4
众数：最高频率为 $8$ ，在 $x = 1$ 处，因此众数为 $1$ 。（对于分组连续数据，则改为说明众数组。）

Exam tip:

对于分组数据，均值只是一个估计值，因为你用组中值代替了每个组；除非另有说明，答案保留3位有效数字。

7. 离散程度的度量：极差、四分位距与标准差★★★☆☆⏱ 8 min

离散程度（变异性）由极差（ $最大值 - 最小值$ ）、四分位距（ $IQR = Q_{3} - Q_{1}$ ）以及本单元考查最重的度量——标准差来衡量。标准差是各数值到均值距离的均方根；其平方是方差。

\text{sd} = \sqrt{\frac{\Sigma x^2}{n} - \bar{x}^2} \quad \text{或} \quad \text{sd} = \sqrt{\frac{\Sigma f x^2}{\Sigma f} - \bar{x}^2}

📘 定义

标准差（S1 约定）

一种离散程度度量，除以 $n$ （或 $Σ f$ ），绝不除以 $n - 1$ 。 $n - 1$ （无偏估计）版本不在本单元使用。

例:

上面两个公式都在 MF19 公式表中给出；你只需代入总计 $Σ x$ 和 $Σ x^{2}$ 。

📐 例题

一组10个数值满足 $Σ x = 250$ 且 $Σ x^{2} = 6850$ 。求均值和标准差。

1
均值：
2
$\bar{x} = \frac{\Sigma x}{n} = \frac{250}{10} = 25$
3
标准差（除以 $n = 10$ ，而非 $9$ ）：
4
$\text{sd} = \sqrt{\frac{6850}{10} - 25^2} = \sqrt{685 - 625} = \sqrt{60} \approx 7.75$

编码使大数字更易处理：减去一个常数 $a$ 并使用总计 $Σ (x - a)$ 和 $Σ (x - a)^{2}$ ，均值平移 $a$ 但标准差不变，因为 $\overset{x}{ˉ} = a + \frac{Σ ( x - a )}{n}$ ，且 $sd = \frac{Σ ( x - a ) ^{2}}{n} - (\frac{Σ ( x - a )}{n})^{2}$ 。

📐 例题

对于五个数值 $204, 207, 201, 208, 210$ ，使用编码 $y = x - 200$ 求均值和标准差。

1
编码值 $y = x - 200$ 为 $4, 7, 1, 8, 10$ ，因此 $Σ y = 30$ ， $Σ y^{2} = 230$ ， $n = 5$ 。
2
$\bar{x} = 200 + \frac{30}{5} = 206$
3
$\text{sd} = \sqrt{\frac{230}{5} - \left(\frac{30}{5}\right)^2} = \sqrt{46 - 36} = \sqrt{10} \approx 3.16$
4
要合并两个数据集，将它们的总计相加： $n = n_{1} + n_{2}$ 、 $Σ x = Σ x_{1} + Σ x_{2}$ 、 $Σ x^{2} = Σ x_{1}^{2} + Σ x_{2}^{2}$ ，然后使用相同的公式。

Exam tip:

均值和标准差公式在 MF19 中给出，因此分数来自干净的代入：写出 $Σ x$ 和 $Σ x^{2}$ ，保持完整精度，并且始终除以 $n$ （或 $Σ f$ ），绝不除以 $n - 1$ 。

8. 常见陷阱

错误做法:

对于不等距分组，将直方图条形高度视为等于频率

原因:

这会导致条形面积错误，因此从直方图得到的所有估计都错误

正确做法:

无论组距是否相等，都要将高度计算为频率密度 = 频率 / 组距

错误做法:

忘记给茎叶图添加图例

原因:

CIE评分要求用图例确认数值代表的含义，因此缺少图例通常会被扣一个准确度分

正确做法:

绘制完成后总是添加一个简单的图例，例如 $2∣3 = 23$

错误做法:

使用标注的组限而非组界计算组距

原因:

对于10-19的组，19和10的差是9，但实际组距是10，会导致频率密度错误

正确做法:

始终用组上界减去组下界计算组距

错误做法:

在最小值或最大值之前就停止箱线图的须，并将异常值单独标为叉号

原因:

那是其他某些考试局使用的改良箱线图；在CIE约定中，须必须延伸到最小和最大数据值

正确做法:

将须画到最小值和最大值，使其展示极差；仅当题目明确要求时才单独识别异常值

错误做法:

比较两个箱线图时只评论一个特征

原因:

大多数比较题占两分，每个特征占一分

正确做法:

始终同时评论中位数（中心）的差异和离散程度（四分位距/极差）的差异

9. 速查表

图表类型	核心规则	检查要点
分组频率分布	始终先计算组界	组不重叠
直方图	面积 = 频率	高度 = 频率 ÷ 组距
茎叶图	保留所有原始数据值	必须包含清晰图例
箱线图	五数概括；须画到最小值和最大值	须展示极差；仅在要求时才标记异常值
累积频率图	在上组界处绘制累积频率	中位数在 n/2、四分位数在 n/4 和 3n/4
均值/中位数/众数	均值 = Σfx ÷ Σf	分组数据用组中值
标准差	sd = √(Σx² ÷ n − 均值²)	除以 n（或 Σf），绝不除以 n − 1
比较数据集	两个评论：一个位置，一个离散	例如中位数/均值 + IQR/标准差，结合情境

10. 常见问题

条形图和直方图有什么区别？

条形图用于分类/离散数据，条形之间有间隙，高度等于频率。直方图用于连续分组数据，没有间隙，且面积等于频率。

如何计算组距？

组距 = 上组界 $-$ 下组界。不要使用标注的组限之差，对于整数分组数据，这样会得到错误的结果。

深入阅读

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下一步

数据表示是CIE A-Level所有后续统计学主题的基础，因为在计算概率、分析关系或得出有效统计结论之前，你需要先整理和解读原始数据。无论是独立题目，还是需要你结合集中趋势和离散程度度量解读结果、或引出概率与正态分布的综合题目，都要求掌握直方图、茎叶图、累积频率图和箱线图的绘制规则，以及各汇总度量（均值、中位数、众数和标准差）。本子主题在每份试卷中几乎都占5-10分，因此在这里保持稳定的准确度可以直接转化为更高的总分。