匀加速运动方程

CIE A-Level 物理· 第2单元：运动学· 15 分钟阅读

1. 定义与基本原理推导★★☆☆☆⏱ 5 min

匀加速运动的定义是：速度变化率随时间保持恒定的运动，即整个运动过程中加速度 $a$ 的大小和方向都不改变。

📘 定义

匀加速运动

$a = constant$

整个运动过程中，加速度的大小和方向都保持恒定的一维运动

例:

忽略空气阻力时，靠近地球表面下落的物体

🔬 推导

目标:

从核心定义推导两个基础SUVAT方程

起点:

平均加速度和平均速度的定义

1
从时间间隔 $t$ 内的平均加速度定义开始：
2
$a = \frac{v - u}{t}$
3
整理得到第一个基础方程：
4
$v = u + at$
5
恒定加速度下的平均速度等于初速度和末速度的平均值：
6
$v_{\text{avg}} = \frac{u + v}{2} = \frac{s}{t}$
7
整理得到位移的第二个基础方程：
8
$s = \left( \frac{u + v}{2} \right) t$

结果:

这两个基础方程可以组合推导得到剩下三个SUVAT方程。

📐 例题

从两个基础方程推导位移方程 $s = u t + \frac{1}{2} a t^{2}$

1
将 $v = u + a t$ 代入 $s = (\frac{u + v}{2}) t$ ：
2
$s = \left( \frac{u + (u + at)}{2} \right) t$
3
化简括号内的表达式：
4
$s = \left( \frac{2u + at}{2} \right) t = \left( u + \frac{1}{2} a t \right) t$
5
展开得到最终推导的方程：
6
$s = ut + \frac{1}{2} a t^2$

2. SUVAT方程：总结与选择★★☆☆☆⏱ 3 min

变量	物理量名称	SI单位
u	初速度	m s⁻¹
v	末速度	m s⁻¹
a	恒定加速度	m s⁻²
s	净位移	m
t	时间间隔	s

Omitting s: $v = u + a t$
Omitting a: $s = (\frac{u + v}{2}) t$
Omitting v: $s = u t + \frac{1}{2} a t^{2}$
Omitting t: $v^{2} = u^{2} + 2 a s$
Omitting u: $s = v t - \frac{1}{2} a t^{2}$

📐 例题

一名骑行者从静止开始以 $1.5 m s^{- 2}$ 的加速度匀加速运动了6.0秒，求骑行者的位移。

1
列出已知和未知变量： $u = 0 m s^{- 1}$ （从静止开始）， $a = 1.5 m s^{- 2}$ ， $t = 6.0 s$ ，未知量为 $s$ 。我们需要省略 $v$ 的方程。
2
将数值代入 $s = u t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ：
3
$s = (0)(6.0) + \frac{1}{2} (1.5) (6.0)^2$
4
计算最终结果：
5
$s = 27 \text{ m}$

3. 一般直线运动的应用★★★☆☆⏱ 4 min

SUVAT方程可应用于任何恒定加速度的一维运动，最常见的问题包括车辆刹车距离、火车和短跑运动员的加速，以及沿斜面的运动。

📐 例题

一辆汽车以 $20 m s^{- 1}$ 的速度行驶，踩刹车后产生 $4.0 m s^{- 2}$ 的匀减速，计算刹车距离。

1
定义初始运动方向为正方向。变量： $u = 20 m s^{- 1}$ ， $v = 0 m s^{- 1}$ （汽车停止）， $a = - 4.0 m s^{- 2}$ （减速与运动方向相反，因此为负），未知量为 $s$ 。
2
已知u、v、a，求s，因此使用省略 $t$ 的方程： $v^{2} = u^{2} + 2 a s$
3
整理出s并代入数值：
4
$s = \frac{v^2 - u^2}{2 a} = \frac{0^2 - (20)^2}{2 (-4.0)} = \frac{-400}{-8}$
5
最终结果：
6
$s = 50 \text{ m}$

✓ 快速检测

测试你对符号约定的理解

如果在上题中错误地使用 $a = + 4.0 m s^{- 2}$ ，你会得到什么结果？
- +50 m
- -50 m
- 25 m
- 100 m
显示答案
1 —
得到不符合物理规律的负位移说明你加速度的符号错了，开始计算前请务必确认符号约定。

4. 自由落体运动的应用★★★☆☆⏱ 3 min

在CIE A-Level物理中，靠近地球表面，所有仅受重力下落的物体（忽略空气阻力）具有恒定的向下加速度，称为重力加速度，大小为 $g = 9.81 m s^{- 2}$ 。

📘 定义

自由落体

仅受重力作用的物体运动，加速度为恒定的 $g$ ，忽略空气阻力

📐 例题

一个球从地面以 $14.7 m s^{- 1}$ 的初速度竖直上抛，求到达的最大高度。

1
取向上为正方向。变量： $u = 14.7 m s^{- 1}$ ， $v = 0 m s^{- 1}$ （最大高度处速度为零）， $a = - g = - 9.81 m s^{- 2}$ （重力向下），未知量为 $s$ （高度）。
2
使用省略 $t$ 的方程： $v^{2} = u^{2} + 2 a s$
3
整理并代入数值：
4
$s = \frac{0^2 - (14.7)^2}{2 (-9.81)} = \frac{-216.09}{-19.62}$
5
最终结果（保留3位有效数字）：
6
$s = 11.0 \text{ m}$

5. 常见陷阱

错误做法:

对减速或逆重力向上运动使用正加速度

原因:

加速度是矢量，符号取决于你定义的正方向

正确做法:

始终先定义正方向，然后为所有矢量量赋予正确符号

错误做法:

加速度不恒定时使用SUVAT方程

原因:

SUVAT仅对匀（恒定）加速度有效，加速度变化时会给出错误结果

正确做法:

使用SUVAT前确认加速度恒定；非匀加速度使用积分或图像面积法求解

错误做法:

物体改变方向时，混淆净位移和总路程

原因:

SUVAT计算的是相对于起点的净位移，不是整个运动过程的总路程

正确做法:

将运动拆分为方向不变的多个段，计算每段的路程，再相加得到总路程

错误做法:

竖直抛体运动中认为最大高度处加速度为零

原因:

最大高度处速度为零，但重力仍然作用在物体上

正确做法:

即使在最大高度处，也始终使用 $a = - g$ （向上为正方向时）

错误做法:

提前将中间结果四舍五入到3位有效数字

原因:

提前四舍五入会导致最终答案出现可避免的舍入误差

正确做法:

中间步骤保留额外的有效数字，仅对最终答案四舍五入

6. 速查表

方程	省略的变量
$v = u + a t$	s
$s = \frac{( u + v )}{2} t$	a
$s = u t + \frac{1}{2} a t^{2}$	v
$v^{2} = u^{2} + 2 a s$	t
$s = v t - \frac{1}{2} a t^{2}$	u
$g = 9.81 m s^{- 2}$ （自由落体）

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

现在你已经掌握了匀加速运动（SUVAT）方程的推导和应用，你已经准备好将其应用于更复杂的运动学问题。接下来最常见的应用是抛体运动，你需要将运动分解为独立的水平和竖直分量：水平运动加速度为零，因此速度恒定；竖直运动具有重力产生的恒定加速度，因此你可以直接在这里应用SUVAT方程。你也可以继续学习牛顿运动定律，在牛顿定律中，你先根据物体受到的合外力计算加速度，再使用SUVAT方程求未知的位移、速度或时间量。对SUVAT的扎实理解是A-Level物理几乎所有力学主题的基础。