多项式函数与变化率

AP 预备微积分· 第 1 单元 · 多项式函数与有理函数· 13 分钟阅读

1. 什么是多项式函数★☆☆☆☆⏱ 3 min

本主题讨论的都是多项式函数，所以先把「什么算多项式」定清楚。非常数的多项式函数是指任何可以写成下面一般形式的函数——若干项相加，每一项都是一个实数乘以 $x$ 的非负整数次幂。

p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_2x^2 + a_1x + a_0

其中 $n$ 是正整数，每个系数 $a_{i}$ 都是实数，且首项系数 $a_{n}$ 不为零。由这个形式直接得到三个名称：

📘 定义

次数、首项、首项系数

\deg(p)=n,\quad \text{首项 } a_nx^n,\quad \text{首项系数 } a_n

次数是 $n$ ，即出现的最大指数。首项是 $a_{n} x^{n}$ ，即带这个最大指数的那一项。首项系数是 $a_{n}$ ，即首项前面的那个数。

📐 例题

对 $p (x) = 7 + x^{2} - 4 x^{5}$ ，写出它的次数、首项与首项系数。

1
先按指数从高到低重新排列，让最高次幂排在最前：
2
$p(x) = -4x^5 + x^2 + 7$
3
最大指数是 $5$ ，所以次数为 $5$ 。
4
带这个指数的项是 $- 4 x^{5}$ ，即首项；它的系数 $- 4$ 就是首项系数。
5
**答案：**次数 $5$ ，首项 $- 4 x^{5}$ ，首项系数 $- 4$ 。

有一个边界情形值得记住：像 $p (x) = 6$ 这样的非零常数函数也是多项式函数，其次数为 0。

2. 局部（相对）最大值与最小值★★☆☆☆⏱ 4 min

由主题 1.2，区间上的平均变化率是输出的改变量除以输入的改变量；由主题 1.3，它的正负给出方向：变化率为正表示函数在该处递增，为负表示递减。多项式的关键特征，恰恰出现在方向发生改变的地方。

📘 定义

局部（相对）最大值或最小值

+\ \rightarrow\ -\ :\ \text{局部最大值}\qquad -\ \rightarrow\ +\ :\ \text{局部最小值}

多项式函数在递增与递减之间切换处取到局部（相对）最大值或最小值。先增后减给出局部最大值；先减后增给出局部最小值。

📐 例题

对 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ，用 $x = - 2$ 到 $x = 2$ 之间等长区间上的平均变化率，找出局部最大值与局部最小值。

1
先在等距的输入处求值：
2
$\begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\ \hline f(x) & -2 & 2 & 0 & -2 & 2 \end{array}$
3
求每一步的平均变化率（每段 $Δ x = 1$ ）：
4
$\frac{2-(-2)}{1}=+4,\qquad \frac{0-2}{1}=-2,\qquad \frac{-2-0}{1}=-2,\qquad \frac{2-(-2)}{1}=+4$
5
四个变化率依次是 $+ 4, - 2, - 2, + 4$ 。在 $x = - 1$ 附近符号由正变负：函数由递增转为递减，因此在 $(- 1, 2)$ 处有局部最大值。
6
在 $x = 1$ 附近符号由负变正，因此在 $(1, - 2)$ 处有局部最小值。

还有第二种会出现局部最值的位置。如果多项式的定义域被限制，且端点是被包含的，那么该端点也是局部最大值或最小值——函数在那一侧已经无路可走了。

📐 例题

同一个 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ，现在只定义在受限定义域 $- 2 \leq x \leq 0$ 上。找出所有局部最大值与局部最小值。

1
在这个定义域上， $f$ 从 $x = - 2$ 到 $x = - 1$ 递增，从 $x = - 1$ 到 $x = 0$ 递减。
2
$x = - 1$ 处由递增转为递减，仍然给出 $(- 1, 2)$ 处的局部最大值。
3
两个端点都被包含，所以各自也是局部最值： $x = - 2$ 给出 $(- 2, - 2)$ 处的局部最小值， $x = 0$ 给出 $(0, 0)$ 处的局部最小值。
4
**答案：**局部最大值在 $(- 1, 2)$ ；局部最小值在被包含的端点 $(- 2, - 2)$ 与 $(0, 0)$ 。

✓ 快速检测

用这道选择题检验你的理解：

多项式 $g$ 在覆盖 $2 \leq x \leq 6$ 的四个连续等长区间上的平均变化率依次为 $- 6, - 1, + 3, + 5$ 。下列哪项正确？
- $g$ 在此范围内有局部最大值
- $g$ 在此范围内有局部最小值
- $g$ 在此范围内既有局部最大值又有局部最小值
- $g$ 在此范围内两者都没有
显示答案
1 —
变化率只变号一次，由负变正：函数停止递减、开始递增，这正是局部最小值。没有出现由正变负的切换，所以此范围内没有局部最大值。

3. 全局（绝对）最大值与最小值★★☆☆☆⏱ 3 min

当一个局部最值不只是赢过邻居、而是赢过整个函数时，它就升格为全局最值。

📘 定义

全局（绝对）最大值与最小值

\text{全局最大值 } f(c)\ :\ \text{对定义域内其他每个 } x,\ f(c) > f(x)

如果某个局部最大值大于函数所有其他的输出值，那么它就是全局（绝对）最大值。同样地，如果某个局部最小值小于所有其他输出值，它就是全局（绝对）最小值。

什么时候一定存在全局最值，由次数决定：偶次多项式函数必定有全局最大值或全局最小值之一。对二次函数而言，这个全局最大值或最小值出现在顶点处。

📐 例题

说明 $g (x) = - x^{2}$ 为什么有全局最大值，并指出它在何处取到。

1
任何实数的平方都非负，即 $x^{2} \geq 0$ ，因此对每个输入都有 $- x^{2} \leq 0$ 。
2
而 $0$ 这个值确实被取到，在 $x = 0$ 处： $g (0) = 0$ 。
3
所以输出 $0$ 大于 $g$ 的所有其他输出值——这个局部最大值就是全局（绝对）最大值。
4
$g$ 是二次函数，正如所料，全局最大值落在它的顶点 $(0, 0)$ 处。它的次数 $2$ 是偶数，也印证了「偶次多项式必有全局最大值或最小值」。

✓ 快速检测

用这道选择题检验你的理解：

对每一个 $4$ 次多项式函数，下列哪项一定成立？
- 它有全局最大值
- 它有全局最小值
- 它有全局最大值或全局最小值之一
- 它同时有全局最大值和全局最小值
显示答案
2 —
$4$ 次是偶次，而偶次多项式函数必有全局最大值或全局最小值之一——具体是哪一个取决于函数本身。它不可能两者都有：输出在其中一个方向上是无界的。

4. 两个不同实零点强制发生什么★★☆☆☆⏱ 2 min

多项式的实零点，就是使输出为 $0$ 的输入值，也就是图像与 $x$ 轴相交处的横坐标。只要知道其中两个，就能不做任何计算地断定中间那段的形状。

📘 定义

两零点之间必有转折

p(a)=p(b)=0,\ a \ne b \;\Rightarrow\; a \text{ 与 } b \text{ 之间必有局部最大值或最小值}

在非常数多项式函数的每两个不同实零点之间，必定至少存在一个对应局部最大值或局部最小值的输入值。

道理很直观：从一个零点出发，图像离开了 $x$ 轴；要到达另一个零点，它必须回到 $x$ 轴。它不可能一路只升、或一路只降就做到这件事——中间某处必须掉头。

📐 例题

多项式 $p$ 有实零点 $x = - 4$ 、 $x = 1$ 、 $x = 6$ ，此外没有其他实零点。由此能对 $p$ 的局部最值得出什么结论？

1
把零点按相邻两两配对： $(- 4, 1)$ 与 $(1, 6)$ 。
2
在 $x = - 4$ 与 $x = 1$ 之间，必定至少有一个局部最大值或局部最小值。
3
在 $x = 1$ 与 $x = 6$ 之间，同样必定至少有一个局部最大值或局部最小值。
4
答案： $p$ 至少有两个局部最值，一个在 $- 4 < x < 1$ 内，另一个在 $1 < x < 6$ 内。仅凭零点无法确定它们的确切位置，也无法确定各自是最大值还是最小值。

5. 拐点★★★☆☆⏱ 3 min

到目前为止我们用的都是变化率的正负。最后一个特征来自对同一组数字提出另一个问题：变化率本身是在变大还是在变小？

这就是主题 1.3 的凹凸性。变化率递增的区间上，图像上凹（concave up）；变化率递减的区间上，图像下凹（concave down）。而两者切换的那个位置，有专门的名字。

📘 定义

拐点

\text{变化率：递增} \leftrightarrow \text{递减} \;\Longleftrightarrow\; \text{上凹} \leftrightarrow \text{下凹}

多项式函数的拐点出现在使函数的变化率由递增转为递减、或由递减转为递增的输入值处。等价地说，它就是图像由上凹转为下凹、或由下凹转为上凹的位置。

📐 例题

仍用 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 在 $- 2 \leq x \leq 2$ 上的那组变化率，确定拐点。

1
四个等长区间上的平均变化率依次是 $+ 4, - 2, - 2, + 4$ 。
2
从左往右看，变化率先下降（由 $+ 4$ 降到 $- 2$ ）：这一段变化率在递减，所以图像下凹。
3
随后变化率回升（由 $- 2$ 升回 $+ 4$ ）：这一段变化率在递增，所以图像上凹。
4
变化率在 $x = 0$ 处由递减转为递增，因此 $(0, 0)$ 是拐点。

✓ 快速检测

用这道选择题检验你的理解：

多项式 $h$ 在五个连续等长区间上的平均变化率依次为 $+ 1, + 4, + 9, + 7, + 2$ 。下列哪项正确？
- $h$ 在此范围内有局部最大值
- $h$ 在此范围内有拐点
- $h$ 在整个范围内都是上凹的
- $h$ 在此范围内某处递减
显示答案
1 —
所有变化率都为正，所以 $h$ 全程递增，既没有局部最值，也没有递减的地方。但变化率先升（ $1, 4, 9$ ）后降（ $9, 7, 2$ ）：变化率由递增转为递减，这正是拐点，图像在此由上凹转为下凹。

6. 常见陷阱

错误做法:

把看得见的那段图像里最高的转折点当成全局最大值。

原因:

全局最大值必须大于函数所有其他的输出值。很多多项式（例如 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ）有局部最值，却因为输出无界而根本没有全局最值。

正确做法:

看整个函数，而不是可见窗口。只有当函数输出中没有任何值能超过它时才能称全局最值——而保证全局最值存在的条件是偶次次数。

错误做法:

定义域受限时忽略端点。

原因:

在受限定义域被包含的端点处，多项式取到局部最大值或最小值，尽管函数在那里并没有改变方向。

正确做法:

把内部的方向切换点和每一个被包含的端点都列为局部最值的候选。

错误做法:

把写在最前面的那一项当作首项。

原因:

在 $p (x) = 5 - 2 x^{3} + x$ 中写在最前的是 $5$ ，但首项是指数最大的那一项 $- 2 x^{3}$ 。

正确做法:

先按次数从高到低重排，再从最高次项读出次数、首项与首项系数。

错误做法:

把拐点当成函数改变方向的地方。

原因:

那描述的是局部最大值或最小值。拐点是变化率由递增转为递减（或反之）的位置——函数本身在拐点两侧完全可以一直递增。

正确做法:

先问清楚是哪个量在切换：函数方向切换给出局部最值；变化率方向切换才给出拐点。

错误做法:

只知道零点时认为对图形一无所知。

原因:

两个不同的实零点已经强制它们之间至少有一个局部最大值或最小值，因为图像必须离开 $x$ 轴再回到 $x$ 轴。

正确做法:

把相邻的不同实零点两两配对，记下每一对之间至少存在一个局部最值。

7. 速查表

概念	定义 / 法则	关键说明
多项式函数	$p (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ ， $n$ 为正整数， $a_{n} \neq = 0$	非零常数是 $0$ 次多项式
次数	出现的最大指数 $n$	先按次数从高到低重排再读
首项 / 首项系数	$a_{n} x^{n}$ / $a_{n}$	取自最高次项，不是写在最前的项
递增 / 递减	变化率为正 / 为负	由符号给出方向
局部（相对）最大值或最小值	函数在递增 $\leftrightarrow$ 递减之间切换处	受限定义域被包含的端点处也是
全局（绝对）最大值	大于所有其他输出值的局部最大值	并非每个多项式都有
全局（绝对）最小值	小于所有其他输出值的局部最小值	并非每个多项式都有
偶次次数	必有全局最大值或全局最小值之一	二次函数出现在顶点处
两个不同实零点	它们之间至少有一个局部最大值或最小值	图像必须离开 $x$ 轴再回来
拐点	变化率在递增 $\leftrightarrow$ 递减之间切换处	等同于上凹 $\leftrightarrow$ 下凹

下一步

现在你已经能从变化率读出多项式的关键特征：它在哪里转折、哪些转折是全局的、零点之间强制发生什么，以及凹凸性在哪里翻转。主题 1.5《多项式函数与复零点》将直接研究这些零点—— $n$ 次多项式有多少个零点、重数对图像意味着什么，以及非实零点如何成对出现。