多项式函数与复零点

AP 预备微积分· 第 1 单元 · 多项式函数与有理函数· 14 分钟阅读

1. 零点、线性因式与重数★★☆☆☆⏱ 4 min

多项式函数 $p$ 的零点，是使输出为 $0$ 的那个输入。同一个数也叫方程 $p (x) = 0$ 的根——一个概念的两种叫法。零点可以是实数，也可以是非实的复数。

📘 定义

零点与线性因式

p(a)=0 \iff (x-a) \mid p(x)

若 $a$ 是复数且 $p (a) = 0$ ，则 $a$ 是 $p$ 的零点。若 $a$ 是实数，则 $(x - a)$ 是 $p$ 的线性因式，当且仅当 $a$ 是 $p$ 的零点。

同一个因式可以出现不止一次，这种重复用重数记录。

📘 定义

重数

\deg p = n \;\Longrightarrow\; \text{计重数后恰有 } n \text{ 个复零点}

若线性因式 $(x - a)$ 在分解式中重复出现 $n$ 次，则对应的零点 $a$ 的重数为 $n$ 。计入重数后， $n$ 次多项式函数恰有 $n$ 个复零点。

📐 例题

写出 $p (x) = (x + 2) (x - 1)^{2} (x^{2} + 4)$ 的所有复零点及其重数，并核对个数与次数是否相符。

1
从各因式读出零点。由 $(x + 2)$ ：零点 $- 2$ ，只出现一次，重数为 $1$ 。
2
由 $(x - 1)^{2}$ ：零点 $1$ ，重数为 $2$ 。
3
由 $x^{2} + 4$ ：解 $x^{2} = - 4$ ，得非实零点 $2 i$ 与 $- 2 i$ ，各重数为 $1$ 。
4
再核对个数。相乘后次数为 $1 + 2 + 2 = 5$ ，而计入重数的零点是 $- 2, 1, 1, 2 i, - 2 i$ ——恰好 $5$ 个，与次数一致。
5
答案： $- 2$ （重数 1）、 $1$ （重数 2）、 $2 i$ 与 $- 2 i$ （各重数 1）；5 次多项式共 5 个复零点。

2. 实零点：x 截距与多项式不等式★★☆☆☆⏱ 3 min

图像上能看见的只有实零点，而每一个实零点都把曲线钉在 $x$ 轴上。

📘 定义

实零点在图像上

p(a)=0,\ a \in \mathbb{R} \;\Longrightarrow\; (a,\,0) \text{ 在图像上}

若 $a$ 是 $p$ 的实零点，则 $y = p (x)$ 的图像在点 $(a, 0)$ 处有一个 $x$ 截距。因此，实零点正是 $p (x) \geq 0$ 或 $p (x) \leq 0$ 成立区间的端点。

后半句成立的原因是：多项式只能通过取 $0$ 来改变符号，所以在相邻两个实零点之间，输出的符号自始至终不变。于是解不等式就化成了「每个区间里取一个点试一下」。

📐 例题

对 $p (x) = (x + 2) (x - 1)^{2} (x^{2} + 4)$ ，解不等式 $p (x) \leq 0$ 。

1
实零点是 $- 2$ 与 $1$ （因式 $x^{2} + 4$ 对实数 $x$ 恒不为零，因为 $x^{2} + 4 \geq 4$ ）。它们把数轴切成 $x < - 2$ 、 $- 2 < x < 1$ 、 $x > 1$ 三段。
2
每段取一个值代入。 $x = - 3$ ： $(- 1) (16) (13) < 0$ ； $x = 0$ ： $(2) (1) (4) = 8 > 0$ ； $x = 2$ ： $(4) (1) (8) > 0$ 。
3
所以 $p$ 只在 $x < - 2$ 上为负，而在零点处 $p$ 恰为 $0$ ， $\leq$ 号把它们包含在内。
4
答案： $p (x) \leq 0$ 的解集为 $x \leq - 2$ ，再加上孤立的一点 $x = 1$ 。

3. 非实零点共轭成对★★☆☆☆⏱ 3 min

在实系数多项式里，非实零点从不单独出现。

📘 定义

共轭成对

p(a+bi)=0 \;\Longrightarrow\; p(a-bi)=0

若 $a + bi$ 是多项式函数 $p$ 的非实零点，则它的共轭 $a - bi$ 也是 $p$ 的零点。

这也是我们那个贯穿例子里会出现 $x^{2} + 4$ 的原因： $2 i$ 与 $- 2 i$ 这一对乘回去正好是一个实二次式， $(x - 2 i) (x + 2 i) = x^{2} + 4$ 。每一对共轭都会这样合并成一个实二次因式。

📐 例题

实系数的 3 次多项式函数 $q$ 有零点 $4$ 和 $1 - 3 i$ 。求它的第三个零点，并把 $q$ 写成实系数因式的乘积。

1
非实零点成对出现，所以共轭 $1 + 3 i$ 也必是零点。这样就有三个零点，对 3 次多项式而言已经齐了。
2
把这对共轭合并成实二次式：
3
$\bigl(x-(1-3i)\bigr)\bigl(x-(1+3i)\bigr) = (x-1)^2 - (3i)^2 = x^2-2x+1+9 = x^2-2x+10$
4
**答案：**第三个零点是 $1 + 3 i$ ，且 $q (x) = a (x - 4) (x^{2} - 2 x + 10)$ ，其中 $a$ 为非零实常数。

多项式的 **odd degree（奇次）**指最高次数是奇数—— $3$ 、 $5$ 、 $7$ 等等。仅凭这一点，再结合共轭成对，就能对实零点下一个结论。

4. 偶重数：相切而非穿过★★★☆☆⏱ 3 min

重数的作用不止是凑齐个数——它还决定了图像在那个截距处的行为。

📘 定义

偶重数

a \text{ 处重数为偶} \;\Longrightarrow\; \text{图像在 } (a,0) \text{ 与 } x \text{ 轴相切}

若实零点 $a$ 的重数为偶数，则在 $x = a$ 附近两侧，输出值的符号相同。对这类多项式函数，图像在 $x = a$ 处与 $x$ 轴相切——碰到轴后又折回去，而不是穿过。

📐 例题

对 $p (x) = (x + 2) (x - 1)^{2} (x^{2} + 4)$ ，判断图像在每个实零点处是穿过 $x$ 轴还是与之相切。

1
在 $x = - 2$ 处因式是 $(x + 2)^{1}$ ——重数 $1$ ，为奇数。验证符号： $p (- 2.1) \approx - 8.1$ ， $p (- 1.9) \approx 6.4$ ，异号，所以图像在此穿过。
2
在 $x = 1$ 处因式是 $(x - 1)^{2}$ ——重数 $2$ ，为偶数。验证符号： $p (0.9) \approx 0.14$ ， $p (1.1) \approx 0.16$ ，同为正。
3
两侧同号意味着图像下降到 $(1, 0)$ 后又升回去，并不穿过：它与 $x$ 轴相切。
4
**答案：**在 $(- 2, 0)$ 穿过；在 $(1, 0)$ 相切。

5. 用逐次差分求次数★★★☆☆⏱ 3 min

如果给你的是一张数表而不是解析式，次数仍然求得出来——办法是作差，也就是主题 1.3 里显示「二次函数的变化率成线性规律」的那套手法。

📘 定义

逐次差分

n \text{ 阶差分为常数} \;\Longrightarrow\; \deg p = n

取等距输入上的输出值，反复作差。多项式函数的次数就是使逐次 $n$ 阶差分恒为常数的最小 $n$ 。

这不是一条要背的规律——为什么成立是看得见的。把一般二次式 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 的相邻两项相减： $f (x + 1) - f (x) = 2 a x + (a + b)$ ，其中 $a x^{2}$ 在两边都出现、正好抵消，剩下的东西低了一次。每一级的最高次项都这样抵消，所以每差分一轮，次数就降 1。于是 $n$ 次多项式沿 $n \to n - 1 \to \dots \to 0$ 一路下降，恰好 $n$ 轮后到达常数（0 次的一行）——这就是「第一行常数」告诉你次数的原因。

📐 例题

多项式函数 $f$ 在等距输入上的取值如下。求它的次数。

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$1$	$2$	$9$	$28$	$65$

1
一阶差分： $2 - 1 = 1$ ， $9 - 2 = 7$ ， $28 - 9 = 19$ ， $65 - 28 = 37$ ——即 $1, 7, 19, 37$ ，不是常数。
2
二阶差分： $7 - 1 = 6$ ， $19 - 7 = 12$ ， $37 - 19 = 18$ ——即 $6, 12, 18$ ，仍不是常数。
3
三阶差分： $12 - 6 = 6$ ， $18 - 12 = 6$ ——恒为 $6$ 。
4
三阶差分是第一个恒为常数的，所以最小的那个 $n$ 是 $3$ 。
5
答案： $f$ 的次数为 $3$ 。（这组数据来自 $f (x) = x^{3} + 1$ 。）

6. 奇函数与偶函数★★☆☆☆⏱ 3 min

本主题最后要问的是：这个多项式有没有对称性。有两种有名字的情形，每种都有一个图像上的说法和一个代数上的判据。

最快能体会到区别的办法，是代入一对相反的输入、比较输出。对 $g (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ ： $g (2) = 4$ ， $g (- 2) = 4$ ——一样。对 $h (x) = x^{3} - 3 x$ ： $h (2) = 2$ ，但 $h (- 2) = - 2$ ——相反。下面两个定义描述的正是这两种行为。

📘 定义

偶函数

f(-x)=f(x)

偶函数的图像关于直线 $x = 0$ （即 $y$ 轴）对称，解析上满足 $f (- x) = f (x)$ 。若 $n$ 为偶数，则 $p (x) = a_{n} x^{n}$ （ $n \geq 1$ ， $a_{n} \neq = 0$ ）是偶函数。

📘 定义

奇函数

f(-x)=-f(x)

奇函数的图像关于点 $(0, 0)$ 对称（绕原点旋转半周不变），解析上满足 $f (- x) = - f (x)$ 。若 $n$ 为奇数，则 $p (x) = a_{n} x^{n}$ （ $n \geq 1$ ， $a_{n} \neq = 0$ ）是奇函数。

📐 例题

判断下列各函数是偶函数、奇函数还是都不是：(a) $f (x) = 3 x^{4} - 2 x^{2}$ ；(b) $g (x) = x^{3} - 4 x$ ；(c) $h (x) = x^{2} + x$ 。

1
(a) 用 $- x$ 代 $x$ ： $f (- x) = 3 (- x)^{4} - 2 (- x)^{2} = 3 x^{4} - 2 x^{2} = f (x)$ 。所有指数都是偶数，符号不变—— $f$ 是偶函数。
2
(b) $g (- x) = (- x)^{3} - 4 (- x) = - x^{3} + 4 x = - (x^{3} - 4 x) = - g (x)$ 。所有指数都是奇数，每一项都变号—— $g$ 是奇函数。
3
(c) $h (- x) = (- x)^{2} + (- x) = x^{2} - x$ 。它既不等于 $h (x)$ 也不等于 $- h (x)$ ，因为指数奇偶混杂—— $h$ 都不是。
4
答案：(a) 偶函数，(b) 奇函数，(c) 都不是。

✓ 快速检测

用这道选择题检验你的理解：

实系数多项式函数 $p$ 的次数为 $4$ ，在 $x = 3$ 处有一个重数为 $2$ 的零点，且 $x = - i$ 也是它的零点。下列哪项一定成立？
- $p$ 有四个互不相同的零点
- $p$ 的图像在 $(3, 0)$ 处与 $x$ 轴相切
- $p$ 的图像在 $(3, 0)$ 处穿过 $x$ 轴
- $p$ 是偶函数
显示答案
1 —
$x = 3$ 处重数为偶，所以两侧输出同号，图像在那里与 $x$ 轴相切。它的零点是 $3, 3, - i, i$ ——只有三个互不相同的值，而共轭 $i$ 是由 $- i$ 强制出现的。题目条件也推不出 $p$ 是偶函数。

7. 常见陷阱

错误做法:

只数多项式互不相同的零点。

原因:

次数数的是计入重数的零点。对 $(x + 2) (x - 1)^{2} (x^{2} + 4)$ ，互不相同的零点有四个，但次数是 $5$ ，零点 $1$ 必须数两次。

正确做法:

按因式重复的次数把每个零点重复列出，再核对总数是否等于次数。

错误做法:

以为图像在每个实零点处都穿过 $x$ 轴。

原因:

偶重数会让两侧输出保持同号，图像因此与 $x$ 轴相切、折回去，而不是穿过。

正确做法:

先看每个实零点的重数：奇 → 穿过，偶 → 相切。

错误做法:

给出非实零点却漏掉它的共轭。

原因:

实系数下非实零点成对出现。只报 $1 - 3 i$ 不报 $1 + 3 i$ ，会使零点个数对不上。

正确做法:

每个非实零点都配上共轭；在实数范围内分解时，把这一对合并成一个实二次因式。

错误做法:

对输入不等距的数表作差。

原因:

用逐次差分求次数的前提是输入步长相等；间隔不规则时，差分不携带任何关于次数的信息。

正确做法:

先确认 $x$ 值是按固定步长递增的，再对输出反复作差直到某一行恒为常数。

错误做法:

把任何偶次多项式都叫作偶函数。

原因:

次数和奇偶性是两回事。 $h (x) = x^{2} + x$ 次数为偶，但 $h (- x) = x^{2} - x \neq = h (x)$ ，所以它既不是偶函数也不是奇函数。

正确做法:

用 $f (- x)$ 与 $f (x)$ 、 $- f (x)$ 比较，或检查出现的指数是否全偶（偶函数）、全奇（奇函数）。

8. 速查表

概念	结论	关键说明
零点 / 根	$p (a) = 0$	同一件事的两种叫法；可以是实数也可以是非实数
线性因式	对实数 $a$ ： $(x - a)$ 是因式 $⟺$ $a$ 是零点	两个方向都成立
重数	$(x - a)$ 重复 $n$ 次	零点 $a$ 要数 $n$ 次
零点个数	次数为 $n$ $\Rightarrow$ 恰有 $n$ 个复零点	计入重数
实零点在图像上	在 $(a, 0)$ 处有 $x$ 截距	实零点即 $p (x) \geq 0$ / $\leq 0$ 的区间端点
共轭成对	$a + bi$ 是零点 $\Rightarrow$ $a - bi$ 也是	因此奇次必有至少一个实零点
奇重数	跨过该零点时符号改变	图像穿过 $x$ 轴
偶重数	跨过该零点时符号不变	图像与 $x$ 轴相切
由数表求次数	使 $n$ 阶差分恒为常数的最小 $n$	输入必须等距
偶函数	$f (- x) = f (x)$	关于 $x = 0$ 对称； $a_{n} x^{n}$ 中 $n$ 为偶
奇函数	$f (- x) = - f (x)$	关于 $(0, 0)$ 对称； $a_{n} x^{n}$ 中 $n$ 为奇

下一步

现在你能把多项式的零点完整读出来——有多少个、哪些在图像上看得见、哪些成对出现、曲线在哪儿穿过又在哪儿相切——还能由数表求次数、判断对称性。主题 1.6《多项式函数与端行为》将转向图像两端的走向，那里由首项说了算。