多项式函数与变化率 — AP 预备微积分

1. 什么是多项式函数 ★☆☆☆☆ ⏱ 3 min

本主题讨论的都是**多项式**函数，所以先把「什么算多项式」定清楚。非常数的多项式函数是指任何可以写成下面一般形式的函数——若干项相加，每一项都是一个实数乘以 $x$ 的非负整数次幂。

p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_2x^2 + a_1x + a_0

其中 $n$ 是**正整数**，每个系数 $a_i$ 都是实数，且首项系数 $a_n$ **不为零**。由这个形式直接得到三个名称：

有一个边界情形值得记住：像 $p(x) = 6$ 这样的**非零常数**函数也是多项式函数，其次数为 **0**。

2. 局部（相对）最大值与最小值 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min

由主题 1.2，区间上的**平均变化率**是输出的改变量除以输入的改变量；由主题 1.3，它的**正负**给出方向：变化率为正表示函数在该处递增，为负表示递减。多项式的关键特征，恰恰出现在方向发生改变的地方。

还有第二种会出现局部最值的位置。如果多项式的**定义域被限制**，且端点是**被包含**的，那么该端点也是局部最大值或最小值——函数在那一侧已经无路可走了。

3. 全局（绝对）最大值与最小值 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min

当一个局部最值不只是赢过邻居、而是赢过整个函数时，它就升格为**全局**最值。

什么时候一定存在全局最值，由次数决定：**偶次**多项式函数必定有全局最大值或全局最小值之一。对**二次**函数而言，这个全局最大值或最小值出现在**顶点**处。

4. 两个不同实零点强制发生什么 ★★☆☆☆ ⏱ 2 min

多项式的实零点，就是使输出为 $0$ 的输入值，也就是图像与 $x$ 轴相交处的横坐标。只要知道其中两个，就能不做任何计算地断定中间那段的形状。

道理很直观：从一个零点出发，图像离开了 $x$ 轴；要到达另一个零点，它必须回到 $x$ 轴。它不可能一路只升、或一路只降就做到这件事——中间某处必须掉头。

5. 拐点 ★★★☆☆ ⏱ 3 min

到目前为止我们用的都是变化率的**正负**。最后一个特征来自对同一组数字提出另一个问题：变化率本身是在变大还是在变小？

这就是主题 1.3 的凹凸性。变化率**递增**的区间上，图像**上凹**（concave up）；变化率**递减**的区间上，图像**下凹**（concave down）。而两者切换的那个位置，有专门的名字。