学习指南

圆周运动与引力

IB 物理 SL· Unit 1: Space, time and motion, Topic 4· 45 分钟阅读

1. 匀速圆周运动与向心加速度★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

匀速圆周运动

物体以恒定速率（速度大小恒定）沿圆周轨迹的运动

例:

汽车以恒定30 m/s在水平弯道转弯

尽管物体的速率恒定，但沿圆周运动时速度方向不断改变。这意味着物体存在非零加速度，且该加速度始终指向圆心，因此被称为向心（指向圆心的）加速度。

ac=v2r=ω2ra_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r

其中 是线速度， 是圆的半径， 是角速度，单位为弧度每秒。

📐 例题

一名儿童在旋转木马上，距离中心2.5 m，以0.4 rad s⁻¹的恒定角速度运动。计算他的向心加速度大小。

  1. 1

    确定已知量：

  2. 2
    r=2.5 m,ω=0.4 rad s−1r = 2.5 \ \text{m}, \omega = 0.4 \ \text{rad s}^{-1}
  3. 3

    代入向心加速度公式：

  4. 4
    ac=ω2r=(0.4)2×2.5=0.16×2.5=0.4 m s−2a_c = \omega^2 r = (0.4)^2 \times 2.5 = 0.16 \times 2.5 = 0.4 \ \text{m s}^{-2}

Exam tip:

请始终记住：匀速圆周运动中，向心加速度的大小是恒定的，但方向不断变化，始终指向圆心。

2. 向心力★★☆☆☆⏱ 12 min

📘 定义

向心力

FcF_c

作用在物体上，维持物体做匀速圆周运动的合外力，方向始终指向圆心

根据牛顿第二定律 ()，我们可以得到向心力的大小：

Fc=mac=mv2r=mω2rF_c = m a_c = \frac{mv^2}{r} = m \omega^2 r
📐 例题

一辆质量900 kg的汽车以12 m/s的恒定速率转弯，弯道是半径为45 m的水平圆弧。求不发生打滑所需的轮胎与路面之间的最小静摩擦系数。

  1. 1

    向心力完全由静摩擦力提供，因此 ：

  2. 2
    μsN=mv2r\mu_s N = \frac{mv^2}{r}
  3. 3

    支持力等于汽车重力，因此 ，两边质量可以消去：

  4. 4
    μsg=v2r\mu_s g = \frac{v^2}{r}
  5. 5

    整理得到的表达式并代入数值 ()：

  6. 6
    μs=v2rg=12245×9.81≈0.33\mu_s = \frac{v^2}{rg} = \frac{12^2}{45 \times 9.81} \approx 0.33

3. 牛顿万有引力定律★★★☆☆⏱ 15 min

📘 定义

牛顿万有引力定律

任意两个质点都相互吸引，引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们中心之间距离的平方成反比。

F=GMmr2F = G \frac{M m}{r^2}

其中 是万有引力常数， 和 是两个质点的质量， 是两质点中心之间的距离。对于均匀球体，该定律可以直接使用。

📐 例题

计算地球（质量 kg）与站在地球表面、质量为70 kg的人之间的引力，已知地球半径为 m。

  1. 1

    将所有数值代入引力公式：

  2. 2
    F=(6.67×10−11)(5.97×1024)(70)(6.37×106)2F = \frac{(6.67 \times 10^{-11})(5.97 \times 10^{24})(70)}{(6.37 \times 10^6)^2}
  3. 3

    分别计算分子和分母：

  4. 4
    F≈2.79×10164.06×1013≈687 NF \approx \frac{2.79 \times 10^{16}}{4.06 \times 10^{13}} \approx 687 \ \text{N}
  5. 5

    该结果与预期的体重 N 一致，验证了计算的正确性。

4. 引力与圆周轨道运动★★★☆☆⏱ 15 min

当较小质量天体绕较大质量中心天体做稳定圆周运动时，引力恰好提供维持圆周运动所需的向心力。利用这个关系我们可以推导轨道的关键性质。

🔬 推导
目标:

推导圆周轨道的开普勒第三定律

起点:

从引力与向心力相等出发

  1. 1
    1. 力相等： 。环绕天体质量 被消去：
  2. 2
    v2=GMrv^2 = \frac{G M}{r}
  3. 3
    1. 轨道速度是 ，代入方程：
  4. 4
    4π2r2T2=GMr\frac{4 \pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G M}{r}
  5. 5
    1. 整理得到 和 的关系：
结果:

→ 对于绕同一中心天体M的所有轨道，轨道周期的平方与轨道半径的立方成正比。

📐 例题

国际空间站在距离地球表面400 km高度绕地球运行。地球半径 = 6370 km，质量 = kg。计算国际空间站的轨道周期，单位为分钟。

  1. 1
    1. 计算轨道半径（高度加地球半径）：
  2. 2
    r=6370+400=6770 km=6.77×106 mr = 6370 + 400 = 6770 \ \text{km} = 6.77 \times 10^6 \ \text{m}
  3. 3
    1. 代入开普勒第三定律：
  4. 4
    T2=4π2r3GM=4π2(6.77×106)3(6.67×10−11)(5.97×1024)≈3.07×107T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{G M} = \frac{4 \pi^2 (6.77 \times 10^6)^3}{(6.67 \times 10^{-11})(5.97 \times 10^{24})} \approx 3.07 \times 10^7
  5. 5
    1. 求解T并转换为分钟单位：
  6. 6
    T=3.07×107≈5540 s=554060≈92 minutesT = \sqrt{3.07 \times 10^7} \approx 5540 \ \text{s} = \frac{5540}{60} \approx 92 \ \text{minutes}

5. 常见陷阱

错误做法:

在受力图中将向心力当成额外的独立力

原因:

向心力是合外力，不是一种新的相互作用力。额外添加它会导致错误的力平衡。

正确做法:

只画出实际存在的力（张力、摩擦力、引力），然后对指向圆心的力求和，令其等于 。

错误做法:

在引力计算中使用高度而非轨道半径

原因:

轨道半径是从中心天体的中心开始测量的，不是从表面。这个错误会导致结果出现很大误差。

正确做法:

始终要将中心天体的半径与高度相加得到 。

错误做法:

认为向心加速度方向背离圆心向外

原因:

与旋转参考系中的虚拟离心力混淆，IB物理不使用旋转参考系。

正确做法:

对于惯性参考系（IB考试使用的标准参考系），向心加速度始终指向圆心。

错误做法:

推导轨道速度时将 和 两个质量都消去

原因:

学生经常不小心消去中心天体质量 ，导致公式错误。

正确做法:

只有环绕天体质量 会被消去，中心天体质量 始终保留在最终公式中。

错误做法:

引力使用反比关系 而非平方反比关系

原因:

简单的记忆错误，会导致所有结果出错。

正确做法:

记住引力遵循平方反比定律： 。

6. 速查表

概念

公式

要点

向心加速度

方向指向圆心

向心力

是合外力，不是额外力

牛顿引力定律

= 两中心之间的距离

轨道周期（圆周）

= 中心天体质量

轨道速度

与环绕天体质量 无关

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

  • 2023 · 2

    轨道速度计算题

  • 2022 · 1

    向心力方向选择题

  • 2021 · 2

    开普勒第三定律推导题

深入阅读

下一步

圆周运动与引力是经典力学的核心基础，支撑了从转动到天体物理的多个主题。掌握本子主题对考试成功至关重要，因为它在IB物理SL的选择题和扩展回答题中都频繁出现。理解引力如何为稳定轨道提供向心力是所有天体物理计算的基础，你将在IB天体物理选修模块中进一步学习。圆周运动的原理也可以拓展到HL主题如转动动力学中，你会将这些概念推广到刚体转动。接下来，你将在这些力学概念的基础上，研究运动系统中的能量变化和功。