IB Physics SL 测量与不确定度 — 完整学习指南

适用对象：备考 IB Physics SL 的中国学生。

本章覆盖：IB Topic 1 — SI 基本单位与前缀、科学计数法、准确度 vs 精度、绝对与百分比不确定度、加减/乘除/幂的传播规则、图像分析、最佳拟合直线及斜率不确定度。

关于练习题的说明：下文练习题均为我们按 IB Physics SL 风格原创的教学题。

1. 为什么测量重要

Topic 1 直接占考试约 5%，但每道Paper 3 实验题与 IA 报告都依赖它。每个数值答案都应有单位、有效数字、不确定度 — 这里失分是 IB 物理最常见可避免的错。

2. SI 基本单位与前缀

7 个 SI 基本单位；IB 物理重点：

导出单位：$\text{N}={\text{kgcdotpmcdotps}}^{-2}$、$\text{J}=\text{Ncdotpm}$、$\text{W}={\text{Jcdotps}}^{-1}$、$\text{Pa}={\text{Ncdotpm}}^{-2}$。

常用前缀（必背）：tera ($10^{12}$)、giga ($10^9$)、mega ($10^6$)、kilo ($10^3$)、milli ($10^{-3}$)、micro ($10^{-6}$)、nano ($10^{-9}$)、pico ($10^{-12}$)。

3. 准确度 vs 精度

• 准确度 = 测量值离真实值多近。校准不良的电压表不准确。
• 精度 = 多次测量彼此多接近。读数抖动的电压表不精密。

随机误差降精度（重复实验取平均可减小）。系统误差降准确度（校准是唯一办法，平均无效）。

4. 绝对与百分比不确定度

测量 $x\pm \Delta x$：

• 绝对不确定度：$\Delta x$（与 $x$ 同单位）。
• 百分比不确定度：$\Delta x/x\times 100\%$。

模拟仪表常规：$\Delta x=$ 最小分度的一半。数字仪表：$\Delta x=$ 显示的最小单位。

5. 误差传播规则

由测量 $x,y$ 推导出量 $z$：

绝对不确定度保留 1 有效数字，再把值四舍五入到与不确定度相同小数位。

6. 图像分析

怀疑 $y=mx+c$ 时：

1. 画 $y$ vs $x$ 含误差棒。
2. 目测最佳拟合直线（点上下平衡）。
3. 用直线上相距远的两点求斜率：$m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$。
4. 斜率不确定度：穿过误差棒画最大/最小斜率线，\Delta m \approx (m_\max - m_\min)/2。

非线性关系要变换成线性 — 如 $y=a{x}^2$ → 画 $y$ vs $x^2$，斜率 $=a$。

7. 例题精讲

某摆周期 $T$ 测 5 次：1.97、2.01、1.99、2.03、1.98 s。摆长 $L=1.00\pm 0.01$ m。

(a) 求平均 $T$ 和其不确定度。 (b) 理论 $T=2\pi \sqrt{L/g}$。求 $g$ 及其不确定度。

解答。

(a) $\bar{T}=9.98/5=1.996$ s。半范围法：$\Delta T=(2.03-1.97)/2=0.03$ s。 $T=2.00\pm 0.03$ s。（值的小数位与不确定度匹配。）

(b) $g=4{\pi }^{2}L/T^2=4{\pi }^2\cdot 1.00/4.00=9.87$ m/s²。

百分比不确定度：

• $\Delta L/L=1\%$
• $\Delta T/T=0.03/2.00=1.5\%$，所以 $\Delta T^2/T^2=2\cdot 1.5\%=3\%$
• 总：$\Delta g/g=1\%+3\%=4\%$
• $\Delta g=0.04\cdot 9.87=0.4$ m/s²

最终：$g=9.9\pm 0.4$ m/s²。

8. 易错点

• 有效数字漂移：不要保留比最差测量更多的有效数字。
• 绝对与百分比混用：加减用绝对，乘除用百分比。乘积不要绝对相加。
• 忘 $x^n$ 中的 $n$：$r$ 误差 5%、$r^3$ 误差 15%。容易忘。
• 图像问题：误差棒必须画；最佳拟合直线必须穿过（或贴近）多数误差棒。

9. 练习题

1. 测得 $V=12.0\pm 0.5$ V、$I=2.00\pm 0.05$ A。求电阻 $R=V/I$ 及其绝对不确定度。
2. 球体积 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$。$r=5.0\pm 0.1$ cm，求 $V$ 与 $\Delta V$。
3. 某学生画 $y$ vs $x$ 拟合得斜率 $m=3.4$、最大斜率线 3.7、最小 3.1。带不确定度表达斜率。

10. 速查表

• 7 SI 基本单位；常用前缀 tera ($10^{12}$) 到 pico ($10^{-12}$)。
• 准确度 ≠ 精度。
• 加减：绝对不确定度相加。
• 乘除：百分比不确定度相加。
• 幂 $x^n$：百分比 $\times n$。
• $\Delta x$ 1 有效数字；$x$ 小数位匹配。
• 斜率不确定度：(m_\max - m_\min)/2。

11. 下一步

测量是所有 Topic 的基础 — Paper 1/2/3 每个数值答案都需传播不确定度。具体传播题可问小欧。