IB Physics SL 圆周运动与万有引力 — 完整学习指南

适用对象：备考 IB Physics SL 的中国学生。

本章覆盖：IB Topic 6 — 匀速圆周运动（周期、频率、角速度）、向心加速度与向心力、万有引力定律、引力场强度、轨道速度与周期（Kepler 第三定律）。

关于练习题的说明：下文练习题均为我们按 IB Physics SL 风格原创的教学题。

1. 为什么圆周运动重要

Topic 6 把牛顿定律（Topic 2）连接到轨道与转动系统。占 IB Physics SL 8-12%，但其框架支撑 Topic 5（电场中的圆周运动）和 Topic 7（原子尺度轨道）。

核心：等速圆周运动也是加速运动 — 速度的方向变了即使大小没变。加速度始终指向圆心。

2. 匀速圆周运动

半径 $r$、恒定速率 $v$ 的圆周运动：

• 周期 $T$：转一圈所需时间。
• 频率 $f=1/T$。
• 角速度 $\omega =2\pi /T=2\pi f$（rad/s）。
• 线速度：$v=r\omega =2\pi r/T$。

向心加速度指向圆心，大小： $$a_c=\frac{v^2}{r}=r{\omega }^2$$

它不是新的力 — 是任何提供向心效应的力（重力、张力、摩擦力、法向力）的结果。

3. 向心力

由牛顿第二定律： $$F_c=m{a}_c=\frac{m{v}^2}{r}=mr{\omega }^2$$

向心力来源因情境而异：

竖直圆（如绳系球竖直挥动）中重力在不同位置贡献不同 — 顶点 $T+mg=m{v}^2/r$；底点 $T-mg=m{v}^2/r$。

4. 万有引力定律

两点质量 $M,m$ 相距 $r$ 时的引力： $$F=\frac{GMm}{r^2},G=6.67\times 10^{-11}{\text{ Ncdotpm}}^2/{\text{kg}}^2$$

总是吸引。平方反比 — 距离翻倍力变 1/4。

引力场强度距点质量 $M$ 为 $r$ 处： $$g=\frac{F}{m}=\frac{GM}{r^2}$$

单位 N/kg 或 m/s²。地球表面 $g=9.81$ m/s²。

5. 轨道运动

绕质量 $M$ 行星半径 $r$ 圆轨道的卫星：

引力提供向心力： $$\frac{GMm}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r}$$

解得轨道速度：$v=\sqrt{GM/r}$。

周期：$T=2\pi r/v=2\pi \sqrt{r^3/(GM)}$，即 Kepler 第三定律： $$T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{r}^3$$

所以 $T^2\propto r^3$。

地球同步轨道：$T$ = 地球自转周期（24 小时 = 86,400 s）。解得 $r\approx 42,000$ km（距地心，海拔约 36,000 km）。

6. 例题精讲

1500 kg 汽车在半径 50 m 圆形跑道上以 20 m/s 行驶。

(a) 求所需向心力。 (b) 跑道平直、仅靠摩擦力提供水平力时，所需最小静摩擦系数。 (c) 跑道倾斜角 $\theta$，使无需摩擦力即可保持。求 $\theta$。

解答。

(a) $F_c=m{v}^2/r=1500\cdot 400/50=12000$ N。

(b) 摩擦提供 $F_c$：$\mu mg=m{v}^2/r$，$\mu =v^2/(rg)=400/(50\cdot 9.81)=0.815$。需 $\mu \ge 0.82$。

(c) 倾斜路面无摩擦时，法向力水平分量提供 $F_c$： $N\sin \theta =m{v}^2/r$（水平） $N\cos \theta =mg$（竖直）

相除：$\tan \theta =v^2/(rg)=0.815$，$\theta =\arctan (0.815)=39.2°$。

7. 易错点

• 「离心力」：惯性参考系中没有离心力 — 那是旋转参考系的伪力。AP/IB 题用惯性参考系。
• 混淆半径与海拔：轨道半径 $r$ 从行星中心算起，不是地表。同步轨道海拔约 36,000 km 但 $r\approx 42,000$ km。
• 忘记竖直圆中重力贡献：顶点重力帮忙（张力小）；底点重力反向（张力大）。每点单独画受力。
• 周期 vs 频率混淆：$T$ 秒/周；$f$ 周/秒。互为倒数。

8. 练习题

1. 卫星在地球表面以上 6.4 × 10⁶ m（地半径 6.4 × 10⁶ m，质量 6.0 × 10²⁴ kg）。求轨道速度与周期。
2. 0.20 kg 球以 5.0 m/s 在水平圆中绳长 0.50 m 挥动。求绳张力。
3. 月球绕地球半径 3.84 × 10⁸ m，周期 27.3 天。用 Kepler 第三定律估算地球质量。

9. 速查表

• $T=2\pi /\omega$、$\omega =2\pi f$、$v=r\omega$。
• 向心：$a_c=v^2/r=r{\omega }^2$、$F_c=m{v}^2/r$。
• 引力：$F=GMm/r^2$、$g=GM/r^2$。
• 轨道速度：$v=\sqrt{GM/r}$。
• Kepler 3：$T^2=(4{\pi }^2/GM)r^3$。
• 弯道倾角（无摩擦）：$\tan \theta =v^2/(rg)$。

10. 下一步

圆周运动连接 Topic 5（电磁） — 磁场中带电粒子做圆周运动 $r=mv/(qB)$。Topic 7（原子与核） 经典图像下电子轨道也是圆周。具体卫星或弯道题可问小欧。