IB Physics HL 波动现象（HL 拓展）— 完整学习指南

适用对象：备考 IB Physics HL 的中国学生。

本章覆盖：IB Topic 9（仅 HL）— 完整 SHM 方程与能量、波的叠加与驻波、单缝衍射与分辨率（Rayleigh 准则）、偏振与 Malus 定律、Doppler 效应。

前置知识：SL Topic 4（波）、Topic 9.1 在 SL SHM 之上拓展。

关于练习题的说明：下文练习题均为我们按 IB Physics HL 风格原创的教学题。

1. 为什么 HL 波动现象重要

Topic 9（HL only）以数学严密性深化 SL Topic 4：完整 SHM 方程、单缝衍射图样与分辨率、偏振。占 HL Paper 1+2 的 7-10%，Paper 3（option）也常涉及。

2. 简谐运动 — HL 形式

角频率 $\omega$、振幅 $A$ 的 SHM： $$x(t)=A\cos (\omega t),v(t)=-A\omega \sin (\omega t),a(t)=-A{\omega }^2\cos (\omega t)=-{\omega }^{2}x$$

任意位移处的速度： $$v=\pm \omega \sqrt{A^2-x^2}$$

v_\max = A\omega 在 $x=0$（平衡位置）；$v=0$ 在 $x=\pm A$（端点）。

能量：

• 总：$E=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2=\frac{1}{2}k{A}^2$（守恒）。
• 位移 $x$ 处 KE：$\frac{1}{2}m{\omega }^2(A^2-x^2)$。
• 位移 $x$ 处 PE：$\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$。

KE 与 PE 以 $2\omega$ 振荡；总和不变。

3. 波的叠加

两波重叠时，位移相加： $$y_{\text{total}}(x,t)=y_1(x,t)+y_2(x,t)$$

相长干涉：峰对峰，位移相加。光程差 = $n\lambda$（$n$ 整数）。

相消干涉：峰对谷，位移抵消。光程差 = $(n+\frac{1}{2})\lambda$。

驻波：两个等频反向行波叠加：$y(x,t)=2A\sin (kx)\cos (\omega t)$。结果：$\sin (kx)=0$ 处为节点（无运动）；$\sin (kx)=\pm 1$ 处为反节点（最大振幅）。

4. 单缝衍射

光经过宽 $b$ 的单缝产生衍射图样，强度极小值出现在 $b\sin \theta =n\lambda$（$n=1,2,...$）。

第一极小在 $\sin {\theta }_1=\lambda /b$，标志中央极大的边界（含约 84% 能量）。

中央极大宽度 ≈ $2\lambda L/b$，距缝 $L$。

缝越窄衍射越显著；缝越宽衍射越弱。当 $b$ 接近 $\lambda$，衍射主导。

5. 分辨率 — Rayleigh 准则

两个点源刚好可分辨当一个的中央极大与另一个的第一极小重合： $${\theta }_R=1.22\frac{\lambda }{D}$$

$D$ 为孔径直径。$\lambda$ 越小或 $D$ 越大 → 分辨率越好。

这就是为什么：

• 光学望远镜镜面巨大（增大 $D$）。
• 电子显微镜用电子（$\lambda$ 远小于光）。
• 射电望远镜巨大（射电 $\lambda$ 长，需要大 $D$）。

6. 偏振

光是横电磁波，电场振荡方向可在任何垂直传播方向的方位。偏振光电场振荡在单个平面。

偏振片：只透过单一偏振方向的滤镜。非偏振光经偏振片 → 偏振，强度减半。

Malus 定律：偏振光强度 $I_0$ 经第二偏振片（与第一轴成 $\theta$ 角）： $$I=I_0{\cos }^2\theta$$

$\theta =90°$（正交偏振片）：$I=0$（消光）。

7. Doppler 效应

源与观察者相对运动时，观测频率与源频率不同。

声波（依介质），$v$ = 声速、$u_s$ = 源速、$u_o$ = 观察者速度： $$f_{\text{obs}}=f_{\text{source}}\cdot \frac{v+u_o}{v+u_s}$$

（约定：$u_o$ 朝向源为正；$u_s$ 远离观察者为正。按情况调整符号。）

非相对论速度的光：$\Delta f/f=-v/c$（远离时频率降低 — 红移）。

8. 例题精讲

汽车喇叭 500 Hz，以 30 m/s 接近静止观察者。声速 340 m/s。经过后以 30 m/s 远离。

(a) 求经过前后观测频率。 (b) 同样喇叭以 30 m/s 接近另一辆以 20 m/s 远离的车。求观测频率。

解答。

(a) 接近（$u_s$ 负 — 朝观察者）： $f_{\text{obs}}=500\cdot 340/(340-30)=548$ Hz。

经过后（$u_s$ 正 — 远离）： $f_{\text{obs}}=500\cdot 340/(340+30)=459$ Hz。

(b) 源朝观察者（取 +$x$ 为接近）：$u_s=-30$。观察者远离：$u_o=-20$。 $f_{\text{obs}}=500\cdot (340-20)/(340-30)=500\cdot 320/310=516$ Hz。

9. 易错点

• Doppler 符号：明确每次写出运动方向。接近会减小分母或增大分子（取决于约定）。
• 衍射 vs 干涉：单缝是衍射（$b\sin \theta =n\lambda$ 极小）。双缝是干涉（$d\sin \theta =n\lambda$ 极大）。两者都有衍射包络。
• 偏振片强度减半：第一偏振片把非偏振光强度减半（1/2）。后续偏振片用 Malus。
• 驻波节点 vs 反节点：节点无运动；反节点最大运动。压力波相反（节点是压力极大、反节点是压力极小）。

10. 练习题

1. $\lambda =600$ nm 的光经过 0.20 mm 单缝。求第一极小角位置及距缝 2.0 m 处中央极大宽度。
2. 距 10 ly 的两颗星，用 0.20 m 孔径望远镜观察。可见光（550 nm）下两星可分辨的最小距离是多少？
3. 强度 1000 W/m² 的偏振光经过与第一偏振片成 30° 的第二片。求透射强度。

11. 速查表

• SHM：$x=A\cos (\omega t)$、$v=\pm \omega \sqrt{A^2-x^2}$、$a=-{\omega }^{2}x$。
• SHM 能量：$E=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2$、PE = $\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$。
• 单缝极小：$b\sin \theta =n\lambda$。
• Rayleigh：${\theta }_R=1.22\lambda /D$。
• Malus：$I=I_0{\cos }^2\theta$。
• Doppler（声）：$f_{\text{obs}}=f_s(v+u_o)/(v+u_s)$。

12. 下一步

波动现象通向 Topic 12（量子与核） — 波粒二象性建立在衍射之上。Doppler 或衍射具体题可问小欧。