E.3 量子物理学：光子与物质波

IB 物理 HL· 35 分钟阅读

1. 光子：光的粒子性★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

光子

E = hf

电磁辐射的离散量子，静质量为零，在真空中以速度 $c$ 传播。光子只能以整数形式被发射和吸收，能量与频率成正比。

例:

可见光光子的能量约为2 eV，而X射线光子的能量大于100 eV。

光子模型是为了解释经典光波动模型无法解释的现象而发展出来的，最著名的就是光电效应。描述光子能量的两个关键关系式是：

E = hf = \frac{hc}{\lambda}

📐 例题

计算波长为450 nm的蓝色光子的能量，单位为电子伏特。

1
使用计算电子伏特能量的简化关系式：
2
$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240 \text{ eV·nm}}{450 \text{ nm}}$
3
计算结果： $E \approx 2.76$ eV。用焦耳单位验证如下：
4
$E = \frac{(6.63 \times 10^{-34} \text{ Js})(3 \times 10^8 \text{ m/s})}{450 \times 10^{-9} \text{ m}} = 4.42 \times 10^{-19} \text{ J}$
5
除以 $1.6 \times 1 0^{- 19} J/eV$ 转换为电子伏特，得到约2.76 eV，与快速计算结果一致。

Exam tip:

务必检查题目要求能量的单位是焦耳还是电子伏特，并正确转换单位。

2. 德布罗意假说与物质波★★★☆☆⏱ 15 min

📘 定义

德布罗意波长

\lambda = \frac{h}{p}

与任何运动有质量粒子关联的物质波波长，对于非相对论速度，粒子动量 $p = m v$ 。

例:

经过100 V电压加速的电子，德布罗意波长约为0.1 nm，与晶体中的原子间距相当。

路易·德布罗意提出，正如光同时表现出波动和粒子性质，所有有质量粒子也具有波动特性。这一假说被戴维森-革末实验证实，该实验观察到电子在镍晶体晶格上的衍射现象。

📐 例题

计算速度为 $1.0 \times 1 0^{6} m/s$ 的电子的德布罗意波长，已知 $m_{e} = 9.11 \times 1 0^{- 31} kg$ 。

1
首先计算动量 $p$ ：
2
$p = m v = (9.11 \times 10^{-31} \text{ kg})(1.0 \times 10^6 \text{ m/s}) = 9.11 \times 10^{-25} \text{ kg·m/s}$
3
代入德布罗意关系式：
4
$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}}{9.11 \times 10^{-25} \text{ kg·m/s}} \approx 7.3 \times 10^{-10} \text{ m} = 0.73 \text{ nm}$
5
该波长与固体中的原子间距相近，解释了电子为何能在晶体晶格中发生衍射，证明了它们的波动性。

3. 波粒二象性★★★☆☆⏱ 12 min

波粒二象性是核心量子概念：所有实体（光和物质）都同时具有波动和粒子性质。任何单个实验都无法同时观测到两种行为；观测到的行为取决于测量类型。下表总结了实验证据：

实体	粒子性的证据	波动性的证据
光	光电效应、康普顿散射	干涉、衍射
物质	定域探测、动量传递	电子衍射、中子干涉

📐 例题

解释为什么宏观物体（例如一个以10 m/s运动的0.1 kg小球）的波动性从未被观测到。

1
首先计算小球的动量：
2
$p = mv = (0.1 \text{ kg})(10 \text{ m/s}) = 1 \text{ kg·m/s}$
3
计算德布罗意波长：
4
$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}}{1 \text{ kg·m/s}} = 6.63 \times 10^{-34} \text{ m}$
5
该波长比任何能产生可观测衍射效应的孔或缝隙都小许多个数量级，因此宏观物体的波动行为无法被探测到。

4. 考试表述与概念检查★★☆☆☆⏱ 8 min

✓ 快速检测

测试你对核心概念的理解：

光子从空气进入玻璃时，哪个性质不会改变？
- A) 波长
- B) 频率
- C) 速度
- D) 能量
显示答案
B —
频率（以及由此得到的能量 $E = h f$ ）是光子的固有性质。光从空气进入玻璃时，速度和波长都会减小。
动量为 $2.0 \times 1 0^{- 22} kg \cdotp m/s$ 的质子，德布罗意波长是多少？
- A) $3.3 \times 1 0^{- 12} m$
- B) $3.3 \times 1 0^{- 9} m$
- C) $1.3 \times 1 0^{- 11} m$
- D) $3.0 \times 1 0^{11} m$
显示答案
A —
$λ = h / p = 6.63 \times 1 0^{- 34} /2.0 \times 1 0^{- 22} \approx 3.3 \times 1 0^{- 12} m$

5. 常见陷阱

错误做法:

在国际单位制计算中，忘记将波长从纳米转换为米

原因:

IB考题通常以纳米给出波长，如果忘记转换，答案会比正确值大9个数量级

正确做法:

计算以焦耳为单位的能量时，务必将纳米为单位的波长乘以 $1 0^{- 9}$ 转换为米

错误做法:

在德布罗意关系式中用质量代替动量

原因:

波长取决于动量，不只是质量；两个质量相同但速度不同的粒子，波长不同

正确做法:

代入 $λ = h / p$ 之前，务必先计算动量 $p = m v$

错误做法:

声称光有时是波有时是粒子

原因:

波粒二象性意味着光始终同时具有两种性质，在给定实验中只能观测到其中一种

正确做法:

应表述为：所有量子实体固有地同时表现出波动和粒子性质，取决于测量，只有一种行为会表现出来

错误做法:

用 $E = h c / λ$ 计算物质波的动能

原因:

该关系式仅适用于无质量的光子，不适用于有动能的有质量粒子

正确做法:

对物质仅使用 $λ = h / p$ ；对于非相对论速度，通过动量计算动能使用 $K E = p^{2} / (2 m)$

错误做法:

忘记光子能量取决于频率，而非强度

原因:

强度是单位面积的光子数，不是单个光子的能量

正确做法:

记住单个光子的能量仅取决于其频率，因此增加强度不会改变单个光子的能量

6. 速查表

概念	关键关系式	考试实用提示
光子能量	$E = h f = \frac{h c}{λ}$	$h c = 1240 eV \cdotp nm$ 用于快速计算电子伏特能量
德布罗意波长	$λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}$	p = 动量， $v << c$ 时为非相对论
加速带电粒子	$λ = \frac{h}{2 m e V}$	适用于电荷为 $e$ 、经过电势差 $V$ 加速的粒子
波粒二象性证据		粒子性：光电效应、康普顿散射 \| 波动性：干涉、衍射

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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德布罗意波长问题
2023 · Paper 1
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下一步

本小节为IB物理HL中所有后续量子物理主题奠定了核心量子概念基础。光子模型是理解光电效应的核心，光电效应将在下一小节讨论。物质波概念是海森堡不确定性原理、量子隧穿和原子量子模型的基础，这些内容都会在IB HL考试中考察。波粒二象性也解释了电子显微镜、激光等现代技术的工作原理，这些内容经常出现在考试的情境题中。