单元总览

几何与三角学

IB 数学：应用与解释 SL· 5 分钟阅读 📊 占IB AI SL 考试总分的12-14%

1. 单元概览

本单元从基础二维和三维测量开始，逐步进阶到应用三角学以及两个AI SL特有的核心主题：正弦建模和沃罗诺伊图。技能循序渐进，早期的三角概念会在后续的应用和建模工作中重复使用。

本单元约一半的考试分数来自应用题，因此我们在所有子主题中都侧重于将公式与现实背景联系起来，这符合AI SL的评估重点。

本单元所有子主题，按顺序学习排列：

三维立体的体积与表面积

计算常见三维立体和组合立体的体积与表面积。

★★⏱ 10 min

直角三角形三角学

使用SOHCAHTOA和毕达哥拉斯定理求解未知边和角。

★★⏱ 12 min

非直角三角形的正弦定理、余弦定理

应用正弦定理和余弦定理求任意三角形中的未知边和角。

★★★⏱ 15 min

方位角与三角学应用

使用方位角和组合三角法则解决现实导航问题。

★★★★⏱ 15 min

正弦函数：振幅、周期、平移

使用变换后的正弦和余弦函数对周期性现象建模。

★★★★⏱ 20 min

沃罗诺伊图与最近站点问题

构建并解释用于最近设施空间问题的沃罗诺伊图。

★★★⏱ 18 min

非直角三角形的面积公式

使用 $r a c 12 ab s in C$ 公式计算任意三角形的面积。

★★⏱ 8 min

2. 常见陷阱

错误做法:

应用三角法则前忘记将方位角转换为三角形的内角

原因:

方位角是从正北顺时针测量的，因此不能直接得到所需的三角形内角

正确做法:

在每个顶点画出正北方向线，利用平行线/角度和法则求出内角

错误做法:

混淆正弦函数 $y = sin (k x)$ 的周期公式

原因:

许多学生错误地使用 $p er i o d = k /2 π$ ，而非正确的关系

正确做法:

记住标准变换形式的正弦曲线满足 $p er i o d = 2 π /∣ k ∣$

错误做法:

计算组合三维立体的表面积时重复计算重叠面

原因:

当两个立体拼接在一起时，重叠面不再位于表面上

正确做法:

从各个立体表面积之和中减去两倍重叠面的面积

3. 速查表

概念	核心公式 / 法则
球体体积	$V = \frac{4}{3} π r^{3}$
球体表面积	$S A = 4 π r^{2}$
正弦定理	$\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C}$
余弦定理（求边 $a$ ）	$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$
任意三角形面积	$A r e a = \frac{1}{2} ab sin C$
$y = sin (k x)$ 的周期	$P er i o d = \frac{2 π}{∣ k ∣}$
沃罗诺伊边性质	边上所有点到两个相邻站点的距离相等

下一步

从下方本单元第一个子主题开始学习，构建你的三维测量基础技能，然后按顺序学习每个子主题，逐步进阶到更复杂的应用和建模。完成本单元所有子主题后，你可以进入下一单元：统计与概率的概览。