函数的真实世界建模

IB 数学：应用与解释 SL· 第二单元：函数，主题2.8 应用· 15 分钟阅读

1. 将情景转化为函数模型★★☆☆☆⏱ 4 min

任何建模问题的第一步都是清晰定义变量。按照考试评分要求，所有变量都必须结合情景给出单位。

📘 定义

函数模型

$y = f (x)$

描述真实场景中变量之间关系的函数，通常拟合自观测数据。

例:

$d = 4 t + 2$ , where $d$ = 距离（km）， $t$ = 时间（小时）

📐 例题

一家咖啡馆以$4的单价卖出120个三明治，以$6的单价卖出80个三明治。假设价格 $p$ 和销量 $n$ 之间为线性关系，写出 $n$ 关于 $p$ 的模型。

1
我们得到直线上的两个点： $(p_{1}, n_{1}) = (4, 120)$ 和 $(p_{2}, n_{2}) = (6, 80)$ 。首先计算斜率：
2
$m = \frac{n_2 - n_1}{p_2 - p_1} = \frac{80 - 120}{6 - 4} = -20$
3
将 $m$ 和一个点代入 $n = m p + c$ 求截距 $c$ ：
4
$120 = (-20)(4) + c \implies c = 200$
5
写出完整模型并定义变量：
6
$n = -20p + 200 \quad \text{where } n = \text{销量}, p = \text{价格 (USD)}$

Exam tip:

在写出模型前，一定要定义好变量并给出单位，这几乎总是占1分。

2. 拟合模型与检验有效性★★★☆☆⏱ 5 min

大多数IB建模题要求你使用GDC将函数拟合到给定数据。拟合完成后，你可以通过决定系数 $R^{2}$ 检验模型与数据的匹配程度。

📐 例题

植物种植 $t$ 周后的高度（cm）对应数据为： $(1, 2.1), (2, 3.9), (3, 5.8), (4, 8.2)$ 。使用GDC拟合线性模型并评价拟合效果。

1
将数据输入GDC进行线性回归，输出结果为：
2
$h = 2.01t + 0.05, \quad R^2 = 0.999$
3
解释结果： $R^{2}$ 几乎等于1，因此线性模型对该观测数据的拟合效果极佳。

✓ 快速检测

测试你对 $R^{2}$ 的理解：

哪个 $R^{2}$ 值代表最佳的模型拟合效果？
- 0.5
- 0.92
- 0.99
- -0.2
显示答案
0.99 —
正确！ $R^{2}$ 的取值范围是0到1，1代表对现有数据的完全拟合。

3. 内插法 vs 外插法★★★☆☆⏱ 4 min

得到模型后，你可以用它估算未知值。预测的可靠性取决于估算值落在原始数据范围内部还是外部。

📘 定义

预测可靠性

我们对模型预测结果匹配真实值的置信程度。数据范围内的内插法几乎总是比范围外的外插法更可靠。

例:

使用1-18岁的数据预测25岁的身高属于外插法，预测结果很可能不可靠。

📐 例题

使用植物模型 $h = 2.01 t + 0.05$ ，预测种植10周后的高度并评价预测可靠性。原始数据的 $t$ 范围为1到4。

1
将 $t = 10$ 代入模型：
2
$h = 2.01(10) + 0.05 = 20.15 \text{ cm}$
3
评价可靠性： $t = 10$ 超出了原始数据范围，因此这是外插法。植物生长会随时间放缓并停止，因此线性趋势不会延续，该预测不可靠。

Exam tip:

当题目要求评价预测可靠性时，一定要明确说明你的预测属于内插还是外插。

4. 结合情景解释模型参数★★★☆☆⏱ 4 min

IB考试非常频繁地要求你结合情景解释模型的斜率、截距或增长因子。你必须始终结合变量和情景作答才能拿到满分。

📐 例题

汽车价值的线性模型为 $V = - 2500 t + 20000$ ，其中 $V$ 是汽车价值（USD）， $t$ 是车龄（年）。结合情景解释斜率和截距。

1
解释截距（当 $t = 0$ 时，汽车是新车）：截距为20000，因此新车的原始价值是$20,000。
2
解释斜率（价值随车龄的变化率）：斜率为-2500，因此汽车价值平均每年减少$2,500。

5. 常见陷阱

错误做法:

忘记在写出模型前定义变量并给出单位

原因:

阅卷官几乎总是会给清晰的变量定义分配1分，跳过这一步会白白丢分

正确做法:

作答时一定要先说明每个变量的含义，包含单位

错误做法:

未经论证就声称外插法一定不可靠

原因:

如果已知趋势在数据范围外仍然延续，外插法也可以可靠；你必须结合情景说明

正确做法:

明确指出预测属于外插法，然后结合情景解释趋势是否可能延续

错误做法:

将负斜率视为计算错误

原因:

负斜率仅代表因变量随自变量增大而减小，这在很多情景下都是正确的

正确做法:

根据情景解释符号：汽车价值的负斜率代表价值随时间折旧（减少），这符合逻辑

错误做法:

认为高 $R^{2}$ 就代表外插法可靠

原因:

高 $R^{2}$ 仅能证明模型拟合现有数据，不能保证趋势在数据范围外仍然延续

正确做法:

始终根据问题情景判断外插法的可靠性，不能仅依靠 $R^{2}$

6. 速查表

步骤	要求操作	考试提示
1	定义变量并给出单位	几乎总是占1分
2	求解/拟合函数方程	二次检查GDC数据输入
3	用 $R^{2}$ 检验拟合效果	$R^{2} \approx 1$ = 对数据拟合良好
4	进行预测	说明是内插还是外插
5	评价预测可靠性	外插法需要结合情景论证
6	解释参数	始终结合情景和单位

7. 常见问题

外插法一定不可靠吗？

不是，但它需要给出依据。外插法假设你观测到的趋势在数据范围外仍然延续，你必须始终说明这个假设在对应情景下是否合理。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 1
温度变化的线性模型
2022 · 2
人口增长的指数模型

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下一步

函数的真实世界建模是IB AI SL每张试卷都会考察的核心技能，也是未来多个主题（包括统计回归、数列增长模型、微积分变化率应用）的基础。这项技能也经常在内部评估（IA）项目中考察，你需要为自己选择的真实世界数据集创建模型。掌握从情景到数学模型的转化、检验拟合、评价预测可靠性的流程，能帮你在几乎每张试卷上轻松拿到分数，也为你的IA成功打好基础。