等比数列与等比级数

IB 数学：应用与解释 SL· 1.3 几何序列和级数· 15 分钟阅读

1. 等比数列简介★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

等比数列

u_n = u_1 r^{n-1}

每一个连续项都是前一项与一个固定常数（称为公比 $r$ ，其中 $r \neq = 0$ ）的乘积的数列。

例:

数列 $2, 6, 18, 54...$ 的 $u_{1} = 2$ ， $r = 3$

与加上固定公差的等差数列不同，等比数列是乘上固定公比。公比可以是正数、负数，也可以是小于1的分数。

📐 例题

判断数列 $4, - 2, 1, - 0.5, 0.25...$ 是否为等比数列。如果是，求公比和第6项。

1
计算每对相邻项之间的比值：
2
$\frac{-2}{4} = -0.5, \quad \frac{1}{-2} = -0.5, \quad \frac{-0.5}{1} = -0.5$
3
比值恒定，因此这是一个等比数列，公比 $r = - 0.5$ ，首项 $u_{1} = 4$ 。
4
使用第n项公式求 $u_{6}$ ：
5
$u_6 = u_1 r^{6-1} = 4(-0.5)^5 = 4 \times -\frac{1}{32} = -0.125$

Exam tip:

务必至少检查三对相邻项的比值来确认数列是等比数列，不要只检查一对。

2. 有限等比级数★★★☆☆⏱ 6 min

📘 定义

有限等比级数

S_n

等比数列前 $n$ 项的和，计算公式为：

S_n = \frac{u_1 (1 - r^n)}{1 - r} = \frac{u_1 (r^n - 1)}{r - 1}, \quad r \neq 1

当 $r = 1$ 时，数列是常数列（所有项都等于 $u_{1}$ ），因此和简化为 $S_{n} = n u_{1}$ 。该公式用于计算固定项数的和，常见于年金和投资问题。

📐 例题

求等比数列 $3, 6, 12, 24...$ 的前10项和。

1
确定参数： $u_{1} = 3$ ， $r = 2$ ， $n = 10$
2
代入求和公式：
3
$S_{10} = \frac{3(2^{10} - 1)}{2 - 1} = 3(1024 - 1) = 3 \times 1023 = 3069$

3. 无穷等比级数与收敛性★★★☆☆⏱ 5 min

📘 定义

收敛无穷等比级数

S_\infty

只有当公比的绝对值小于1（ $∣ r ∣ < 1$ ）时，无穷等比级数才会趋近于一个有限和。如果 $∣ r ∣ \geq 1$ ，级数发散，没有有限和。

例:

级数 $1 + 0.5 + 0.25 + ...$ 收敛， $1 + 2 + 4 + ...$ 发散

S_\infty = \frac{u_1}{1 - r}, \quad |r| < 1

📐 例题

求级数 $12 + 8 + \frac{16}{3} + \frac{32}{9} + ...$ 的无穷和。

1
计算公比：
2
$r = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$
3
检查收敛条件： $∣ r ∣ = \frac{2}{3} < 1$ ，因此级数收敛。
4
代入无穷和公式：
5
$S_\infty = \frac{12}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{12}{\frac{1}{3}} = 36$

4. 实际应用★★★★☆⏱ 7 min

等比数列是实际场景中指数增长与衰减的标准模型，应用包括复利、种群变化、放射性衰变和定期投资。

📐 例题

每年年初投资1000美元，共投资10年，年利率固定为5%复利计息，求投资总价值。

1
第一笔存款计息10年，第二笔计息9年，最后一笔存款计息1年。总价值是一个等比级数：
2
$u_{1} = 1000 \times 1.05$ , $r = 1.05$ , $n = 10$
3
代入有限和公式：
4
$S_{10} = \frac{1000 \times 1.05 (1.05^{10} - 1)}{1.05 - 1} \approx 13206.74$

5. 常见陷阱

错误做法:

使用第n项公式时错用 $u_{n} = u_{1} r^{n}$ ，正确应为 $u_{n} = u_{1} r^{n - 1}$

原因:

这会导致指数差一错误，得到错误的项，尤其是数列的前几项

正确做法:

用 $n = 1$ 验证公式： $u_{1} = u_{1} r^{0} = u_{1}$ ，因此指数必须是 $n - 1$

错误做法:

未检查 $∣ r ∣ < 1$ 就使用无穷和公式

原因:

阅卷官明确会给这个检查步骤打分，且该公式对发散级数无效

正确做法:

应用 $S_{\infty}$ 公式前，务必计算 $∣ r ∣$ 并说明其小于1

错误做法:

当 $r > 1$ 时得到负的和

原因:

混淆了求和公式分子中项的顺序

正确做法:

当 $r > 1$ 时使用 $S_{n} = \frac{u _{1} ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$ ，该式总会得到正的和，符合所有项为正的情况

错误做法:

计算投资时错误统计复利期数

原因:

混淆存款是在年初还是年末存入

正确做法:

画一个2年的测试案例：年初存入的存款到第一年末已经计息1年，因此相应调整指数即可

6. 速查表

概念	公式	所需条件
第n项	$u_{n} = u_{1} r^{n - 1}$	恒成立
前 $n$ 项和	$S_{n} = \frac{u _{1} ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$	$r \neq = 1$
无穷和	$S_{\infty} = \frac{u _{1}}{1 - r}$	$∣ r ∣ < 1$
单次复利投资	$V_{n} = P (1 + \frac{R}{100})^{n}$	R = 年利率（%）
年度年金总价值	$S_{n} = \frac{D ( 1 + r ) [( 1 + r ) ^{n} - 1 ]}{r}$	D = 年度存款额

真题中的出现

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下一步

等比数列与等比级数是建模指数增长与衰减的基础，你将在IB AI SL的函数和统计主题中进一步学习。本主题也是金融数学应用的基础，金融数学在考试中占很大分值，经常出现在Paper 1和Paper 2中。掌握收敛性和公比的性质也有助于你理解课程后面的递归数列和概率分布。