IB Math AI SL 统计与概率 — 完整学习指南

适用对象：备考 IB Mathematics AI SL 的中国学生。

本章覆盖：IB AI SL Topic 4 — 描述统计（均值、中位数、方差）、相关与 Pearson $r$、线性回归、概率法则、条件概率、正态分布、卡方独立性与拟合优度检验。

关于练习题的说明：下文练习题均为我们按 IB AI SL 风格原创的教学题。

1. 为什么 AI SL 统计与概率重要

Topic 4 是 AI SL 中最大 topic 之一（约占 25% 评估），IA 建模几乎都涉及统计分析。要熟悉 GDC 的统计功能 — 多数计算 1-2 键搞定。

2. 描述统计

数据集 $x_1,x_2,\dots ,x_n$：

• 均值：$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum x_i$。
• 中位数：排序后中间值（或中间两值平均）。
• 众数：出现最频繁的值。
• 方差：${\sigma }^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$。（样本方差用 $n-1$。）
• 标准差：$\sigma =\sqrt{{\sigma }^2}$。
• 极差：max − min。IQR：$Q_3-Q_1$。

箱线图用中位数、$Q_1$、$Q_3$、min、max。离群点（$<Q_1-1.5\text{IQR}$ 或 $>Q_3+1.5\text{IQR}$）画十字。

3. 相关与回归

配对数据 $(x_i,y_i)$：

Pearson 相关系数 $r$ 度量线性关联：$-1\le r\le 1$。

• $r=1$ 完全正线性；$r=-1$ 完全负；$r\approx 0$ 无线性关联。
• $r$ 强 ≠ 因果。

线性回归：最小二乘拟合 $y=ax+b$（GDC 直接给 $a,b,r$）。

数据范围内预测 = 内插（可靠）。范围外 = 外推（不可靠，尤其 $r$ 远离 $\pm 1$ 时）。

4. 概率法则

事件 $A$ 与 $B$：

• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$。
• $P(A^{\prime })$（补）$=1-P(A)$。
• 互斥：$P(A\cap B)=0$，所以 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$。
• 独立：$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$。
• 条件：$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$。

树状图高频考 — 第一事件出发，按结果分支，继续。沿分支乘；跨分支加。

5. 正态分布

若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，$X$ 钟形对称、关于 $\mu$ 对称。

标准化：$Z=(X-\mu )/\sigma$，$\mu =0$、$\sigma =1$。表与 GDC 给 $P(Z<z)$。

68-95-99.7 法则：1$\sigma$ 内约 68%、2$\sigma$ 内约 95%、3$\sigma$ 内约 99.7%。

求 $P(a<X<b)$：标准化为 $z_a,z_b$，$P(z_a<Z<z_b)=\Phi (z_b)-\Phi (z_a)$。

逆正态：给概率求 $x$。GDC invNorm 函数。

6. 卡方检验（AI SL）

${\chi }^2$ 独立性检验判断两个分类变量是否关联。

1. 零假设：变量独立。
2. 期望频数：$E_{ij}=(\text{行总数})(\text{列总数})/(\text{总数})$。
3. 检验统计量：${\chi }^2=\sum (O-E{)}^2/E$。
4. 自由度：$(r-1)(c-1)$。
5. 与临界值比较或用 GDC 的 $p$ 值。${\chi }^2>$ 临界 或 $p<$ 显著性水平（通常 0.05）则拒绝。

条件：所有期望频数 $\ge 5$（否则合并类别）。

7. 例题精讲

100 名学生的「是否骑车上学」与「是否住 2 km 内」数据。5% 显著性下检验骑车与距离是否独立。

解答。

期望频数：$E_{11}=14$、$E_{12}=26$、$E_{21}=21$、$E_{22}=39$。

${\chi }^2=\frac{121}{14}+\frac{121}{26}+\frac{121}{21}+\frac{121}{39}=8.64+4.65+5.76+3.10=22.16$

自由度：$(2-1)(2-1)=1$。临界 ${\chi }^2$（$\alpha =0.05$、df = 1）= 3.841。

$22.16>3.841$，拒绝 $H_0$。结论：5% 显著性下骑车与距离不独立。

8. 易错点

• 样本 vs 总体方差：AI SL 默认用总体公式（$n$）。某些题指明样本时用 $n-1$。
• 有放回 vs 无放回的树状图：有放回时分支概率不变；无放回时每抽一次都改变。
• 外推可靠性：先看 $r$ 再预测；$r$ 弱时即使内插也不稳。
• 卡方期望频数：必须 $\ge 5$ 才有效。否则合并类别或 Fisher 精确检验（超 AI SL 范围）。

9. 练习题

1. 求 {3, 7, 8, 5, 12, 4} 的均值和方差。
2. 每分钟进店顾客数 $\mu =4$、$\sigma =2$（正态）。求 $P(2<X<7)$。
3. 200 人样本中 60 人有车。构造总体比例的 95% 置信区间。

10. 速查表

• 均值 = $\sum x/n$；总体 SD 用 $n$、样本用 $n-1$。
• IQR = $Q_3-Q_1$；离群点 $\notin [Q_1-1.5\text{IQR},Q_3+1.5\text{IQR}]$。
• Pearson $r$：−1 到 1；强 = 接近 1。
• 独立：$P(A\cap B)=P(A)P(B)$。
• 条件：$P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)$。
• 正态：$P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )\approx 0.68$。
• ${\chi }^2$：$\sum (O-E{)}^2/E$；df = $(r-1)(c-1)$。

11. 下一步

统计与概率连接 Topic 5（微积分） 中的连续分布与期望积分。IA 建模几乎都用回归或卡方。具体检验或分布问题可问小欧。